22:12 

Le Concours Général

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Математический конкурс Франции

Histoire du Concours Général

Le Concours Général trouve son origine dans les fondations de prix faites au XVIIIe siècle, essentiellement par les chanoines Le Gendre (1733) et Collot (1755). La première distribution de prix eut lieu le 23 août 1747, en présence du Parlement de Paris, sous la présidence de Maupeou, futur chancelier. La dernière distribution de cette première mouture du Concours Général eut lieu en 1793, date à laquelle il fut supprimé, en conséquence d'une réorganisation des institutions académiques décidée par la Convention.

читать дальше



В комментарии представлены условия трех задач Concours général, 2012.

Большое спасибо mpl за поиск информации, подбор задач и помощь в оформлении топика.
(Перевод на этот раз всецело мой — все неточности на моей ответственности)

@темы: Новости, Олимпиадные задачи

Комментарии
2012-06-17 в 22:12 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Concours général, 2012

PROBLÈME I
Простые множители вверху, степени внизу

Для любого целого `n >= 2`, существует его разложение в произведение степеней простых чисел

`n=(p_1)^(a_1)*(p_2)^(a_2)*...*(p_k)^(a_k)`
где `p_1`, `p_2`, ..., `p_k` - все различные простые делители `n`, а показатели степеней `a_1`, `a_2`, ..., `a_k` - целые положительные числа. Зададим:
`f(n) = (a_1)^(p_1)* (a_2)^(p_2)* ... * (a_k)^(p_k)`.
Например, если `n = 720 = 2^4 3^2 5^1`, то `f(n) = 4^2 2^3 1^5 = 128`.
Задав к тому же `f(1) = 1`, получим функцию `f` из `NN^ast` в `NN^ast`.
Наконец, для `n in NN^ast`, определим рекуррентное соотношение`f^i(n)` по `i in NN`, так, что `f^0(n) = n` и для любого `i in N`, `f^{i+1} (n) = f(f^i(n))`.
Например: `f^0 (720) = 720`, `f^1 (720) = f(720) = 128`, `f^2(720) = f(128) = 49`.
Цель этой задачи изучить поведение функции `f` на последовательностях `(f^i(n))_{i in NN}` при фиксированном`n`.
1°) (a) Вычислите `f(2012)`.
(b) Определите числа `f^i (36^36)` для `0 <= i <= 3`. Что вы можете сказать о следующих числах?
2°)
(a) Приведите пример целого `n >= 1` такого, что для натурального `i`, у нас есть
`f^{i+2}(n) = f^i(n)` et `f^{i+1}(n) != f^i(n)`.
(b) Покажите, что функция `f` - ни возрастающая, ни убывающая.
3°) Решите в `NN^ast` : (a) уравнение `f(n) = 1` ; (b) уравнение `f(n) = 2` ; (c) уравнение `f(n) = 4`.
4°)
(a) Для всех целых `a >= 2` и `b >= 0` покажите, что `ab <= a^b` .
(b) Пусть `k in NN^ast` и пусть `a_1`, ..., `a_k`, `b_1`, ..., `b_k` - целые числа, такие, что `a_i >= 2` и `b_i >= 0` для всех i. Покажите, что
`a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_kb_k <= a_1^(b_1) a_2^(b_2) ... a_k^(b_k)`.
(c) Для всех `n in NN^ast`, докажите, что `f(f(n)) <= n`.
(d) Пусть `n in NN^ast`. Докажите, что существует такое натуральное `r`, что для любого целого `i >= r` выполняется `f^{i+2}(n) = f^i(n)`.
5°) Пусть `E` множество целых чисел `n >= 2`, элементы которого при разложении на простые множители имеют строго более одного простого множителя.
(a) Для любого целого `a >= 2`, покажите, что существуют целые `alpha` и `beta`, такие, что
`a = 2alpha + 3beta`.
(b) Докажите, что если `n` принадлежит `E`, то существует `m` - элемент `E`, такой, что `f(m) = n`.
(c) Найдите `m` - элемент `E`, такой, что `f(m) = 2012^2012`.
(d) Что можно сказать об утверждении, обратном (b) ?

PROBLÈME II
Последовательность, в основном убывающая

Пусть `(u_n)_{n>=0}` - последовательность действительных положительных чисел, такая, что `u_0 = 1` и для любого целого `n >= 1`, по крайней мере половина членов`u_0`, `u_1`,...,`u_{n-1}` больше или равна `2u_n`. Докажите, что`u_n` стремится к 0.


PROBLÈME III
Почтальон всегда звонит один (и только один) раз

Почтальон должен разносить почту на одной улице. Улица имеет один ряд равномерно расположенных домов с номерами `1, 2, ..., n`, где `n >= 2`.
Почтальон разносит письма в каждый дом.
Делает он это следующим образом. У первого дома, в который он должен доставить письмо, он оставляет свой велосипед, и кладет письмо в почтовый ящик. Затем пешком разносит остальные письма по остальным адресам и возвращается к первому дому за велосипедом.
Таким образом, его траектория описывается последовательностью номеров домов, в которые он разнес почту.
Например, если `n = 5`, одна из возможных траекторий будет `1,5,2,4,3,1`. Общее расстояние, или длина пути, в данном случае равна `12`, так как `|5- 1| + |2-5| + |4-2| + |3-4| + |1-3| = 12`. Другая возможная траектория `1,3,5,4,2,1`, имеет длину `8`.
1°) Сколько всего возможных путей у почтальона?
2°)
(a) Докажите, что любая траектория не может быть короче, чем `2(n -1)`.
(b) Сколько имеется траекторий с минимальной длиной?
3°)
(a) В случае `n = 5` и `n = 6`, определите максимальную длину траектории и приведите пример траектории с максимальной длиной.
(b) Определите максимальную длину траектории для любых `n`.
4°) Пусть почтальон выбирает траекторию случайно (все траектории равновероятны). Какова ожидаемая длина его траектории?

2012-06-18 в 03:44 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо!

2012-06-19 в 01:12 

Спасибо))

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная