18:23 

Математическая олимпиада в Хорватии

Математическая олимпиада в Хорватии
www.matematika.hr

Математические соревнования в Хорватии проводятся с 1956 года, в то время Хорватия была частью Югославии. Система проведения соревнований несколько изменилась после обретения независимости в 1991 году, нумерация хорватских олимпиад ведется с 1992 года. Соревнования проводятся в несколько этапов - школьный, муниципальный, региональный и, наконец, республиканский этап, т.е. Национальная МО. Национальная МО проводится в начале мая, обычно на адриатическом побережье. Финал проводится для школьников основной и старшей школы.
Школьникам старшей школы предлагаются два варианта заданий, вариант А - для учащихся специализированных школ и вариант В - для всех остальных.

Забытый концлагерь

читать дальше



В комментариях приведены задания CrMO 2012, вариант А, для учащихся 1-4 классов старшей школы.

@темы: Новости, Олимпиадные задачи

Комментарии
2012-06-22 в 18:25 

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
1. razred - srednja škola - A varijanta
26. travnja 2012.


1. Найдите все пары (х, у) целых чисел, для которых верно

`6x^2y^2 - 4y^2 = 2012 - 3x^2`.


2. Докажите, что для всех действительных чисел a, b, c верно

`1/3 (a + b + c)^2 <= a^2 + b^2 + c^2 + 2 (a - b +1)`.


3. Каждая цифра натурального числа n строго больше стоящей слева от нее цифры. Найдите сумму цифр числа 9n.

4. Дан треугольник ABC с тупым углом при вершине B, пусть D и E середины `bar{AB}` и `bar{AC}`, F - точка, принадлежащая отрезку `bar{BC}`, `/_BFE` - прямой, G - точка на `bar{DE}`, `/_BGE`- прямой.
Докажите, что точки A, F и G лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 2|BF| = |CF|.

5. Azra загадал 4 действительных числа и записал на доске их всевозможные попарные суммы, после чего стер одну из них. На доске остались числа -2, 1 , 2 , 3 и 6. Какие числа задумал Azra?

2012-06-22 в 18:26 

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
2. razred - srednja škola - A varijanta
26. travnja 2012.


1. Пусть x - действительное число x, для которого `x^2 - x` и `x^4 - x`- целые числа. Докажите, что x - целое число.

2. Найдите все действительные решения уравнения
`4x^2 - 20lfloor x rfloor + 9 = 0`,

где `lfloor x rfloor` обозначает наибольшее целое число не превосходящее x.

3. Дан равнобедренный треугольник ABC (|AB| = |AC|) вписанный в окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках A и C, пересекаются в точке D, /_DBC = 30°. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

4. Докажите, что для положительных действительных чисел a, b и c, таких что `a + b + c <= 3`, верно

`(a+1)/(a(a+2))+ (b +1)/(b(b+2)) + (c+1)/(c(c+2)) >= 2`


5. Можно ли обойти доску размером 4 x 2012 клеток ходом шахматного коня и вернуться обратно, побывав в каждой клетке только один раз?
Конь движется так, как показано на рисунке, из клетки, отмеченной кругом, можно попасть на одну из восьми клеток, отмеченных крестами, если они находятся на доске.

2012-06-22 в 18:27 

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
3. razred - srednja škola - A varijanta
26. travnja 2012.


1. Докажите, что не существует натурального `n >= 2`, такого что функция
`f (x) = cos (xsqrt(1)) + cos (xsqrt(2)) + ... + cos(xsqrt(n))`

периодическая.

2. Дан треугольник ABC с прямым углом C. Возьмем точку D на стороне `bar{AC}` и точку E на `bar{BD}` , `/_ABC = /_DAE = /_AED`. Докажите, что BE = 2 CD .

3. Для данного простого числа p найдите все целые числа n, такие что `sqrt(n^2 + pn)` - целое.

4. Длины сторон четырехугольника - целые числа, которые являются делителями суммы длин трех других сторон. Докажите, что по крайней мере две стороны четырехугольника равны.

5. На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выберем числа a и b и заменяем их на числа 3a - b и 13a - 3b.
Если в самом начале на доске были записаны числа 1, 2, 3, 4, ..., 2011, 2012, то можно ли через конечное число шагов получить на доске числа 2, 4, 6, 8, ..., 4022, 4024?

2012-06-22 в 18:28 

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
4. razred - srednja škola - A varijanta
26. travnja 2012.


1. a) `x` и `y` действительные числа, такие что `x + y`, `x^2 + y^2` i `x^4 + y^4`- целые. Докажите, что `x^n + y^n` - целое при всех натуральных n.
b) Найдите пример действительных чисел `x` и `y`, для которых `x + y`, `x^2 + y^2` и `x4 + y4` - целые.
c) Найдите пример действительных чисел `x` и `y`, для которых `x + y`, `x^2 + y^2` i `x^3 + y^3` - целые, а `x^4 + y^4` - нецелое число.

2. Пусть `p_1` и `q_1` целые числа, такие что уравнение `x^2 + p_1x + q_1 = 0` имеет два целых корня. Для всех `n in NN` определим числа `p_{n+1}` i `q_{n+1}`:
`p_{n+1} = p_n + 1`, `q_{n+1} = q_n + 1/2p_n`.

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n для которых уравнение `x^2 + p_nx + q_n = 0` имеет два целых корня.

3. Дан треугольник с ортоцентром H и центром описанной окружности O. Докажите, что биссектриса угла равного 60° перпендикулярна OH.

4. Пусть n и d - натуральные числа, такие что d - делитель `2n^2`. Докажите, что `n^2 + d` не является полным квадратом.

5. Клетки таблицы 10 x 10 клеток назовем дружественными, если они имеют хотя бы одну общую вершину. В клетки вписывают натуральные числа меньшие или равные 10, при этом числа в дружественных клетках должны быть взаимнопросты. Докажите, что одно из чисел появится в таблице по крайней мере 17 раз.

2012-06-22 в 18:30 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо!

2012-08-18 в 00:16 

mpl, спасибо.
И за текст о концлагере - тоже. Потому что это надо знать.
-----------------------------------------------
А олимпиадная математика у сербов "круче" (мне кажется)

2012-08-18 в 02:15 

В 1-ом комментарии ("1 razred")


№ 2. Докажите, что для всех действительных чисел a, b, c верно:
`1/3*(a+b+c)^2 <= a^2 + b^2 + c^2 + 2*(a-b+1)`.


Правая часть: `a^2 + 2a +1 + b^2 - 2b +1 + c^2`, т.е. эта правая часть `= (a+1)^2 + (b-1)^2 + c^2`;
и "это не даром" знаки разные =)) - т.е. `(a+1)` и `(b-1)` — тогда `(a + 1) + (b -1) = a + b`;
в общем, дальше уже понятно..=)


(там же) № 4 Дан треугольник `ABC` с тупым углом при вершине `B`; пусть `D` и `E` - середины `AB` и `AC`, т. `F` - точка, принадлежащая отрезку `BC`, угол `/_BFE` - прямой, т. `G` - точка на `DE`, и угол `/_BGE`- прямой. Докажите, что точки `A`, `F` и `G` лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда `2|BF| = |CF|`.


imho: странная задача..
(вообще-то совсем легкая - а задание, наверное, было в том, чтобы вывести все объяснения - и не запутаться в словах ?? )
рисунок
`BFEG` - прямоугольник это "очевидно" - хотя можно еще и расписать "доказательство".. . Т.е. `GE = BF = x`.
1) Если знаем, что точки `A`, `F` и `G`- на одной прямой, то:
через т. `E` проводим `EM`||`AF`— по теор. Фалеса `EM` будет средней линией в треуг-ке `ACF`; но и `GFME` -параллелограмм (т.к. `GE`||`FM` (уже и было), и построили `EM`||`AF` - если точка `G` принадлежит `AF`, то это же означает, что `EM`||`GF`), а тогда `FM = GE = x`; т.е. и `MC = FM= x` (т.к. `ME` -средн. линия), и `FC = 2x` ( т.е. `FC = 2*BF`)
2) И если знаем, что `|FC| = 2 |BF|`, ( `BF = x` и `FC = 2x`) - то, например, так:
делим пополам отрезок `FC` - получаем `FM = MC = x`, проводим прямую `AF` {не говоря пока, будет ли на ней точка `G`}, и проводим `ME` - среднюю линию в треуг. `ACF` (т.е. будет `ME`||`AF`); обозначим точку `G1` - точку пересечения `DE` и `AF`;
`FMEG1` - параллелограмм (т.к. `FM`||`EG1` и `ME`||`FG1`) => `EG1 = MF = x`, — но и `EG = BF = x` ( из прямоугольника `BFEG`), т.е. `EG1 = EG`. и на одной прямой от т. `E` можно отложить (" в одну сторону") только один отрезок `=x`,т.е. точка `G` совпадает с точкой `G1`
(т.е. `G` принадлежит `AF`)

2012-08-18 в 02:44 

3-ий комментарий ("3 razred")


№2. Дан треугольник `ABC` с прямым углом `C`. Возьмем точку `D` на стороне `AC` и точку `E` на `BD`, так, что `/_ABC=/_DAE=/_AED`. Докажите, что `BE = 2 CD` .


Снова imho (хотя меня вроде никто и не спрашивал=)): вот это уже легко - но красиво=)
напоминает доказательство (один из вариантов доказательства) того, что "катет против 30 градусов = половине гипотенузы" =))
рисунок
решение уже есть на рисунке=) а если совсем расписывать, то так..

P.S. можно и просто "загрузить тригонометрию" (ничего не достраивая..)
`/_BDC = 2beta`; если `AC = b`, то: `CD = (BC)/(tg(2beta)) = b/(tg(beta)*tg(2beta)) =(b*cos(2beta))/(2*sin^2(beta))`;
и `BE = BD - x = BD - (b - CD) = BD - b + CD`,
но `BD - b = (BC)/(sin(2beta)) - b = b/(tg(beta)*sin(2beta)) - b = b/(2*sin^2(beta)) - b = (b*(1 - 2*sin^2(beta))) /(2*sin^2(beta)) = (b*cos(2beta))/(2*sin^2(beta))`,
т.е. `BD - b = CD`, и `BE= BD - b + CD = 2 CD`

Но так не интересно)

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная