Математическая олимпиада в Голландии

[mpl]

Забытый июньский топик...

Dutch Mathematics Olympiad/Nederlandse Wiskunde Olympiade
www.wiskundeolympiade.nl/cms/

Олимпиада проводится в три этапа, первые два - в начале года, последний - в сентябре.

В комментарии приведены условия финала 2011 года.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[mpl]

Finale/Final round
Nederlandse Wiskunde Olympiade/Dutch Mathematical Olympiad
vrijdag 16 september 2011/Friday 16 September 2011
Technische Universiteit Eindhoven/Technical University Eindhoven

Available time: 3 hours.
Each problem is worth 10 points. A description of your solution method and clear argumentation are just as important as the final answer.
Calculators and formula sheets are not allowed. You can only bring a pen, ruler (set square), compass and your math skills.
Use a separate sheet for each problem. Good luck!

1. Найдите все тройки натуральных чисел (a; b; n) удовлетворяющие уравнению: `a! + b! = 2^n`.
Обозначение: `k! = 1 times 2 times ... times k`, например: `1! = 1`, and `4! = 1 times 2 times 3 times 4 = 24`.

2. Дан треугольник ABC. Точки P и Q лежат на стороне BC, |BP| = |PQ| = |QC| = 1/3 |BC|. Точки R и S лежат на стороне CA, |CR| = |RS| = |SA| = 1/3 |CA|. наконец, точки T и U лежат на стороне AB, |AT| = |TU| = |UB| = 1/3 |AB|. Точки P, Q, R, S, T и U лежат на одной окружности. Докажите, что ABC является равносторонним треугольником.

3. В турнире, в котором принимают участие 6 команд, каждая команда играет против каждой один раз. Победившая команда получает 3 очка, проигравшая не получает ничего. Если игра завершается вничью, то каждая команда получает по одному очку. Может ли количество очков, которые наберут команды по завершении турнира, выражаться последовательными числами, a, a + 1, ... , a + 5? Если это так, то найдите все значения a для которых это возможно.

4. Найдите все пары положительных действительных чисел (a; b), a > b, удовлетворяющих уравнениям
`asqrt(a) + bsqrt(b) = 134` и `asqrt(b) + bsqrt(a) = 126`.

5. Числовой черт раскрасил все целые числа белой и черной краской. Число 1 окрашено белым. Для любых двух белых чисел a и b (они могут быть равны) числа a - b и a + b имеют разный цвет. Докажите, что число 2011 покрашено в белый цвет.

[Дилетант]

Спасибо!

[VEk]

Спасибо!

[kostyaknop]

Я, признаться, не понимаю, на кого эта олимпиада рассчитана. Первая задача, например, это полная фигня, которую я бы давал разве что на проверочной работе по теме "делимость" в кружке первого года обучения.

Вторая легко решается через свойство "произведение секущей на её внешнюю часть". То есть по нашей программе - это не дальше, чем начало 9 класса.

Или вот сравните третью задачу с сюжетом, который отыграли недавно у нас в 8 и 9 классах:
"В однокруговом турнире по футболу принимали участие 6 команд. За победу начислялось 3 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш – 0 очков. По итогам турнира каждая команда, начиная со второй, набрала на 2 очка меньше, чем предыдущая. Как сыграли между собой команды, занявшие третье и последнее место?"
Здесь аналог нидерландской задачи сидит как очень маленький кусок...

Четвертая задача - алгебра, тупая до невообразимости.

Пятая - возможно, из-за перевода, но неверна. Ничто не мешает единице быть единственным белым числом.

[mpl]

Пятая - возможно, из-за перевода, но неверна

De telduivel heeft alle gehele getallen gekleurd: elk getal is nu of zwart of wit. Het getal 1 is wit. Voor elk tweetal witte getallen a en b (de getallen a en b mogen hetzelfde zijn) hebben a - b en a + b verschillende kleuren. Bewijs dat het getal 2011 wit is.

Ничто не мешает единице быть единственным белым числом.

Это из разряда подразумеваемого. Имеются два различных белых числа.

Я, признаться, не понимаю, на кого эта олимпиада рассчитана.

На учащихся старших классов.

The Dutch Mathematics Olympiad is an annual mathematics competition for pupils of general secondary education. All students from grades 1 t / m 5 with interest in mathematics can participate in the first round. This is always held in January at all participating schools. The playful yet challenging exercises will test your creativity and mathematical understanding.

[mpl]

Пятая - возможно, из-за перевода, но неверна.

Официальный перевод
The number devil has coloured the integer numbers: every integer is coloured either black or white. The number 1 is coloured white. For every two white numbers a and b (a and b are allowed to be equal) the numbers a - b and a + b have dierent colours. Prove that 2011 is coloured white

[VEk]

kostyaknop, во многих странах уровень математики (школьной) намного ниже, чем у нас (по крайне мере в массовой школе). Но у них больше внимания уделяется практическому применению (заплатить за электроэнергию, за воду, что-то дорожает- дешевеет, где выгоднее и т.п.)

[kostyaknop]

integer - это целые, а не натуральные. В частности, именно поэтому второе белое число точно есть: либо 0, либо 2.

[kostyaknop]

И по этой же причине имеется всего две раскраски, удовлетворяющие условиям, и в обоих 2011 белое

[kostyaknop]

Я, признаться, не понимаю, на кого эта олимпиада рассчитана.
На учащихся старших классов.

Я прочитал это сразу. Мне очень жаль нидерландских школьников, если задачи такой сложности реально позволяют выявить победителей национальной олимпиады.

[VEk]

задачи такой сложности реально позволяют выявить победителей национальной олимпиады.

Боюсь, что через некоторое время мы придем к таким же результатам. Особенно с внедрением новых стандартов.

[mpl]

это целые, а не натуральные.

Невнимательность. Спасибо.

[mpl]

либо 0, либо 2.

Исключающее либо.

[kostyaknop]

Посмотрел на их сайте. Все-таки отбор команды у них идет по нормальным задачам.

Пример - задачи с последней отборочной олимпиады (июнь 2012)

2. a, b, c и d - положительные числа. Докажите, что `(a-b)/(b+c) + (b-c)/(c+d) + (c-d)/(d+a) + (d-a)/(a+b) >= 0`.

3. Найдите все натуральные числа, не представимые в виде `a/b + (a+1)/(b+1)`, где a и b - натуральные.

4. Пусть n - натуральное число, кратное 4.. Рассмотрим все перестановки (A1 , A2 , ..., An) чисел (1,2, ..., n), обладающие следующим свойством: для каждого i, если i=A_j, то A_i + j = n+1. Докажите, что их количество равно (n/2)! / (n/4)!

[kostyaknop]

Боюсь, что через некоторое время мы придем к таким же результатам. Особенно с внедрением новых стандартов.

К счастью, образование очень консервативно, и в особенности это относится к топовым достижениям. Никакие хреновые стандарты не убьют всю систему кружков, летних школ, все разнообразие олимпиад и турниров для одаренных детей и т.п. На наш век хватит детей, которых можно будет хорошо обучить. И на следующее поколение тоже точно хватит.

А там - или шах, или ишак...

[VEk]

Мы в этом году впервые не проводили летний лагерь. Региональным властям не до него.

[kostyaknop]

Мы в этом году впервые не проводили летний лагерь. Региональным властям не до него.

Печально, но вполне в пределах допустимых флуктуаций. В целом все равно количество специализированных летних школ и лагерей растет. а не падает, и платежеспособный спрос на них тоже растет.

[mpl]

Не везде национальные олимпиады рассматриваются только как этап отбора участников международных состязаний, возможно я и ошибаюсь. Поэтому и не переводил условия отборочных тестов. Первый и последний раз... )

www.wiskundeolympiade.nl/cms/wedstrijdarchief/t...

Toets 16 maart 2012
Elke opgave is 7 punten waard.

Opgave 1. Существуют ли многочлены второй степени `P(x)` и `Q(x)`, такие, что многочлен `P(Q(x))` имеет нули `x = 2`, `x = 3`, `x = 5` и `x = 7`.

Opgave 2. Дан треугольник `ABC` и точка `X` внутри него. Прямые `XA`, `XB` и `XC` пересекают описанную около треугольника `ABC`окружность в точках `P`, `Q` и `R`, соответственно. Точка `U` лежит на луче `XP` (т.е. точки `P`и `U` прямой `XP` лежат с одной стороны от точки `X`). Прямая, проходящая через точку `U` параллельно `AB`, пересекает `BQ` в точке `V`. Прямая, проходящая через точку `U` параллельно `AC`, пересекает `CR` в `W`. Докажите, что `Q`, `R`, `V` и `W` лежат на одной окружности.

Opgave 3. Найдите все пары натуральных чисел `(x,y)` для которых верно равенство`x^3 + y^3 = 4(x^2y + xy^2 - 5)`.

Opgave 4. Дан выпуклый четырехугольник `ABCD` (все его внутренние углы меньше `180^@`). Точка `M`на отрезке `AB` и точка `N` на отрезке `BC` выбраны так, что `AN` делит четырех угольник на части равной площади, аналогичным образом делит четырехугольник и `CM`. Докажите, что `MN` делит диагональ `BD` на две равные части.

Opgave 5. Множество `A`, состоящее из натуральных чисел, обладает таким свойством: для любого `n` только одно из чисел `n`, `2n` и `3n` принадлежит `A`. Верно, что `2 in A`. Докажите, что `13824 notin A`.

[mpl]

Многие условия второго теста перевел kostyaknop. Последний, третий тест

Toets 9 juni 2012
Elke opgave is 7 punten waard.

Opgave 1. Для натуральных `a` и `b` определим `a ominus b = (a-b)/(gcd(a,b))`. Докажите, что для любого целого числа `n > 1` верно: `n` является степенью простого числа (т.е. `n = p^k`, где `p` - простое число, а `k` - натуральное число) тогда и только тогда, когда для всех натуральных `m < n` верно, что `gcd(n, n ominus m) = 1`.

Opgave 2. Мы имеем две коробки с шариками. В одной коробке `m` шариков, в другой - `n`, `m, n > 0`. С шариками можно выполнять две операции:
(i) Извлечь из обеих коробок равное количество шариков.
(ii) Увеличить количество шариков в одной из коробок в `k` раз.
Всегда ли возможно извлечь все шарики из двух коробок, если
a) `k = 2`?
b) `k = 3`?

Opgave 3. Найдите все пары натуральных чисел `(x,y)` удовлетворяющие условиям: `x + y +1 | 2xy` и `x + y - 1 | x^2 + y^2 - 1`.

Opgave 4. Дан треугольник `ABC`. Биссектриса угла `CAB` пересекает `BC` в точке `L`. На сторонах `AC` и `AB` взяты, соответственно, точки `M` и `N` так, что `AL`, `BM` и `CN` пересекаются в одной точке и `/_AMN = /_ALB`. Докажите, что `/_NML = 90^@`.

Opgave 5. Найдите все функции `f : RR -> RR`, удовлетворяющие равенству
`f (x + xy + f (y)) = (f (x) + 1/2 )(f (y) +1/ 2)`
для всех `x, y in RR`.