Математическая олимпиада в Сербии
www.dms.org.rs
Математические соревнования в Сербии для учеников 3-8 классов основной школы и для 1-4 классов старшей школы проводятся в 5 этапов (школьный, муниципальный, окружной, государственный (республиканский), "федеральный"). В старшей школе проводятся два параллельных конкурса - конкурс категории А (для школьников изучающих математику в объеме математической гимназии) и Б (для всех остальных). Федеральный финал проводится только для старшеклассников по единым заданиям.
www.miledavidovic.com/newindex.html
В комментариях приведены условия некоторых этапов соревнований старшей школы 2011-12 у.г. Задания окружного этапа приведены в двух вариантах, т.к. из-за непогоды, если не путаю, в некоторых округах этап проводился с опозданием.
www.dms.org.rs
Математические соревнования в Сербии для учеников 3-8 классов основной школы и для 1-4 классов старшей школы проводятся в 5 этапов (школьный, муниципальный, окружной, государственный (республиканский), "федеральный"). В старшей школе проводятся два параллельных конкурса - конкурс категории А (для школьников изучающих математику в объеме математической гимназии) и Б (для всех остальных). Федеральный финал проводится только для старшеклассников по единым заданиям.
www.miledavidovic.com/newindex.html
В комментариях приведены условия некоторых этапов соревнований старшей школы 2011-12 у.г. Задания окружного этапа приведены в двух вариантах, т.к. из-за непогоды, если не путаю, в некоторых округах этап проводился с опозданием.
-
-
10.07.2012 в 04:58Први разред, А категорија
1. Точка `E` - середина стороны `CD` квадрата `ABCD`. Через точку `D` проведена прямая, перпендикулярная диагонали `BD`, которая пересекает прямую `AE` в точке `F`. Докажите, что точки `B`, `C` и `F` лежат на одной прямой.
2. В новостях дали следующий прогноз на завтра:
1) будет облачно или будет падать снег или будет ветрено;
2) если будет облачно и будет идти снег, то будет ветрено;
3) если не будет ветра, то будет облачно без снега.
Можно ли сделать вывод, что, если идет снег, то дует ветер?
3. Найдите все натуральные числа `n`, такие, что число положительных делителей числа `n^3` на 2011 больше числа положительных делителей числа `n`.
4. Дан треугольник `ABC`, `/_ABC > 90^@` и `2 * AB = AC`. Докажите, что `2 * /_ACB > /_BAC`.
5. Докажите, что на стандартной шахматной доске можно расставить восемь охотников так, чтобы каждая клетка была под боем, а семь охотников так расставить нельзя.
(Охотники - сербское название офицеров или слонов).
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl/Дилетант
-
-
10.07.2012 в 04:59Други разред, А категорија
1. Решить в действительных числах систему уравнений `x^2 + 3xy = 54`; `xy + 4y^2 = 115`.
2. Пусть `a`, `b`, `c` - действительные числа, удовлетворяющие условию
Докажите, что `|abc| <= 1/(2sqrt2)`. При каких условиях достигается равенство?
3. Докажите, что если все углы выпуклого четырехугольника ABCD `alpha`, `beta`, `gamma`, `delta` не являются прямыми, то
4. Точка `S` является центром вписанной окружности треугольника `ABC`, а `D` - середина стороны `AB`. Докажите, что из равенства `/_ASD = 90^@` следует `AB + BC = 3AC`.
5. На столе находятся две кучки фишек, в одной из них `m` фишек, в другой - `n`. Два игрока по очереди делают такие ходы: они делят любую из имеющихся на столе кучек на произвольное количество меньших, среди которых нет кучек с равным количеством фишек. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. У какого игрока есть выигрышная стратегия?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:01Трећи разред, А категорија
1. Найдите все значения `a in RR`, при которых нули `x_1`, `x_2`, `x_3` многочлена `x^3 - 4x^2 - ax + a` удовлетворяют равенству `(x_1 - 2)^2 + (x^2 - 2)^2 + (x_3 - 2)^2 = 0`.
2. Решите в действительных числах уравнение `2 * log_3(ctg x) = log_2(cos x)`.
3. Пусть `phi(n)` - значение функции Эйлера для натурального числа `n`. Докажите, что существует бесконечного много натуральных `n` для которых `phi(n) = n/3`.
4. Выпуклый шестиугольник вписан в окружность `k`. Длины его последовательных сторон равны `2`, `2`, `7`, `7`, `11` и `11`. Найдите длину радиуса окружности `k`.
5. Для всех `n in NN` найдите наименьшее натуральное число `m`, такое, что любое `m`-элементное подмножество множества `N_n = {1,2,...,n}` содержит два взаимно простых числа.
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:04Четврти разред, А категорија
1. Дана дифференцируемая функция `f : RR -> [0,1]`, для которой условие `|f'(x)| < 1` выполняется при всех `x in RR`. Докажите, что уравнение `f (x) = x` имеет единственное решение.
2. Существует ли натуральное число `n` и действительные числа`a_0`, `a_1`, ..., `a_n`, такие, что график функции `f : RR -> RR` соответствует показанному на рисунке, где
для всех `x in RR`?
3. Пусть `f : NN -> NN` - биекция, такая, что для всех `m,n in N` из `m < n` следует `m + f (m) < n + f (n)`. Найдите `f (2012)`.
4. `AM` - диаметр окружности, описанной около треугольника `ABC`, пересекающий отрезок `BC` в точке `D`. `E` и `F`- основания перпендикуляров, опущенных из точки `D` на стороны `AB` и `AC`, соответственно. Докажите, что `EF || BC`.
5. Назовем натуральное число двьявольским, если его двоичная запись содержит четное число единиц. Например, число `18 = (10010)_2` - дьявольское. Найдите сумму первых `2012` дьявольских чисел.
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:06Први разред, Б категорија
1. Пусть `CD` и `CE` - высота и медиана треугольника `ABC`, соответственно, а `PQ` и `PR` высота и медиана, соответственно, треугольника `MNP`. Пусть `CD \cong PQ`, `CE \cong PR` и `AB \cong MN`. Докажите, что треугольники `ABC` и `MNP` подобны.
2. На экзамене 21 ученик решали три задачи. Первую и вторую задачу решили 6 учеников, вторую и третью решили 7 учеников, а первую и третью задачу - 11 учеников. Покажите, что есть по крайней мере два ученика, которые решили все три задачи, и по крайней мере один ученик, который решил только одну задачу.
3. Елена сказала своему отцу, что сегодня она решила больше задач, чем вчера (а вчера она решила по крайней мере одну задачу). Если обозначить количество вчерашних задач за `X`, а количество решенных сегодня задач за `Y`, то `X * Y+(X+Y) = 59`. Сколько различных решений имеет загадка Елены?
4. Пусть функция `f : RR -> RR` такова, что для всех `x in RR` верно `f (3x - 1) = 6x - 8`.
а) Найдите `f(5)`.
б) Найдите `f(x)` для всех `x in RR`.
в) Докажите, что f взаимно однозначная функция.
г) Постройте графики функций `y = f (x)` и `y = f^{-1} (x)`.
5. 100 человек разного роста построены в 10 колонн по 10 человек в каждой. В каждой колонне выбираем самого высокого и самого низкого из этих десяти человек назовем Петром. Затем, определим самого низкорослого в каждой колонне и самого высокого из них назовем Иваном. Можно ли сказать, кто выше - Петр или Иван?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:09Други разред, Б категорија
1. Определите все комплексные числа `z`, для которых выполняется `|z| = |z - 2i|` и `|z -1| = 1`.
2. На бумаге тремя цветами нарисовано 36 кенгуру. Из них 25 имеют желтые части, 28 имеют коричневые части, а 20 имеют части черного цвета. Если только 5 кенгуру имеют части всех трех цветов, сколько нарисовано одноцветных кенгуру?
3. Функция `f : RR -> RR`, задана как `f(x) = 3x^2 + 4x + 1`, для каждого `x in RR`. Решите неравенство
`f (f (x)) \le 0`.
4. Пусть `AE` - медиана треугольника `ABC`. Прямая `p`, параллельная `AE`, пересекает сторону `BC` в точке `D`, сторону `AB` - в точке `F` и продолжение стороны `AC` в точке `G`. Докажите, что `DF + DG` не зависит от положения прямой `p`.
5. Докажите, что число `(root 3 (7 + 5sqrt2) * (sqrt2 - 1))/(sqrt(4+2sqrt3)-sqrt3)` натуральное.
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
Дилетант
-
-
10.07.2012 в 05:11Трећи разред, Б категорија
1. Основание прямой призмы — треугольник, две стороны которого раны 3 cm и 5 cm, а угол между ними составляет 120°. Площадь поверхности наибольшей боковой грани равна 35 `cm^2`. Вычислить площадь поверхности призмы.
2. Пусть `a in RR` . Решите в действительных числах систему уравнений
`3x + ay - z = a - 1`
`-x + y + az = 1`
`x + 4y + 3z = 3`.
3. Решите в действительных числах уравнение `arcsin3x = arctg5x`.
4. Усеченный конус поделен плоскостью, параллельной основаниям, на две части одинакового объема. Выразите радиус полученного в пересечении круга через радиусы оснований `R` и `r`.
5. Может ли квадрат `K` быть полностью покрыт
а) 2011
б) 2012
квадратами, которые не имеют общих внутренних точек, принадлежащих `K`?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
Дилетант
-
-
10.07.2012 в 05:14Четврти разред, Б категорија
1. Дана арифметическая прогрессия `{a_n}_{n>=1}`. Докажите, что для всех `m,n,p in NN` верно равенство `a_m(n - p) + a_n(p - m) + a_p (m - n) = 0`.
2. Дан многчлен `p(z) = z^3 + (3 - 4i)z^2 - (3 + 8i)z - 5`. Один из корней многочлена имеет вид `lambda i` (`lambda in RR`). Найдите все корни многочлена.
3. Пусть `n` - натуральное число и `f_n : RR -> RR`- функция, заданная равенством `f_n(x) = sin^n x - cos^n x` для всех `x in RR`. Найдите (если они существуют) наименьшее и наибольшее значение функции `f_n`.
4. Найдите площадь треугольника образованного биссектрисами первого и второго координатного угла и касательной к гиперболе `x^2 - y^2 = 5`, проходящей через точку `M(3, 2)`.
5. Среди всех 10-значных чисел, все цифры которых различны и которые делятся на 11, найдите наименьшее и наибольшее.
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:16Први разред, А категорија
1. Точка `K` симметрична ортоцентру `H` треугольника `ABC` относительно середины стороны `BC`. Докажите, что `AK` - диаметр окружности, описанной около треугольника `ABC`.
2. Существует ли целое число `m`, такое, что `q(m) | p(m)`, где `p(x) = x^3 + x^2 + x + 2` и `q(x) = x^3 - x + 3`?
3. Для всех `n in NN` число `x_n` образовано последовательным дописыванием квадратов первых `n` натуральных чисел (нпр. `x_12 = 149162536496481100121144`). Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел `n`, для которых число `x_n` не является степенью натурального числа (натуральное число `y` является степенью натурального числа, если существуют натуральные числа `k > 1` и `a`, такие, что `y = a^k`).
4. `ABCD`- выпуклый четырехугольник, не являющийся трапецией. Срединные перпендикуляры сторон `AD` и `BC` пересекаются в точке `P`, срединные перпендикуляры сторон `AB` и `CD` пересекаются в точке `Q`. Точки `P` и `Q` расположены внутри `ABCD`, `/_APD = /_BPC`. Докажите, что `/_AQB = /_CQD`.
5. На каждой из `n > 4` карт написано одно из чисел +1 или -1. За какое наименьшее количество вопросов мы можем гарантированно узнать произведение всех чисел, записанных на картах, если задавая один вопрос, мы можем узнать произведение чисел записанных на трех произвольно выбранных картах?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:19Други разред, А категорија
1. Найдите все действительные числа `a`, такие, что неравенство `x^4 + ax^3 + (a + 3)x^2 + ax + 1 > 0` справедливо для всех действительных `x`.
2. Пусть `a in RR`, `|a| > 1`. Докажите, что для всех `z in CC` выполняется неравенство `|(az-i)/(a+zi)| le 1 iff |z| le 1`.
3. Докажите, что квадрат натурального числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми ненулевыми цифрами.
4. На сторонах `BC` и `AC` треугольника `ABC` даны точки `D` и `E`, соответственно, такие, что `AE = BD`. Обозначим через `M` середину стороны `AB`, а через `P` - точку пересечения прямых `AD` и `BE`. Доказать, что точка `Q`, симметричная точке `P` относительно `M`, лежит на биссектрисе угла `ACB`.
5. В поля таблицы 100 х 100 вписаны числа. В каждой строке имеется по крайней мере 10 различных чисел, но в трех последовательных строках имеется не более 16 различных чисел. Какое максимальное количество различных чисел может содержаться в таблице?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
Дилетант
-
-
10.07.2012 в 05:22Трећи разред, А категорија
1. Решите в действительных числах неравенство `(2^x - 16)/((9^{2x+1}-243)*sqrt(5^{(x^2-3)/2}-125)) le 0`.
2. Пусть `n > 2` - натуральное число. Докажите, что значение определителя
равно квадрату целого числа.
3. Последовательность `{a_n}_{n in NN_0}` определяется следующим образом: `a_0 = 1` и `a_{n+1} = (n^2 + 1) * a_n - n`, `n ge 0`. Докажите, что существует член последовательности, делящийся на 2011.
4. Пусть ABCDEF выпуклый шестиугольник, такой, что для каждой точки М, лежащей в плоскости шестиугольника выполняется:
Докажите, что центры тяжести треугольников АСЕ и BDF совпадают.
5. Пусть `n in NN`. Какое наибольшее количество непустых подмножеств можно извлечь из множества n элементов таким образом, что каждые два из них либо не пересекаются, либо одно из них является подмножеством другого?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
Дилетант
-
-
10.07.2012 в 05:25Четврти разред, А категорија
1. Даны точки `A(1,3)` и `B(2,4)`. Найдите на параболе `x = y^2 + 1` точку `C`, такую, чтобы площадь треугольника `ABC` была наименьшей.
2. Пусть `f : [ 1, 2 ] -> RR` - дифференцируемая функция и `f(1) = 0`. Чему равно наименьшее количество решений уравнения `2* f(x) = f'(x) *sin2x`?
3. а) Докажите, что не существует простых чисел `p` и `q`, таких, что `p^2 + 2012pq + q^2` является квадратом натурального числа.
б) Докажите, что существует бесконечно много пар взаимно простых натуральных чисел `(m,n)`, таких, что `m^2 + 2012mn + n^2` является квадратом натурального числа.
4. `M` - внутренняя точка квадрата `ABCD`. Пусть `A_1`, `B_1`, `C_1`, `D_1` - точки пересечения прямых `AM`, `BM`, `CM`, `DM` с описанной около квадрата `ABCD` окружностью, соответственно. Докажите, что `A_1B_1 * C_1D_1 = A_1D_1 * B_1C_1`.
5. Пусть `m ge 3`- целое число. Найдите наименьшее натуральное число `r(m)`, для которого верно, что при любом разбиении множества `{1,2,... ,r(m)}` на 2 подмножества в одном из них можно выбрать `m` чисел (не обязательно различных) `x_1`, `x_2`, ..., `x_m`, таких, что `x_1 + x_2 + ... + x_{m-1} = x_m`.
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:30Први разред, Б категорија
1. Пусть `M`, `N` и `K` - середины сторон `AB`, `BC` и `CD` вписанного четырехугольника`ABCD`, соответственно. Докажите, что `/_BMN = /_CKN`.
2. Пусть `P(x)`- многочлен с целыми коэффициентами, который при делении на `x^3 - x^2 + x - 6` дает в остатке `x^2 - 7x + 3`. Найдите остаток от деления многочлена `P(x)` на `x - 2`.
3. Найдите все пары простых чисел `(x;y)`, являющиеся решением уравнения `2x^2 + 1 = y^5`.
4. `ABCD` - параллелограмм, точка `Z` лежит на продолжении стороны `BC` за точку С (точки лежат в таком порядке `B` - `C `- `Z`). Прямая `AZ` пересекает отрезки `BD` и `CD` в точках `X` и `Y`, соответственно. Длина `AZ` равна `6`, длина `AY` равна `3`. Найдите длину `AX`.
5. На соревновании по математике было предложено 5 задач различной сложности, поэтому никакие два задания не оценивались одинаковым количеством очков, но все задания оценивались количеством очков, выражаемым натуральным числом. Решивший два наиболее легких задания получал 10 очков, решивший два наиболее сложных задания получал 18 очков. Сколько очков приносило решение всех пяти заданий?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:32Други разред, Б категорија
1. Найдите все действительные решения неравенства `sqrt(4 + 7x - 2x^2) < 2x + 1`.
2. Пусть числа `a, b, c in RR` попарно различны и `f(x)`- квадратный трехчлен, такой, что `f(a) = bc`, `f(b) = ca`, `f(c) = ab`. Докажите, что `f(a + b + c) = ab + bc + ca`.
3. Существует ли натуральное число `n > 1`, такое, что последние четыре цифры числа `2012^n` равны `2012`?
4. Биссектриса внутреннего угла `A` треугольника `ABC` пересекает описанную окружность в точке`N`, а сторону `BC` в точке `T`. Докажите, что `BN^2 = AN * TN`.
5. На бал-маскарад собрались `n ge 4` человек. Все они приобрели костюмы у одного поставщика, который продавал костюмы `n + 2` цветов. Некоторые из этих цветов: белый, черный, синий, зеленый, желтый, красный. На балу выяснилось:
• присутствовал точно один из этих цветов: {белый, черный};
• присутствовали точно два цвета из указанных: {черный, синий, зеленый};
• из набора цветов {белый, синий, желтый} присутствовало четное число цветов (т.е. или ни одного, или точно два);
• и из набора {белый, зеленый, красный} присутствовало четное число цветов.
Докажите, что на балу можно было встретить двух людей в костюмах одного цвета.
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:33Трећи разред, Б категорија
1. Докажите, что для произвольных векторов `vec{a}`, `vec{b}`, `vec{c}` верно равенство
2. Решить в действительных числах систему уравнений
`sin x * cos 2y = 1`
`cos x * sin 2y = 0`.
3. Докажите, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на четыре одинаковых ненулевых цифры.
4. Для выпуклого четырехугольника `ABCD` верно равенство
Докажите, что `AB || CD`.
5. В поля таблицы 100 х 100 вписаны числа. В каждой строке имеется по крайней мере 10 различных чисел, но в трех последовательных строках имеется не более 16 различных чисел. Какое максимальное количество различных чисел может содержаться в таблице?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl/Дилетант
-
-
10.07.2012 в 05:35Четврти разред, Б категорија
1. На графике функции `y = x - ln(x + 1)` найдите точку, в которой касательная параллельна прямой, проходящей через точки `A(2;3)` и `B(-1;4)`.
2. Будет ли периодической функция `f : RR -> RR`, определенная как `f (x) = sin(x^2)` для всех `x in RR`?
3. Решить в натуральных числах `2^x - 6^y = 2012`.
4. В остроугольном треугольнике `ABC` точка `D` - основание высоты, проведенной из вершины `C`, `AD = BC`. Пусть `L` - основание перпендикуляра, опущенного из точки `D` на высоту, проведенную из вершины `A` треугольника `ABC`. Докажите, что `BL` - биссектриса угла `ABC`.
5. На каждой из 2011 карт написано одно из чисел +1 или -1. За какое наименьшее количество вопросов мы можем гарантированно узнать произведение всех чисел, записанных на картах, если одним вопросом мы можем узнать произведение чисел записанных на трех произвольно выбранных картах?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:37Први разред — А категорија
1. На боковых сторонах `AC` и `BC` равнобедренного треугольника `ABC` отмечены точки `M` и `N`, соответственно, такие, что `CM + CN = AC`. Докажите, что середина отрезка `MN` принадлежит средней линии треугольника, параллельной его основанию `AB`.
2. а) Какой остаток дает `n^2` при делении на `5`.
б) Найдите все простые числа `p`, такие, что `p^2 + 4` и `p^2 + 6` просты.
3. Найдите все целые числа `x`, такие, что значение выражения
является целым числом.
4. На плоскости даны три различные точки `H`, `S` и `T`. Построить треугольник `ABC`, такой, что точки `H`, `S` и `T`, последовательно, будут точками пересечения описанной около треугольника `ABC` окружности с продолжениями высоты, биссектрисы и медианы, проведенными из вершины `B`. Рассмотрите вопрос существования и количества решений в зависимости от положения данных точек!
5. На шахматной доске 4x3 поставлены 3 белых и 3 черных коня (см. рисунок слева).
Поменяйте местами белых и черных коней за наименьшее количество ходов.
Време за рад 180 минута. Задатке детаљно образложити.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:38Други разред, А категорија
1. Найдите все действительные числа `x`, для которых верно равенство: `sqrt(1+sqrt(1+x)) = x`.
2. Докажите, что в любом выпуклом одиннадцатиугольнике найдутся две диагонали, которые будут или параллельны или угол между ними будет меньше 5°.
3. Докажите, что для любого действительного числа `k > 1` верно равенство `{(x^2-x)/(1-kx)\ | \ x != 1/k; \ x in RR} = RR`.
4. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника `ABCD` не более `1/2(AB * CD + BC * DA)`. В каком четырехугольнике достигается равенство?
5. Найдите все натуральные числа `x`, `y`, `u` и `v`, такие, что `x^3 + 7y = 2^u` и `y^3 + 7x = 2^v`.
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:40Трећи разред, А категорија
1. Найдите все натуральные числа `n`, для которых многочлен `P(x) = x^{3n} + x^{2n} + x^n + 1` делится на многочлен `Q(x) = x^3 + x^2 + x + 1` без остатка.
2. Дано натуральное число `n`. Найдите значение определителя `n` порядка
3. Какое из уравнений `x^2 + y^2 + z^2 = 2011` или `x^3 + y^3 + z^3 = 2011` имеет несколько решений в множестве целых чисел?
4. На продолжении стороны `AC` за точку `C` треугольника `ABC` (`AB > AC`) взята точка `B_1`, `AB = AB_1`. Биссектриса `/_BAC` пересекает сторону `BC` в точке `D`. Окружность, описанная около треугольника `B_1CD`, пересекает окружность, описанную около треугольника `ABC` в точке `E`, `E != C`. Докажите, что касательная к окружности, описанной около треугольника `B_1CD`, в точке `E` параллельна стороне `AC`.
5. Для каких `n in NN` можно определить отношение приятельства (отношение приятельства симметрично) на множестве `n` человек, так, чтобы каждый человек имел точно трех приятелей?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:42Друштво математичара Србије
ОКРУЖНО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ
25.02.2012.
Четврти разред — А категорија
1. Найдите все функции `f : RR -> RR`, которые удовлетворяют условию
для всех различных `x, \ y in RR`.
2. Пусть `f : (0, oo) -> RR` ограниченная и дифференцируемая функция и пусть для всех `x in (0, oo)` верно `f(x) * f'(x) ge cosx`. Докажите, что `lim_{x->oo} f(x)` не существует.
3. Найдите все целые решения уравнения `x^2012 - 2010 = 4y^2012 + 4y^2011 + 2011y`.
4. Пусть `R `и `r` радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника `ABC`, соответственно. Окружность `k_a` внутренним образом касается описанной окружности в точке `A`, и внешним образом касается вписанной окружности треугольника `ABC`. Аналогично проведены окружности `k_b` и `k_c`. Пусть `r_a`,`r_b`,`r_c` радиусы окружностей `k_a`,`k_b`,`k_c`, соответственно. Докажите, что верно неравенство
Определите, при каких условиях достигается равенство.
5. Найдите все пары `(m,n)` натуральных чисел, таких, что `3 le n le m` и существует таблица размером `m times n` такая, что :
1° во всех клетках таблицы записано целое число;
2° сумма чисел в любом квадрате `2 times 2` этой таблицы отрицательна;
3° сумма чисел в любом квадрате `3 times 3` этой таблицы положительна.
Време за рад 180 минута. Задатке детаљно образложити.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:44Друштво математичара Србије
ОКРУЖНО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ MATEMATИKE
25.02.2012.
Први разред— Б категорија
1. Пусть `AB` и `CD` параллельны и пусть `E` точка пересечения прямых `AD` и `BC`. Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников `ABE` и `CDE` касаются друг друга.
2. Для всех `x in RR \ {0,1}` верно равенство `f(x) + f(1/(1-x)) = x`. Найдите `f(2)`.
3. Сколько решений в простых числах имеет уравнение `(3p + q^2)r = 2010`?
4. Пусть `O` середина отрезка `AB`, а `E` произвольная точка `AB`. Пусть `C` и `D` принадлежат окружности с диаметром `AB`, обе точки находятся с одной стороны от `AB`, и `/_AEC = /_BED`. Докажите, что вокруг четырехугольника `CEOD` можно описать окружность.
5. В турнире участвовало `n < 10` игроков. Каждый игрок играет с каждым ровно одну игру. За победу игрок получает `1` очко, а за поражение `0` очков. Каждая игра завершается победой одного из игроков.
После завершения турнира оказалось, что только игрок занявший четвертое место набрал нечетное количество очков. Сколько игроков участвовало в турнире?
Време за рад 180 минута. Задатке детаљно образложити.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:45Други разред, Б категорија
1. Решить в действительных числах уравнение `sqrt(x^2 - 6 * sqrt(x^2 + 2x - 32) + 2x + 1) = 5`.
2. Докажите, что все комплексные числа `z`, для которых
принадлежат кругу комплексной плоскости, а те, для которых
принадлежат прямой комплексной плоскости.
3. Александр и Милош играют в такую игру: они поочередно пишут коэффициенты `a`, `b`, `c` (`a,b != 0`) квадратного уравнения `ax^2+bx+c = 0` (в любом порядке). Александр ходит первым и он выигрывает, если квадратное уравнение будет иметь два решения одного знака, а Милош выигрывает в остальных случаях. У кого из них есть выигрышная стратегия? (Число `0` не является ни положительным, ни отрицательным числом.)
4. Из вершины `B` тупого угла ромба `ABCD` опускаются перпендикуляры `BE` и `BF` на стороны `AD` и `CD`, соответственно. `BE = BF = a` и `EF = b`. Найдите длину стороны ромба.
5. Сколько существует пятизначных чисел, кратных 5, таких, что они начинаются (слева направо) с двузначного числа, делящегося на 2, с трехзначного числа, делящегося на 3, четырехзначного числа, делящегося на 4?
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:4825.02.2012.
Трећи разред — Б категорија
1. Вычислить -`(2 cos 40^@ - cos 20^@)/(sin 20^@)`.
2. Пусть `vec{a} times vec{b} = vec{c} times vec{d}` и `vec{a} times vec{c} = vec{b} times vec{d}`. Докажите, что векторы `vec{a} - vec{d}` и `vec{b} - vec{c}` коллинеарны.
3. Решите систему уравнений `2 * 5^{1-y} = log_3(x^{-2})`, `5^y + log_3 x = 4`.
4. Сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через вершину призмы, - ромб с острым углом `alpha`. Найдите угол между плоскостью сечения и основанием призмы.
5. Грузы различных масс крепятся струнами к рейкам. Массами реек и струн мы пренебрегаем, т.о. под массой рейки мы будем понимать суммарную массу прикрепленных к ней грузов. Рейки струнами могут крепиться к другим рейкам, точку, в которой одна рейка крепится к другой, назовем позвонком. Подвешенная рейка трактуется как обычный груз. Все точки, в которых к рейкам подвешены грузы, находятся на целочисленном расстоянии от позвонка этой рейки.
Момент груза есть произведение его массы на расстояние до позвонка рейки, к которой он прикреплен. Горизонтальность рейки означает равенство суммарных моментов грузов, прикрепленных с разных сторон от позвонка.
Веса грузов - различные натуральные числа 1, 2, 3,. .., n, где `n` - общее количество грузов. Система реек на левом рисунке (`n = 5`) уравновешена, для верхней рейки имеем равенство сумм моментов `3*3 +(4+2)*1 = 5*2 + 1*5`, а для нижней, соответственно, `4*1 = 2*2`. Какие веса нужно указать на рисунке справа (1,2,3,...,8) для получения уравновешенной системы с горизонтальными рейками? Будет ли решение единственно?
Време за рад 180 минута. Задатке детаљно образложити.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:50Четврти разред, Б категорија
1. Найдите все натуральные числа `n`, для которых многочлен `P(x) = x^{3n} + x^{2n} + x^n + 1` делится на многочлен `Q(x) = x^3 + x^2 + x + 1` без остатка.
2. Докажите, что для всех действительных чисел `x > 1` верно неравенство `ln x > (2(x-1))/(x+1)`.
3. Дан остроугольный треугольник `ABC`. Обозначим за `B_1` и `C_1` основания высот, опущенных из вершин `B` и `C` на стороны `AC` и `AB`. Пусть D - основание перпендикуляра из точки `B_1` на `AB` и `E` - точка пересечения перпендикуляра из точки `D` на `BC` и высоты `B B_1`. Докажите, что прямая `EC_1` параллельна стороне `AC`.
4. Найдите количество четырехзначных чисел `bar{abcd}`цифры которых удовлетворяют неравенству `a < b < c < d`.
5. `n` - натуральное число. Докажите, что можно выбрать `2^{n-1} +n` чисел из множества `{1, 2, ..., 2^n}` так, что для любых двух различных чисел `x` и `y` из отобранного подмножества, их сумма `x + y` не является делителем их произведения `x * y`.
Време за рад 180 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:51Први разред, А категорија
1. Пусть `D in BC` - основание высоты, опущенной из вершины `A` остроугольного треугольника `ABC`. На отрезке `AD` взята точка `P`, такая, что `/_PBA = /_PCA`. Докажите, что треугольник `ABC` равнобедренный или же точка `P` является ортоцентром треугольника `ABC`.
2. Для некоторых натуральных `x` и `y` имеет место равенство `23^x * 111^y = bar{aab3dc6902b2c74d456b}`, где `a != 0`, `b`, `c`, `d` какие-то (не обязательно различные) цифры. Найдите `a + b + c + d`.
3. Пусть `P(x)` - многочлен с целочисленными коэффициентами, такой, что для любого натурального числа `n` число `P(P(n))` при делении на `n` дает остаток `n-1`. Докажите, что многочлен `P(x)` не имеет целочисленных нулей.
4. Столица некоторой страны связана с остальными 2012 городами авиалиниями. Каждый из остальных городов связан авиалинией еще с одним городом помимо столицы. Докажите, что можно прекратить функционирование 1006 авиалиний из столицы с сохранением возможности долететь из любого города страны до любого другого ее города, возможно с пересадками.
(Все авиалинии двунаправленные.)
Време за рад 240 минута. Сваки задатак вреди 25 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:53Други разред, А категорија
1. На доске написано уравнение
Два игрока, Мирко и Славко, по очереди, пишут вместо одной из оставшихся звездочек целое число. Мирко ходит первым. Он выигрывает, если получившееся уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, в противном случае выигрывает Славко. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
2. Пусть `D`, `E`, `F` - основания высот, опущенных, соответственно, из вершин `A`, `B`, `C` остроугольного неравнобедренного треугольника `ABC`. Прямая `EF` пересекает прямую `BC` в точке `P`, прямая, проходящая черед `D` и параллельная `EF`, пересекает прямые `AB` и `AC`, соответственно, в точках `Q` и `R`. Докажите, что одна из точек пресечения описанных окружностей треугольников `DEF` и `PQR` лежит на стороне `BC`.
3. Найдите все решения `(p,q,a,m)` уравнения `p^2 + 4^aq^2 = m^2`, при условии, что `p` и `q` - простые числа и `a, m in NN`.
4.Перица отметила на окружности `n ge 2` точек и соединила каждые две точки отрезками. Притом, каждый из тех отрезков она пометила + или -. Докажите, что, вне зависимости от того, как помечены отрезки, Марица может стереть все отрезки помеченные одним знаком и некоторые отрезки помеченные другим знаком, так, чтобы выполнялись два условия:
1) нестертые отрезки не имеют общих точек внутри окружности и
2) любые две точки можно соединить ломанной линией, состоящей из одного или более нестертых отрезков.
Време за рад 240 минута. Сваки задатак вреди 25 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 05:59Трећи разред, А категорија
1. Докажите, что число `tg (17^(3^2012))^@` ирационально.
2.Пусть `a` и `b` - натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел `n`, таких, что для любого простого числа `p` число `a * p^n + b` составное.
3. Пусть `M` и `N`- точки на стороне `BC` треугольника `ABC`, такие, что они расположены по порядку `B - M - N` и `BM = CN`. Точки `P` и `Q` выбраны, соответственно, на отрезках `AN` и `AM`, так, что `/_PMC = /_MAB` и `/_QNB = /_NAC`. Докажите, что `/_QBC = /_PCB`.
4. Для конечного непустого множества натуральных чисел `S` определим `r(S) = max(S) - min(S)` (разность наибольшего и наименьшего элемента множества `S`). Пусть `A` - множество, состоящее из 30 различных натуральных чисел. Чему равно наибольшее количество различных значений, которое может принимать `r(S)` для всех подмножеств `S` множества `A`?
Време за рад 240 минута. Сваки задатак вреди 25 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 06:00Четврти разред, А категорија
1. Докажите, что простое число `p` можно представить в виде
где `n, m in NN`, тогда и только тогда, когда `p` равно сумме квадратов двух последовательных натуральных чисел.
2. Пусть `1 ge x_0 ge x_1 ge x_2 ge dots ge x_n = 0` - действительные числа. Найдите наибольшее возможное значение суммы
3. Пусть `n` - натуральное число. На `2n` карточках записаны числа от `1` до `2n` (каждое число записано точно на одной карточке). Карточки выложили в ряд на столе в неизвестном порядке, надписанной стороной вниз. Милош и Аца играют в такую игру против их друга Ђолета. Сначала Милош и Ђоле подходят к столу и переворачивают все карточки. Посмотрев на расположение карточек, Милош может поменять местами ровно две карточки на столе (или оставить их в данной последовательности). После этого карточки снова переворачивают лицом вниз и к столу подходит Аца. Ђоле называет число от `1` до `2n`, а Аца переворачивает карточки, пытаясь найти карточку с названным числом. Милош и Аца побеждают, если Аца найдет нужную карточку не более чем за `n` попыток, а иначе побеждает Ђоле. У кого есть выигрышная стратегия?
(Милош и Аца могут договариваться только до начала игры)
4. Докажите, что площадь четырехугольника, длины сторон которого равны `a`, `b`, `c`, `d`, последовательно, не превосходит
`1/4 * ((a + c)^2 + bd)` .
Време за рад 240 минута. Сваки задатак вреди 25 поена.
mpl
-
-
10.07.2012 в 11:14Први разред, Б категорија
1. Пусть М — произвольная точка, лежащая в плоскости данного треугольника `ABC`. Докажите, что вектор `2 * vec{MA} - 3 * vec{MB} + vec{MC}` не зависит от выбора точки `M`.
2. Четыре ученика: Аца, Бора, Васа и Горан соревновались в беге. После забега (на котором не было распределения мест), на вопрос о том, кто какое место занял, они ответили следующее:
• Аца: „Я был ни первым, ни последним".
• Бора: „Я не был последним".
• Васа: „Я был первым".
• Горан: „Я был последним".
а) Могут ли все ответы быть правдивыми?
б) Известно, что три из этих ответов были истинными, а один ложный. Кто сказал неправду? Про кого из них можно с уверенностью сказать, каким по счету он пришел?
3. Докажите, что для произвольных вещественных чисел `x != y != z != x` выполняется
`(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 != 0`.
4. Кружнице `k_1` и `k_2` секу се у тачкама `P` и `Q`. Права `l` која сече дуж `PQ` сече дате кружнице у тачкама `A`, `B`, `C`, `D`, при чему важи распоред `A - B - C - D`. Доказати да је `/_APB = /_CQD`.
Окружности `k_1` и `k_2` пересекаются в точках `P` и `Q`. Прямая `l`, пересекающая `PQ`, пересекает данные окружности в точках `A`, `B`, `C`, `D`, причем, важен порядок `A - B - C - D`. Докажите, что `/_APB = /_CQD`.
5. Шесть мудрецов говорили о числе `n in NN`, записанном в десятичной системе счисления.
Первый: „Число `n`, уменьшенное на `1`, является простым, тогда и только тогда, когда `n` имеет хотя бы один простой делитель из первой десятки".
Второй: „Число `n` делится на `2`, тогда и только тогда, когда `n` не является палиндромом, который имеет четное число цифр".
Третий: „Число `n` не делится на `3`, тогда и только тогда, когда у него имеется меньше `3` нечетных делителей".
Четвертый: „Число `n` делится на `4`, тогда и только тогда, когда оно состоит из `4` цифр".
Пятый: „Число `n` не делится на `5`, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа `n` равна `5`".
Шестой: „Число `n` взаимно просто с `6`, тогда и только тогда, когда оно имеет ровно `6` делителей".
Определите все возможные натуральные числа `n`, если известно, что утверждения всех мудрецов верны.
(Число `n` называется палиндромом, если оно одинаково читается слева направо и справа налево. Например, число `1245421` — палиндром.)
Време за рад 240 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
Дилетант
-
-
10.07.2012 в 11:18Други разред, Б категорија
1.Пусть `a, b, c in RR`, `a != 0`, таковы, что уравнение `ax^4 + bx^2 + c = 0` не имеет действительных решений. Может ли уравнение `ax^6 + bx^3 + c = 0` иметь хотя бы одно действительное решение?
2. Найдите все действительные числа `x`, для которых выполняется
`log_{x+1} x ge log_{x^2+1} x^2 ge log_{x^3+1} x^3 ge dots ge log_{x^n+1} x^n ge dots`
3.Пусть `x > y` натуральные числа, для которых 2012 делитель числа
`(x!)/(y!*(x-y)!)`.
Какое минимальное значение суммы `x + y`?
(Для `n in NN` через `n!` обозначается произведение первых `n` натуральных чисел.)
4. Пусть `E`— точка на стороне `AC` треугольника `ABC`, а `l` прямая, отличная от `AB` и `BC`, проходящая через вершину `B`. Прямая, проходящая через точку `E` и параллельная `BC` пересекает прямую `l` в точке `N`, а прямая, проходящая через `E` и параллельная `AB`, пересекает прямую `l` в точке `M`. Докажите, что `AN || CM`.
5. Дана таблица `2010 times 2012`, где каждое поле содержит одну лампочку. В начале число зажженных лампочек в таблице больше, чем `2009 times 2011`. Если в некоторой части таблицы размера `2 times 2` три лампочки выключены, то четвертая гаснет автоматически, в противном случае ситуация не изменяется (выключенные лампочки остаются выключенными, зажженные остаются зажженными). Докажите, что все лампочки в таблице погаснуть не могут.
Време за рад 240 минута. Сваки задатак вреди 20 поена.
Дилетант