Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
12:49 

Математическая олимпиада в Румынии



Математическая олимпиада в Румынии

www.olimpiade.ro/

Первые математические соревнования в Румынии состоялись в 1950 году. Соревнования проводятся в несколько этапов. Национальный финал проводится ранней весной раздельно для учащихся разных классов.



В комментариях приведены условия окружного и финального этапов 2011-12 учебного года для школьников 5-12 классов.

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2012-07-15 в 06:28 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 Martie 2012

CLASA a V-a


Problema 1. Найдите все трехзначные числа, которые уменьшаются в 9 раз при стирании средней цифры.
Gazeta Matematică

Problema 2.
a) Какие степени числа 2 записываются четырьмя цифрами в десятичной системе счисления?
b) Пусть `n` - натуральное число. Докажите, что существуют по крайней мере три степени числа 2, которые записываются `n` цифрами в десятичной системе счисления.

Problema 3. Доказать, что из произвольных различных натуральных чисел, количество которых равно 51, можно выбрать два числа, произведение суммы и разности которых делится на 400.

Problema 4. В коробке содержится 36 шаров, пронумерованных числами от 1 до 36. Ion решил освободить коробку следуя указанной ниже процедуре. На каждом этапе он последовательно выполняет указанные шаги:
• Ion извлекает из урны четыре выбранных случайно шара.
• Ion откладывает в сторону два шара, если разность их номеров делится на три.
• Ion возвращает в коробку те шары, которые он не отложил в сторону.
a) Покажите, что на каждом этапе Ion может отложить в сторону как минимум два шара.
b) Покажите, что если в коробке осталось четыре шара, то Ion может извлечь их все.

Timp de lucru 2 ore. Se acorda în plus 30 de minute pentru întrebări.
Fiecare problema este notata cu 7 puncte.



mpl

2012-07-15 в 06:29 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa finală, Bistriţa, 4 aprilie 2012

CLASA a V-a


Problema 1. Трое пиратов, Jack, Tom и Bill, ограбили судно, на котором они нашли несколько мешков с монетами, общее количество монет равно 2012. Jack открыл первый мешок и начал делить монеты. Начиная с себя он стал раздавать монеты в таком порядке: Jack, Tom, Bill, Jack, Tom, Bill, и так далее до опустошения мешка. Далее, Jack разделил монеты из второго мешка следуя тому же правилу: раздавать монеты по порядку - Jack, Tom, Bill - начиная с себя. То же самое он сделал и с остальными мешками. По завершении дележа монет Bill заметил, что у него на три монеты меньше, чем у Jack. Сколько монет получил каждый пират?

Problema 2. Элементы множества `{2, 3, 4, dots, 50}` раскрашивают следуя такому правилу: если число окрашено в какой-то цвет, то и все его делители красят этим же цветом. Чему равно максимальное количество цветов, в которые можно покрасить элементы множества?

Problema 3. Два друга, Cristi и Marius, играют в такую игру: Cristi выбирает число из множества `{0,1, 2, 3, dots, 999}`, после чего умножает его на два, Marius прибавляет `22` к результату; далее, Cristi умножает полученное число на два `2`, Marius прибавляет `22` и так далее. Проигрывает тот, кто первым получит число большее или равное `1000`. Определите, сколько вариантов выбора первого числа имеет Cristi для того, чтобы выиграть игру.

Problema 4. Назовем натуральное число олимпийским, если его можно представить в виде суммы двух различных натуральных чисел, суммы цифр которых равны.
Докажите, что множество `M = {10^n -1 \ | \ n in NN^ast}` содержит бесконечно много олимпийских чисел и бесконечно много неолимпийских чисел.

Timp de lucru 2 ore. Se acorda în plus 30 de minute pentru clarificări.
Fiecare problema este notata cu 7 puncte.



mpl

2012-07-15 в 06:29 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 Martie 2012

CLASA a VI-a


Problema 1. На прямой `d` взяты различные точки `A`, `B`, `C`, `D`, `E` такие, что `[AB] -= [BC] -= [CD] -= [DE]`. Пусть `M` - точка, лежащая вне прямой `d` такая, что расстояние от точки `B` до прямой `MA` равно расстоянию от точки `D` до прямой `ME`. Докажите, что расстояние от точки `C` до прямых `MA` и `ME` равны.

Problema 2. Для натурального числа `n` обозначим через `s(n)` сумму его цифр. Пусть `a` - натуральное `2012`-значное число, кратное 9. Докажите, что число `s(s(s(a)))` является полным квадратом.
Gazeta Matematică

Problema 3. В спортивном зале занимается много детей, девочек и мальчиков. Количество девочек в два раза больше количества мальчиков. Тренер случайным образом выбирает двух детей. Вероятность выбрать мальчика и девочку в шесть раз больше вероятности выбрать двух мальчиков. Сколько детей занимается в спортивном зале?

Problema 4. Множество `A`, состоящее из натуральных чисел, назовем первичным, если разность двух любых его элементов делится на 3 или 5.
a) Приведите пример первичного четырехэлементного множества, элементами которого являются числа 2 и 2012.
b) Докажите, что сумма элементов первичного пятнадцатиэлементоного множества кратна 3 или 5.

Timp de lucru 2 ore. Se acorda în plus 30 de minute pentru întrebări.
Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.



mpl

2012-07-15 в 06:30 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa finală, Bistriţa, 4 aprilie 2012

CLASA a VI-a


Problema 1. Найдите ненулевые цифры `a`, `b`, `c`, удовлетворяющие равенству
`1/a+1/b+1/c = bar{a, b (c)}`.

Problema 2. Возьмем натуральное число `n >= 2012`. Для каждого ненулевого натурального числа `p <= 2011` обозначим через `A_p` множество треугольников, длина первой стороны которых равна остатку от деления `n` на `2012`, длина второй стороны которых равна остатку от деления `n` на `p`, и длина третьей стороны выражается натуральным числом (предполагается, что деление дает остаток).
a) Покажите, что, если `n < 4024`, то для любого `p` элементами множества `A_p` являются равнобедренные треугольники.
b) Найдите все натуральные `n`, для которых множество `A_1006` содержит `5` элементов.

Problema 3. Дан равносторонний треугольник `ABC` и точка `X` на луче (`CA` (`A in (CX)`). На биссектрисе угла `/_BAX` выбрана точка `D`, а на луче (`AB` точка `E` так, что `AE + EC = DA + AC`. Докажите, что луч (`CD` является биссектрисой угла `/_ACE`.

Problema 4. Рассмотрим семизначное натуральное число, образованное не более чем тремя различными ненулевыми цифрами. Покажите, что можно удалить три цифры из десятичной записи этого числа так, чтобы число, образованное оставшимися цифрами, и исходное число имели наибольший общий делитель больший или равный двум.

Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru clarificări.
Fiecare problema este notata cu 7 puncte.


mpl

2012-07-15 в 06:31 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 Martie 2012

CLASA a VII-a


Problema 1. Пусть дано множество нечетных натуральных чисел `a_1`, `a_2`, ..., `a_2012`. Докажите, что `A = sqrt(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_2012^2 - 1)` является иррациональным.
Gazeta Matematică

Problema 2. Положительные числа a, b и c, таковы, что `a^2 + ab + ac - bc = 0`
а) Покажите, что если два из данных трех чисел равны, то по крайней мере одно из трех чисел является иррациональным.
б) Докажите, что существует бесконечно много троек натуральных чисел (m,n,p) таких, что `m^2+mn+m p-np=0`.

Problema 3. Пусть ABC- остроугольный треугольник. На его сторонах заданы точки `M, N in (BC)`, `Q in (AB)`, и `P in (AC)` так, что `MNPQ` является прямоугольником. Докажите, что если центр прямоугольника `MNPQ` совпадает с центром тяжести треугольника ABC, тогда `AB = AC = 3AP` .

Problema 4. На стороне `AB` квадрата `ABCD` взята точка `E`. Прямая `DE` пересекает прямую `BC` в точке `F`, а прямая `CE` пересекает `AF` в точке `G`. Докажите, что прямые `BG` и `DF` перпендикулярны.

Время выполнения равно 4 часа. Каждая задача оценивается в 7 баллов.



VEk

2012-07-15 в 06:31 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din Romănia

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa finală, Constanţa, 3 aprilie 2012

CLASA a VII-a


Problema 1. Точка `P` расположена внутри квадрата `ABCD` так, что `PA=1`, `PB=sqrt(2)` и `PC=sqrt(5)`.
а) Найдите длину отрезка `[PD]`;
б) Найдите величину угла `/_APB`.

Problema 2. Треугольник `ABC` – прямоугольный с прямым углом в вершине `A`. Известно, что точки `D in (AC)` и `E in (BD)` , причем `/_ABC = /_ECD = /_CED` . Покажите, что `BE = 2 * AD`.

Problema 3. Рассмотрим пары натуральных чисел `(m, n)` такие, что числа`(m^2 + 2n)/(n^2 - 2m)` и `(n^2 + 2m)/(m^2 - 2n)` – целые.
а) покажите, что `|m - n| <= 2`.
б) найдите все такие пары чисел.

Problema 4. Назовем "с'ужением" n-значного чиcла A (`n>=2`) до (n-1)-значного числа путем удаления одной из цифр числа A. Например, "с'ужением" для числа 1024 являются числа 124, 104 и 102.
Определите сколько cуществует семизначных чисел, которые не могут быть представлены в виде суммы самого числа A и его "с'ужения", полученного из A.

Время выполнения - 4 часа. Каждая задача оценивается в 7 баллов.


VEk

2012-07-15 в 06:32 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 Martie 2012

CLASA a VIII-a


Problema 1. Пусть a и b – различные вещественные положительные числа, такие, что `a - sqrt(ab)` и `b - sqrt(ab)` рациональны. Докажите, что числа a и b также рациональны.
Gazeta Matematică

Problema 2. В основании пирамиды VABCD лежит прямоугольник ABCD, все боковые ребра пирамиды равны. Покажите, что плоскость (VCD) образует равные углы с плоскостями (VAC) и (BAC) тогда и только тогда, когда углы `/_VAC` и `/_BAC` равны.

Problema 3. Даны положительные действительные числа a, b, и c. Определите наибольшее целое n, для которого неравенство
`1/(ax + b + c)+1/(a + bx + c)+1/(a + b + cx) ge n/(a + b + c)` справедливо для любого `x in [0,1]`.

Problema 4. В тетраэдре ABCD ребра `AD _|_ BC` и `AC _|_ BD`. Обозначим E и F проекции вершины B на ребра AD и AC соответственно. Пусть M – середина ребра AB, N – середина ребра CD. Докажите, что `MN _|_EF`.

Время выполнения - 4 часа. Каждая задача оценивается 7 баллами.



VEk

2012-07-15 в 06:32 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa finală, Constanţa, 3 aprilie 2012

CLASA a VIII-a


Problema 1. Определите вещественные числа `a`, `b`, `c`, `d` такие, что `ab + c + d = 3`, `bc + d + a = 5`, `cd + a + b = 2` и `da + b + c = 6`.

Problema 2. На плоскости `xOy` задано множество точек
`X = {P (a, b) | (a, b) in {1,2, dots, 10} times {1, 2, dots, 10}} `.
Определите количество различных прямых, каждая из которых проходит через две различные точки из X, так что никакие две прямые не параллельны.

Problema 3. Остроугольные треугольники `ACD` и `BCD` расположены в различных плоскостях.
Пусть `G` и `H` - центр тяжести и, соответственно, ортоцентр треугольника `BCD`, а `G'` и `H'` - центр тяжести и, соответственно, ортоцентр треугольника `ACD`.
Зная, что прямая `H H'` перпендикулярна плоскости `(ACD)`, показать, что прямая `G G'` перпендикулярна плоскости `(BCD)`.

Problema 4. Для любых непустых числовых множеств A и B обозначим `A + B = {a + b | a in A, b in B}`
а) Определить наибольшее натуральное число p такое, что существуют множества `A, B subset NN` такие, что `card A = card B = p` и `A+B = {0,1, 2,dots,2012}` .
б) Определить наименьшее натуральное число n такое, что существуют множества `A, B subset NN` такие, что `card A = card B = n` и `A+B = {0,1, 2,dots,2012}` .
Примечание. `card A` - мощность множества `A`.

Время выполнения - 4 часа. Каждая задача оценивается в 7 баллов.


VEk

2012-07-15 в 06:33 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi
Sportului Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 Martie 2012

CLASA a IX-a


Problema 1. Решите уравнение `[x]^5 + {x}^5 = x^5` на множестве вещественных чисел.
Замечание. [x] и {x} обозначены целая и дробная части числа x.

Problema 2. Покажите, что для любых вещественных положительных чисел a, b и c справедливо неравенство `a/(2a + b + c)+b/(a + 2b + c)+c/(a + b + 2c) le 3/4`.
Gazeta Matematică

Problema 3. Окружность, проходящая через вершины `B` и `C` треугольника `ABC`, пересекает стороны `AB` и `AC` в точках `N` и `M` соответственно. Точки P `P in (MN)` и Q `Q in (BC)` расположены так, что биссектрисы углов `BAC` и `PAQ` совпадают.
а) Докажите, что `(PM)/(PN) = (QB)/(QC)`
б) Докажите, что средние точки отрезков `(BM)`, `(CN)`, `(PQ)` коллинеарны (лежат на одной прямой).

Problema 4. Последовательность `(a_n)_{n ge 1}`натуральных чисел является непостоянной, возрастающей и обладает свойством: `a_n` делит `n^2` для любого `n ge 1`. Докажите, что выполняется одно из следующих условий:
• существует натуральное число `n_1`, такое, что `a_n = n` для любых `n >= n_1`;
• существует натуральное число `n_2`, такое, что `a_n = n^2` для любых `n >= n_2`.

Время выполнения - 4 часа. Каждая задача оценивается 7 баллами.


VEk

2012-07-15 в 06:33 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Finală, Constanţa, 3 aprilie 2012

CLASA a IX-a


Problema 1. 1. Высота `[BH]`, проведенная к гипотенузе треугольника `ABC` пересекает биссектрисы `[AD]` и `[CE]` в точках `Q` и `P` соответственно. Покажите, что прямая , проходящая через середины отрезков `[QD]` и `[PE]` параллельна прямой `AC`.

Problema 2. Найдите все функции`f : RR -> RR`, обладающие свойством: для любого ограниченного интервала `I` множество `f(I)` является интервалом такой же длины, как `I`.

Problema 3. Покажите, что если задано натуральное число `n >= 2` и положительные вещественные числа `x_1, x_2, dots, x_n`, то
`4((x_1^3-x_2^3)/(x_1+x_2)+(x_2^3-x_3^3)/(x_2+x_3)+dots+(x_{n-1}^3-x_n^3)/(x_{n-1}+x_n)+(x_n^3-x_1^3)/(x_n+x_1)) le` `le (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+dots+(x_{n-1}-x_n)^2+(x_n-x_1)^2`.

Problema 4. Pe o masă sunt `k >= 2` grămezi având `n_1`, `n_2`, ..., respectiv `n_k` creioane. O mutare constă în alegerea a două grămezi având `a`, respectiv `b` creioane, `a >= b` şi transferarea din prima grămadă în cea de-a doua a `b` creioane.
Determinaţi condiţia necesară şi suficientă pentru `n_1, n_2,dots, n_k`, astfel încât să existe o succesiune de mutări prin care toate creioanele sunt transferate în aceeaşi grămadă.

4. На столе лежат k (`k >= 2`) коробок с `n_1`, `n_2`, ...,`n_k` карандашами. Один ход состоит в выборе двух коробок, содержащих `a` и `b` ( `a >= b`) карандашей соответственно, и перемещении `b` карандашей из первой коробки во вторую.
Определить, какие необходимые и достаточные условия надо наложить на `n_1, n_2,dots, n_k`, чтобы нашлась последовательность ходов, после выполнения которой все карандаши можно собрать в одной коробке.

Время выполнения - 4 часа. Каждая задача оценивается в 7 баллов.



VEk

2012-07-15 в 06:34 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 Martie 2012

CLASA a X-a


Problema 1. Пусть `f : [0, oo) -> RR` - функция, удовлетворяющая неравенству `|f (x) - f (y)| <= | sinx - siny|` при любых `x, y in [0, oo)`. Покажите, что `f` является ограниченной и периодической, а функция `g : [0, oo) -> RR`, определенная как `g(x) = x + f (x)` является монотонной.

Problema 2.
а) Найдите все вещественные решения уравнения `2^x = x+1`;
б) Пусть функция`f : RR -> RR` такая, что`f (f (x)) = 2^x - 1` для любых `x in RR`. Покажите, что `f(0) + f(1) = 1`.
Gazeta Matematică


Problema 3. Рассмотрим такую последовательность натуральных чисел `(a_n)_{n>=1}`, для которой `a_n <= n` для любых `n >= 1` и `sum_{k=1}^{n-1} cos (pi a_k)/n = 0` для любых `n >= 2`.
а) Найдите `a_2`
б) Определите общий член последовательности `(a_n)_{n>1}` как функцию от `n in NN^ast`.

Problema 4. Пусть `a` и `b` – два рациональных числа таких, что комплексное число `z = a + ib` имеет модуль, равный `1`. Докажите, что модуль комплексного числа `z_n = 1 + z + z^2 + dots + z^{n-1}` является рациональным числом для любого нечетного `n`.

Продолжительность работы - 4 часа. Каждая задача оценивается в 7 баллов.


VEk

2012-07-15 в 06:36 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa finală, Constanţa, 3 Aprilie 2012

CLASA a X-a


Problema 1. Дано множество `M = {z in CC | |z| = 1, \ text{Re} \ z in Q}`. Покажите, что на комплексной плоскости существует бесконечно много равносторонних треугольников, вершины которых принадлежат множеству `M`.

Problema 2. Пусть заданы три комплексных числа `a`, `b` и `c`, такие, что `a + b + c = 0` и `|a| = |b| = |c| = 1`. Покажите, что каким бы ни было комплексное число z, для которого `|z | <= 1`, выполняется неравенство `3 <= |z - a| + |z - b| + |z - c| <= 4`.

Problema 3. Пусть `a` и `b` - вещественные числа, для которых `0 < a < b`. Покажите
а) `2sqrt(ab) <= (x+y+z)/3 + (ab)/(root 3 (xyz)) <= a+b`, для `x,y,z in [a, b]`.
б) `{(x+y+z)/3 + (ab)/(root 3 (xyz)) | x,y,z in [a,b]} = [2sqrt(ab),a + b]` .

Problema 4. Пусть n и m - два натуральных числа, таких, что `m >= n >= 2`. Определите число инъективных функций `f : {1, 2,...,n}->{1, 2,...,m}`, таких, что
существует единственное число `i in {1, 2,..., n - 1}`, для которого `f (i) > f (i + 1)`.

Продолжительность работы - 4 часа. Каждая задача оценивается в 7 баллов.


VEk

2012-07-15 в 06:36 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 Martie 2012

CLASA a XI-a


Problema 1. Для действительного числа `a > 1` рассмотрим последовательность `(x_n)_{n>=1}`, определенную следующим образом: `x_1 = a` и `x_1 + x_2 + dots + x_{n+1} = x_1x_2 dots x_{n+1}`, для любого`n >= 1`. Докажите, что последовательность сходится и найдите ее предел.
Gazeta Matematică


Problema 2. Пусть квадратные матрицы `A`, `B` порядка `3` с действительными элементами таковы, что `AB = O_3`.
a) Докажите, что функция `f : CC -> CC` заданная как `f(x) = det(A^2 + B^2 + xBA)`является многочленом степени не выше `2`.
b) Докажите, что `det(A^2 + B^2) >= 0`.

Problema 3. Пусть `n in NN^ast` и матрицы `A,B in mathcal{M}_n(CC)` таковы, что `A * B^2 = A - B`.
a) Покажите, что матрица `I_n + B` обратима;
b) Покажите, что `AB = BA`.

Problema 4. Функция `f : RR -> RR` имеет свойство`mathcal{F}`, если для любого `a in RR` существует интервал `(b, a)`, такой, что для любого `x in (b, a)` выполняется `f (x) <= f (a)`.
a) Приведите пример функции, обладающей свойством `mathcal{F}`, немонотонной в `RR`.
b) Покажите, что если `f` непрерывна и обладает свойством `mathcal{F}`, то `f` возрастает.

Timp de lucru 4 ore.
Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.


Дилетант

2012-07-15 в 06:37 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa finală, Constanta, 3 aprilie 2012

CLASA a XI-a


Problema 1. Пусть функции `f, g : [0,1] -> [0,1]` таковы, что `g` монотонна и сюръективна и
`|f (x) - f (y)|<=|g(x) - g(y)|`,
для любых `x,y in RR`.
a) Покажите, что `f` непрерывна, и существует такое `x_0 in [0,1]`, что `f (x_0) = g(x_0)`.
b) Покажите, что множество точек `x in RR`, для которых `f (x) = g(x)` является отрезком (замкнутым интервалом).

Problema 2. Пусть `n` и `k` два целых числа, таких, что `n >= 2` и `1 <= k <= n - 1`. Покажите, что если матрица `A in mathcal{M}_n(CC)` имеет ровно `k` нулевых миноров порядка `n - 1`, то `det(A) != 0`.

Problema 3. Пусть `A, B in mathcal{M}_4(RR)` таковы, что `AB = BA` и `det(A^2 + AB + B^2) = 0`. Покажите, что
`det(A + B) + 3det(A - B) = 6det(A) + 6det(B)`.

Problema 4. Найдите дифференцируемую функцию `f : [0, oo) -> [0, oo)` такую, что `f (0) = 0`и `f'(x^2) = f (x)` для любого `x in [0, oo)` .

Timp de lucru 4 ore. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.


Дилетант

2012-07-15 в 06:38 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 Martie 2012

CLASA a XII-a


Problema 1. Пусть `a`, `b`, `c` - три строго положительных попарно различных числа. Вычислите
`lim_{t->oo} int_0^t 1/((x^2+a^2)(x^2+b^2)(x^2+c^2)) dx`.


Problema 2. Пусть `(A, +, *)` — кольцо из`9` элементов. Докажите, что следующие два утверждения эквивалентны:
(a) Для любого `x in A \ {0}` существуют `a in {-1, 0,1}` и `b in { -1,1}`, такие, что `x^2 + ax + b = 0`.
(b) `(A, +, *)` является телом.

Problema 3. Пусть `G` — конечная группа из `n` элементов с нейтральным элементом `e`. Найдите все функции `f : G -> NN^ast` удовлетворяющие одновременно обоим условиям:
(a) `f (x) = 1` тогда и только тогда, когда `x = e`; и
(b) `f (x^k) = f (x)//(f (x),k)` для любого натурального `k`, являющегося делителем числа `n`, где `(r, s)` — наибольший общий делитель натуральных чисел `r` и`s`.
Gazeta Matematică

Problema 4. Пусть `f : [0,1] -> RR` — дифференцируемая функция, такая, что `f (0) = f (1) = 0` и `|f'(x)| <= 1`, для любого `x in [0,1]`. Докажите, что
`|int_0^1 f(t)dt| < 1/4`.


Timp de lucru 4 ore.
Fiecare problema este notata cu 7 puncte.


Дилетант

2012-07-15 в 06:38 

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Societatea de Ştiinţe Matematice din România

Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa finală, Constanta, 3 aprilie 2012

CLASA a XII-a

Problema 1. Пусть непрерывная функция `f : [0, oo) -> RR` такова, что для любого натурального числа `n >= 1` выполняется: `int_0^n f (x)f (n - x)dx = int_0^n (f (x))^2 dx`. Докажите, что функция `f` является периодической.

Problema 2. Пусть `(R, +, *)` — кольцо, и `f` его сюръективный эндоморфизм, такой, что `[x, f (x)] = 0`для любого `x in RR`, где `[a, b] = ab - ba`, `a,b in RR`. Докажите, что:
(a) `[x,f (y)] = [f (x),y]` и `x[x,y] = f (x)[x,y]` для любых `x,y in RR`;
(b) Если `R` является телом и `f` не равно единице, то `R` коммутативно.

Problema 3. Пусть `mathcal{C}` — множество интегрируемых функций `f : [0,1] -> RR`, таких, что `0 <= f (x) <= x` для всех `x in [0,1]`. Определим функционал `V : mathcal{C} -> RR` следующим образом
`V(f )= int_0^1 (f (x))^2 dx - (int_0^1 f (x)dx)^2` , `f in mathcal{C}`.

Определите два следующих множества:
(a) `{V(f_a) | 0 <= a <= 1}`, где `f_a(x) = 0`, при `0 <= x <= a`, и `f (x) = x`, при `a < x <= 1`;
(b) `{V(f) | f in mathcal{C}}`.

Problema 4. Пусть `m` и `n` два натуральных числа, отличных от нуля. Определите минимальное число различных комплексных корней многочлена `prod_{k=1}^m (f + k)`, если `f` произвольный многочлен степени `n` с комплексными коэффициентами.

Timp de lucru 4 ore. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.


Дилетант. Спасибо за помощь Alidoro, All_ex, VEk

2012-07-15 в 08:21 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо!

2012-07-15 в 08:23 

За что? :)
Тут еще непочатый край

2012-07-19 в 11:59 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
mpl, VEk, спасибо! :)

2012-07-19 в 19:51 

V-a от 4 апреля
problema 2.
Все составные числа и простые числа, не превышающие `50/2=25`, окрасятся одним цветом. Выпишем все оставшиеся простые числа из данного множества: `29, 31, 37, 41, 43, 47`. Итого `7` цветов.

2012-07-19 в 23:12 

V-a от 4 апреля
problema 3.

Кристи не следует выбирать числа `n>=500`, так как он проиграет. Наибольшее число, которое он может выбрать это `499`, `499*2-x+22=1000, x=998-1000+22=20`, `(499*2-2*10)/2=499-10=489`, следовательно, Кристи может выбрать любое число от `489` до `499` включительно и выйграть.
Далее Кристи может выбрать`(489-22)/2=233,5` и `(499-22)/2=238,5` числа от `234` до `238`и так далее пока не дойдем до 10.
Итого:
от `489` до `499` - `11` чисел
от `234` до `238` - `5` чисел
от `106` до `108` - `3` числа
`42` до `43` - `2` числа
`10` - `1` число.

Ответ: `11+5+3+2+1=22` числа Кристи может выбрать.

2012-07-20 в 14:16 

V-a от 4 апреля
problema 4.

Мне кажется, что четвёртая задача из этой олимпиады другая, а именно: олимпийское число - это число, представимое в виде суммы двух различных натуральных чисел, суммы цифр которых равны.
`n=1, 10^n-1=9=8+1`
`n=2, 10^n-1=99=81+18`
`n=3, 10^n-1=999=818+181`
`n=4, 10^n-1=9999=8181+1818`
Откуда сразу возникает предположение, что при `n=2m` получаются олимпийские числа, а при `n=2m+1` - неолимпийские.
Пусть `n=2m`, тогда `99...9=8181...81+1818...18` - в каждом слагаемом `2m` цифр и сумма каждого слагаемого `9m`, а значит число `10^n-1` при чётном `n` олимпийское.
Пусть `n=2m+1`, тогда `s(a)+s(b)=2s(a)=s(99...9)=9n`, но чётное не равно нечётному, следовательно, `s(a)!=s(b)`, а значит число `10^n-1` при нечётном `n` неолимпийское.

2012-07-20 в 15:31 

Белый и пушистый (иногда)
Груша Вильямс, скорее всего Вы правы, наверное не очень хорошо перевели. Еще подумаю. Спасибо!

2012-07-20 в 16:32 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Груша Вильямс, да Вы правы. Красиво получилось :)
Я сейчас исправлю условие. Спасибо большое!

2012-07-20 в 16:39 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Заметим еще очевидное свойство: при четном n олимпийское число `10^n-1` можно представить (как минимум(?)) четырьмя пятью способами (с учетом перестановки слагаемых).
Например:
81+18=99
72+27=99
63+36=99
54+45=99
Еще:
90+9=99

2012-07-20 в 17:21 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Дилетант, чем больше `n`, тем больше вариантов... там ещё перестановки пар возможны...

2012-07-20 в 18:24 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
All_ex, ну, да. Точно!

2012-07-22 в 21:35 

VI-a от 4 апреля
problema 1.

Так как сказано, что цифры `a, b, c != 0`, то выражение `1/a+1/b+1/c >=1`. Это возможно если `a=2,1`.
Пусть `a=2`, тогда `1/2+1/b+1/c > 2, 1/b+1/c > 3/2`, откуда получим только пару `(1,1)`, которая не даст периодического числа, следовательно, `a!=2`.
Пусть `a=1`, тогда `1+1/b+1/c=bar(1,b(c)), 1/b+1/c=bar(0,b(c)), (b+c)/bc=bar(0,b(c))`.
Представим десятичную дробь `bar(0,b(c))` в виде обыкновенной дроби:
`bar(0,b(c))=x,` `10x=bar(b,(c)),` `100x=bar(bc,(c)),` `(100-10)x=bar(bc,(c))-bar(b,(c))=bar(bc)-b,` `90x=10b+c-b,` `x=(9b+c)/90`.
Получим уравнение `(9b+c)/90=(b+c)/bc,` `bc(9b+c)=90(b+c),` `bc(9b+c)=2*5*9(b+c)`.
Предположим, что `b` делит `9`, то есть `b|9`, тогда `b=3,9`.
Если `b=3`, тогда `3c(27+c)=90(3+c),` `c(27+c)=30(3+c),` `c(27+c)=2*3*5(3+c)`, откуда `c=2,3,5`.
Проверим: пусть `c=2`, тогда `2(27+2)?30(3+2),` `58!=150`; пусть `c=3`, тогда `3*30!=30*6`; пусть `c=5`, тогда `5*32?30*8,``160!=240`, следовательно, `b!=3`.
Если `b=9`, тогда `9c(81+c)=2*5(9+c),` `c(81+c)=2*5(9+c)`, откуда `c=2,5`. Проверим: пусть `c=2`, тогда `2(81+2)?2*5(9+2),` `83!=55`; пусть `c=5`, тогда `5(81+5)v2*5(9+5),` `86!=28`, следовательно, `b` не делит `9`.
Предположим, что `b|2`, тогда `b=2` и `2c(18+c)=90(2+c),` `c(18+c)=5*9(2+c),` `c(18+c)=5*3*3(2+c)`, откуда `c=5,9,3`. Проверим: пусть `c=5`, тогда `5(18+5)?5*9*7,` `23!=63`; пусть `c=9`, тогда `9(18+9)?5*9(2+9),` `27!=55`; пусть `c=3`, тогда `3(18+3)?5*3*3(2+3),` `21!=75`, следовательно, `b!=2`.
Предположим, что `b=5`, тогда `5c(45+c)=2*5*9(5+c),` `c(45+c)=2*9(5+c),` `c(45+c)=2*3*3(5+c)`, откуда `c=2,9,3`. Проверим: пусть `c=2`, тогда `2(45+2)?2*9*7,` `47!=63`; пусть `c=9`, тогда `9(45+9)?2*9(5+9),` `54!=28`; пусть `c=3`, тогда `3(45+3)?2*3*3(5+3),` `48=6*8.
Ответ: `a=1`, `b=5`, `c=3`.

P.S. Наверное проще решается как-то:duma2:

2012-07-22 в 22:03 

Записал кривовато, вот это имел ввиду:

Так как сказано, что цифры `a, b, c != 0`, то выражение `1/a+1/b+1/c > 1`. Это возможно если `a=2,1`.
Пусть `a=2`, тогда `1/2+1/b+1/c > 2,` `1/b+1/c > 3/2`, откуда получим только пару `(1,1)`, которая не даст периодического числа, следовательно, `a!=2`.
Пусть `a=1`, тогда `1+1/b+1/c=bar(1,b(c)),` `1/b+1/c=bar(0,b(c)),` `(b+c)/(bc)=bar(0,b(c))`.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная