18:36 

Вторая волна ЕГЭ 10 июля 2012 г.

Вторая волна ЕГЭ 10 июля 2012 г.

С1.1
а) Решите уравнение `4cos^2x+4cos(pi/2+x)-1=0`
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку `[pi;(5pi)/2]`

С2.1
На ребре `text{CC}_1` куба `ABCDA_1B_1C_1D_1` отмечена точка `E` так, что `CE:EC_1=2:1`. Найдите угол между прямыми `BE` и `AC_1`

C3.1
Решите систему неравенств
`{(9^x-28<=3^(x+3)),(log_(x+7)((3-x)/(x+1))^2<=1-log_(x+7)((x+1)/(x-3))):}`

С4.1
Продолжение биссектриссы `CD` неравнобедренного треугольника `ABC` пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке `E`. Окружность, описанная около треугльника `ADE`, пересекает прямую `AC` в точке `F`, отличной от `A`. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника `ABC`, если `AC=6, AF=3`, угол `BAC` равен `45^@`.

С5.1
Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `sqrt(1-2x)=a-5|x|` имеет более двух корней.

С6.1
Число `S` таково, что для любого представления `S` в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадет только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 20.
а) Может ли число `S` быть равным 40?
б) Может ли число `S` быть больше `39 1/21`?
в) Найдите максимально возможное значение `S`.

Еще вариант (Восток?). Вариант записан по памяти после экзамена.

С1.2 Решите уравнение а) `2cos2x-8sinx+3=0`;
б) найдите корни уравнения, попадающие на промежуток `[(3pi)/2;3pi]`.

С2.2 Дан прямоугольный параллелепипед `ABCDA_1B_1C_1D_1`, длины ребер которого `AB=2`, `AD=A A_1=1`. Найдите угол между `CD_1B_1` и `CDA_1`.

С3.2 Решите систему неравенств `{(4^x-2^(x+8) <= 257),(log_(x+7) ((x^2-x-56)/x)^2+log_(x+7) (x-8)/x <= 5):}`.

С4 Не запомнил.
С5.2 При каких значениях параметра a (a>0) уравнение `|1-6sqrt(x)|=2(x+a)` имеет ровно два корня.

С6.2 Учитель в школе ставит отметки от 1 до 5. Средний балл ученика равен 4,625.
а) какое наименьшее количество оценок может иметь ученик?
б) если у ученика заменить оценки 3, 3, 5, 5 на две четверки, то насколько максимально может увеличиться средний балл?

Дополнение (вариант от 16.07.2012, по материалам сайта alexlarin.com)

C2 Дан куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`, точка `E` лежит на стороне `C C_1` и делит ее пополам. Найти угол между прямыми `BE` и `B_1D` .
C3 Решите систему неравенств `{((8^(-x)-5*(0.5)^x)/(2^(-x)-2^(x+4)) >= 0),(log_(x^2) (1/x+2/x^2 ) <= 0):}`.
C4 В треугольнике угол `/_C` равен `60^@` . На сторонах `AB` и `AC` как на диаметрах построены окружности. Они пересекаются кроме точки `A` в точке `D`. Известно, что `DB : DC=1:3`. Найдите угол `/_A` в этом треугольнике.
С5 Найти те значения параметра `a`, при которых уравнение `x^4+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|` имеет не более одного решения.
С6 Между числами `1^2`, `2^2`, `3^2`,...,`(N-1)^2`, `N^2` расставляют знаки сложения или вычитания. Возможно ли получить такую сумму:
a) `S=12` при `N=12`;
b) `S=0` при `N=50`;
c) `S=0` при `N=80`;
d) `S=5` при `N=90`?

@темы: ЕГЭ

Комментарии
2012-07-14 в 18:59 

С3
(3) Решим систему неравенств
Лучше: найдем пересечение множеств.
В системе ведь не неравенства

URL
2012-07-14 в 19:01 

к.черный
Ни о чем не нужно говорить, ничему не следует учить, и печальна так и хороша темная звериная душа.
sosna24k, спасибо за решения!

2012-07-14 в 19:01 

Гость, спасибо. Может ещё что - нибудь ни так. Пишите.

2012-07-14 в 23:00 

Alidoro
Народ, как на счет С-6. Кто - нибудь решал?

С6.1
Число `S` таково, что для любого представления `S` в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадет только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не первосходит 20.
а) Может ли число `S` быть равным 40?
б) Может ли число `S` быть больше `39 1/21`?
в) Найдите максимально возможное значение `S``.

Пусть некоторое число `S` представлено в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит единицы. Эти слагаемые можно разбить на две группы различным образом. Выберем среди них оптимальное, т. е. такое, чтобы бОльшая сумма в группе была минимальна (или, что то же самое, чтобы разница между суммами в группах была минимальна). Если эта сумма не превышает 20, то представление числа `S` в виде слагаемых будем называть хорошим, в противном случае представление будем называть плохим. По условию задачи число `S` не имеет плохих представлений.

а), b) Число, большее чем `39 1/21=820/21` имеет плохое представление в виде `41` одинаковых слагаемых. Минимизируя наибольшую сумму мы вынуждены будем взять `21` слагаемое. Их сумма при этом превысит `820/{21*41}*21=20`. Таким образом, число большее чем `39 1/21` не может быть числом `S`.

в) Пусть `S<=39 1/21=820/21`. Будем доказывать, что плохих представлений этого числа нет. Предположим противное, т. е. такое представление существует. Возьмем для этого представления оптимальное разбиение и обозначим через `M_1` и `M_2` большую и меньшую суммы для данного разбиения. В этих обозначениях мы можем записать:
`M_1>=M_2`, `M_1>20` и `M_1+M_2=S`.

Далее, поскольку `M_1>20`, а каждое слагаемое не превышает единицы, то число слагаемых не меньше `21`. В то же время минимальное среди этих слагаемых не может быть меньше разности между `M_1` и `M_2`, в противном случае минимальное слагаемое можно было бы перенести из большей суммы в меньшую, модуль разности между `M_1` и `M_2` уменьшился бы и тем самым рассматриваемое разбиение оказалось бы неоптимальным. Запишем это так:
`M_1-M_2<=mbox{min}` или `M_1<=M_2+mbox{min}=S -M_1+mbox{min}`.

Но, поскольку число слагаемых в `M_1` не меньше `21`, то `mbox{min}<=M_1/21`, и неравенство можно продолжить так:
`M_1<=S-M_1+M_1/21`.

Решая это неравенство, получаем `M_1<=21/41 S<=21/41*820/21=20`, что противоречит предположению, что `M_1>20`.

Таким образом, максимально возможное значение `S` равно `39 1/21`. Мы доказали даже несколько больше: число `S` может принимать любое положительное значение, не превышающее `39 1/21`.

2012-07-17 в 09:47 

Белый и пушистый (иногда)
Добавил вариант от 16.07.2012 (резервный день для второй волны).

2012-07-17 в 10:40 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
VEk, спасибо!

Alidoro, какое красивое решение!

2012-07-17 в 10:50 

Белый и пушистый (иногда)
Ответы на вариант от 16.07 для справки:
С2: `arccos(1/sqrt(15))`
C3: `[-0.5log_2 5;-1) uu (-1;0) uu (0;1) uu [2;+oo)`
C4: `arccos(2/sqrt(7))` и `arccos(5/(2sqrt(7)))`
C5: `a <= 1` или `a >= 5`
C6: пока не решал

2012-07-17 в 18:27 

Еще раз доброго времени всем)
VEk, ответы вроде сошлись=)) читать дальше

С2 выглядит как-то так..
чтобы находить угол между скрещивающимися - строим прямую, параллельную одной из данных скрещивающихся: через точку `B_1` проводим прямую `B_1M` || `BE`, т.е. `B_1M` будет проходить в плоскости грани `CBB_1C_1`, и на прямой `C_1C` получим отрезок `C_1M = a/2` (если `a` - ребро куба) {или принимаем `a=1`, тогда `C_1M = 1/2` }; из соответствующих прямоугольных треугольников находим длины отрезков `B_1M`, `DM` и `DB_1` {или `DB_1` можно вообще считать известным: `DB_1 =a*sqrt(3)` - диагональ куба }; и потом - теорема косинусов для треуг-ка `DB_1M`

2012-07-17 в 18:54 

С4 или так (рис. 1)
или так (рис. 2)

угол `ADC = 90` и угол `ADB = 90` (т.к. опираются на диаметры), поэтому точки `C`, `B` и `D` лежат на одной прямой (т.е. окружности пересекутся в точке (`D`), принадлежащей прямой `BC`, - то ли на стороне треугольника, то ли на ее продолжении); подробнее: или угол `CDB = 90 + 90 = 180` (на рис. 1), т.е. точка `D` - на отрезке `BC` ( и `AD` - высота в остроугольном треугольнике, попадающая на саму сторону (на отрезок) `BC`), или угол `CDB = 90 - 90 =0` ( на рис.2 ), т.е. тогда точка `D` - на продолжении стороны `BC` ( т.е. угол `B` - тупой, и высота `AD` попадает на продолжение стороны);
`(BD)/(CD) = 1/3` => `BD= x` и `CD = 3x`, т.е. в 1-ом случае будет сторона `BC = 4x` , а во 2-ом: `BС = 2x`;
находим (записываем через `x`) все отрезки, и получаем `cos(/_A)` по теореме косинусов из треуг-ка `ABC`

2012-07-17 в 20:01 

C3: если нигде не "наврала", то как-то так:

1-ое нерав-во: `(8^(-x) - 5*(0.5)^x)/(2^(-x) - 2^(x+4)) >= 0` => `(2^(-3x) - 5*2^(-x))/(2^(-x) - 16*2^x) >= 0` => делим и числитель, и знаменатель на `2^x`, получим: `(2^(-4x) - 5*2^(-2x))/(2^(-2x) - 16) >= 0`;
обозначим `t = 2^(-2x)` (где `t > 0`), и тогда: `(t^2 - 5t) /(t -16) >= 0` => решениями такого нерав-ва были бы `t in [0;5]uu(16; +infty)`, а так как `t = 2^(-2x)`, то: `(2^(-2x)) in (0; 5]uu(16;+infty)`, т.е. исходное нерав-во равносильно совокупности неравенств: `2^(-2x) <= 5` или `2^(-2x) > 16`;
если `2^(-2x) <= 5`, то `x >= (-1/2)*log_2(5)`, или: если `2^(-2x) > 16`, то `x < -2`;
т.е. решения 1-ого нерав-ва: `x in (-infty; -2)uu[(-1/2)*log_2(5); +infty)` {пока не учитывая 2-ое нерав-во системы}

2-ое: `log_{x^2} (1/x + 2/(x^2)) <= 0`. ОДЗ (для 2-ого нерав-ва — и для всей системы): `{(x != 0), (|x| != 1), (1/x + 2/(x^2) > 0):}`; последнее нерав-во в ОДЗ: `(x+2)/(x^2) > 0` => `x > -2` и `x !=0`, т.е. (учитывая еще `|x| != 1`) ОДЗ такая: `x in (-2; -1)uu(-1;0)uu(0;1)uu(1; +infty)`;
{уже видно, что часть решения 1-ого нерав-ва: `x < -2` — в ответ не входит}
Отдельно рассматриваем:
(2.1) Если `x^2 > 1`, точнее (на ОДЗ) `x in (-2;-1)uu(1; +infty)`, то из нерав-ва `log_{x^2} (1/x + 2/(x^2)) <= 0` получим: `1/x + 2/(x^2) <= 1` , т.е. `(-x^2 +x +2)/(x^2) <= 0`, => `((x-2)*(x+1))/(x^2) >= 0` => решениями этого были бы `x in (-infty; -1]uu[2; +infty)`, а учитывая условие `x in (-2;-1)uu(1; +infty)`, имеем: `x in (-2; -1)uu[2; +infty)`
(2.2) Если `x^2 < 1`, точнее (на ОДЗ) `x in (-1; 0)uu(0; 1)`, то из `log_{x^2} (1/x + 2/(x^2)) <= 0` получим `1/x +2/(x^2) >= 1`, => `((x-2)*(x+1))/(x^2) <= 0` => решениями такого нерав-ва были бы `x in [-1;0)uu(0;2]`, а учитывая, что рассматриваются только `x in (-1; 0)uu(0; 1)` - их и оставляем (т.е. в этом случае `x in (-1; 0)uu(0; 1)`).
Объединяем (2.1) и (2.2): `x in (-2;-1)uu(-1;0)uu(0;1)uu[2; +infty)` — решения 2-ого неравенства;
А решения системы ( пересечение множеств решений 1-ого и 2-ого неравенств): `x in [(-1/2)*log_2(5); -1)uu(-1;0)uu(0;1)uu[2;+infty)`;
(так как число `(-1/2)*log_2(5) > -2`)

2012-07-18 в 03:33 

С5 Найти все значения параметра `a`, при которых уравнение `x^4 + (a-3)^2 = |x - a + 3 | + | x + a - 3 |` имеет не более одного решения.
Вот тут не знаю, насколько все эти мои записи будут решением (т.е. всё "очевидно", но если "доказывать" то, что "очевидно", то что-то страшное получается..)
Т.к. ур-ие имеет вид: `x^4 + (a-3)^2 = | x - (a - 3) | + | x + (a -3) |`, то можно переобозначить параметр `b = | a -3 |`;
и ищем неотрицательные ( `b >= 0` ) значения параметра `b`, при которых ур-ие `x^4 + b^2 = |x - b| + |x + b|` имеет 1 решение (единственное), или ни одного.
Рассматриваем функции `Y_1 = x^4 + b^2` ( график - парабола (4-ой степени), поднятая на `b^2` единиц вверх ),
и `Y_2 = |x - b| + |x + b|` — раскрыв модули, получаем: `Y_2 = {(2x, if x >= b >=0), (2b, if x in [-b; b]), ( -2x, if x <= (-b) <= 0):}` - т.е. график `Y_2` - это 2 луча прямых `y= -2x` и `y = 2x` и горизонтальный отрезок `y= 2b` (от точки `(-b; 2b)` до точки `(b; 2b)`).
Минимальные значения двух функций `Y_1` и `Y_2` совпадут (в точке `x = 0`, и это значение `x =0` будет решением - хотя бы одним из решений) при условии, что `b^2 = 2b` => `b=0` или `b=2`.
При `b=0` получаем `x^4 = 2*|x|` — очевидно, кроме `x=0` есть еще 2 решения (`|x|^3 = 2`, => `x = root(3)(2)` или `x = - root(3)(2)`); т.е. `b=0` « не подходит » (решение НЕ единственное).
При `b=2` ур-ие: `x^4 + 4 = |x - 2| + |x + 2|`, т.е. или `x^4 + 4 = 4` при `x in [-2; 2]` (и здесь только `x=0`), или `x^4 + 4 = 2*|x|` при ` |x| > 2` — и можно доказать, что здесь решений не будет: это очевидно, но если доказывать, то.. лучшего не придумалось..
Т.е. значение `b = 2` - подходит (решение ур-ия единственное (`x =0`)).
И точно так же можно доказать, что если вершина параболы `Y_1 = x^4 + b^2 ` выше, чем `y=2b`, то точек пересечения (решений ур-ия) уже не будет (т.е. с лучами `y= +-2x` парабола не пересечется). еще раз то же самое..
Т.е. все значения `b >= 2` подходят (при `b=2` решение единственное, а при `b > 2` решений нет вообще)
Остается доказать, что для всех `b in (0;2)`{когда вершина параболы ниже, чем `2b`} решения обязательно есть ( и их тогда будет больше одного в силу симметрии обоих графиков - т.е. вместе с `x_0` решением будет еще и `(-x_0)`), т.е. значения `b in (0;2)` не подойдут.
снова "доказательство" чего-то очевидного - только теперь еще и доказательство какое-то "левое".. =(
Т.е. условию удовлетворяют `b >= 2`, => `|a-3| >= 2`, =>` a >= 5` или `a <= 1` (ответ)

2012-07-18 в 03:47 

.. вообще вместо всего этого ужаса ( в моем же предыдущем комменте) "хочется" написать что-то вроде того, что функция `Y_1 = x^4 + b^2` (имеющая производную `(Y_1)' = 4x^3`) - при всех `x > 1` возрастает "значительно быстрее", чем `y=2x` ( у которой производная `y' =2`), т.е. если при каком-то `x >1` график ф-ии `Y_1` выше, чем `y=2x`, то он "и дальше будет выше", никаких точек пересечения уже не будет; и так же: если при каком-то `x_0` график `Y_1 = x^4 + b^2` прошел ниже, чем `y=2x`, то точка пересечения еще будет..
Но не похоже, чтобы можно было так написать на ЕГЭ..

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная