Le Concours Général trouve son origine dans les fondations de prix faites au XVIIIe siècle, essentiellement par les chanoines Le Gendre (1733) et Collot (1755). La première distribution de prix eut lieu le 23 août 1747, en présence du Parlement de Paris, sous la présidence de Maupeou, futur chancelier. La dernière distribution de cette première mouture du Concours Général eut lieu en 1793, date à laquelle il fut supprimé, en conséquence d'une réorganisation des institutions académiques décidée par la Convention.
читать дальшеLe Concours Général est rétabli en 1803 pour les seuls lycées de Paris, puis étendu en 1818 à celui de Versailles. Une extension à l'ensemble des collèges royaux des départements est tentée en 1838, mais abandonnée dès 1839, notamment en raison des complexités d'organisation à une époque où les communications étaient moins aisées qu'aujourd'hui.
Une nouvelle tentative d'en faire un concours national eut lieu en 1848, mais échoua également. Et ce n'est qu'en 1864 que Victor Duruy, ministre de l'Instruction publique, put l'étendre aux départements, sous forme d'un concours à deux étages : les Académies organisaient chacune leur propre concours, dit concours académique, suivi d'un Concours Général des départements entre les lauréats des concours académiques. Les Académies de Paris et de Versailles gardaient leur propre Concours Général.
En 1880, les concours académiques furent supprimés, mais les deux Concours, Paris et sa couronne d'une part, les autres départements d'autre part, furent maintenus jusqu'en 1904, année où l'ensemble fut supprimé à la suite d'une polémique sur l'importance, jugée par certains excessive, donnée à la préparation du Concours Général dans certains établissements.
Toutefois dès 1911 des voix s'élevèrent pour en demander le rétablissement. En 1913, la fédération nationale des professeurs de lycée demanda que fut mise à l'étude sa restauration dans une organisation améliorée. Le ministre nomma une Commission, le ministère tomba, la guerre survint... et c'est en 1921 que Léon Bérard, ministre de l'Instruction publique soutenu par Edouard Herriot, rapporteur du budget, le rétablit. Il le limitait aux classes de 1ères et terminales, conformément à une évolution qui, à partir de 1848 en avait sorti progressivement les classes les plus jeunes.
Enfin en 1923, le Concours Général prit sa forme nationale actuelle par abolition de la distinction entre Paris et la province, maintenue en 1921.
Le champ des disciplines faisant l'objet du Concours Général, sous ses diverses formes, a été progressivement étendu tout au long de son histoire. Ainsi, à la rhétorique initiale - discours en français et en latin, pièce de vers latins, version de grec en français - se sont ajoutés les mathématiques en 1803, la physique, la chimie et l'histoire naturelle en 1830, les langues vivantes en 1865, le dessin, la géographie et l'enseignement secondaire spécial en 1867 ; les disciplines technologiques ont été introduites en 1961 et les métiers du baccalauréat professionnel en 1995.
Rappelons enfin que notre Association a été fondée en 1922 sur l'initiative de Robert Régnier, chef du secrétariat de l'Institut, et a été déclarée d'utilité publique en 1935. Elle a joué un rôle notable pour le maintien du Concours Général lorsque sa suppression fut, une fois de plus, envisagée au début des années 1970.
В комментарии представлены условия трех задач Concours général, 2012.
Большое спасибо mpl за поиск информации, подбор задач и помощь в оформлении топика. (Перевод на этот раз всецело мой — все неточности на моей ответственности)
PROBLÈME I Простые множители вверху, степени внизу
Для любого целого `n >= 2`, существует его разложение в произведение степеней простых чисел
`n=(p_1)^(a_1)*(p_2)^(a_2)*...*(p_k)^(a_k)` где `p_1`, `p_2`, ..., `p_k` - все различные простые делители `n`, а показатели степеней `a_1`, `a_2`, ..., `a_k` - целые положительные числа. Зададим: `f(n) = (a_1)^(p_1)* (a_2)^(p_2)* ... * (a_k)^(p_k)`. Например, если `n = 720 = 2^4 3^2 5^1`, то `f(n) = 4^2 2^3 1^5 = 128`. Задав к тому же `f(1) = 1`, получим функцию `f` из `NN^ast` в `NN^ast`. Наконец, для `n in NN^ast`, определим рекуррентное соотношение`f^i(n)` по `i in NN`, так, что `f^0(n) = n` и для любого `i in N`, `f^{i+1} (n) = f(f^i(n))`. Например: `f^0 (720) = 720`, `f^1 (720) = f(720) = 128`, `f^2(720) = f(128) = 49`. Цель этой задачи изучить поведение функции `f` на последовательностях `(f^i(n))_{i in NN}` при фиксированном`n`. 1°) (a) Вычислите `f(2012)`. (b) Определите числа `f^i (36^36)` для `0 <= i <= 3`. Что вы можете сказать о следующих числах? 2°) (a) Приведите пример целого `n >= 1` такого, что для натурального `i`, у нас есть `f^{i+2}(n) = f^i(n)` et `f^{i+1}(n) != f^i(n)`. (b) Покажите, что функция `f` - ни возрастающая, ни убывающая. 3°) Решите в `NN^ast` : (a) уравнение `f(n) = 1` ; (b) уравнение `f(n) = 2` ; (c) уравнение `f(n) = 4`. 4°) (a) Для всех целых `a >= 2` и `b >= 0` покажите, что `ab <= a^b` . (b) Пусть `k in NN^ast` и пусть `a_1`, ..., `a_k`, `b_1`, ..., `b_k` - целые числа, такие, что `a_i >= 2` и `b_i >= 0` для всех i. Покажите, что `a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_kb_k <= a_1^(b_1) a_2^(b_2) ... a_k^(b_k)`. (c) Для всех `n in NN^ast`, докажите, что `f(f(n)) <= n`. (d) Пусть `n in NN^ast`. Докажите, что существует такое натуральное `r`, что для любого целого `i >= r` выполняется `f^{i+2}(n) = f^i(n)`. 5°) Пусть `E` множество целых чисел `n >= 2`, элементы которого при разложении на простые множители имеют строго более одного простого множителя. (a) Для любого целого `a >= 2`, покажите, что существуют целые `alpha` и `beta`, такие, что `a = 2alpha + 3beta`. (b) Докажите, что если `n` принадлежит `E`, то существует `m` - элемент `E`, такой, что `f(m) = n`. (c) Найдите `m` - элемент `E`, такой, что `f(m) = 2012^2012`. (d) Что можно сказать об утверждении, обратном (b) ?
PROBLÈME II Последовательность, в основном убывающая
Пусть `(u_n)_{n>=0}` - последовательность действительных положительных чисел, такая, что `u_0 = 1` и для любого целого `n >= 1`, по крайней мере половина членов`u_0`, `u_1`,...,`u_{n-1}` больше или равна `2u_n`. Докажите, что`u_n` стремится к 0.
PROBLÈME III Почтальон всегда звонит один (и только один) раз
Почтальон должен разносить почту на одной улице. Улица имеет один ряд равномерно расположенных домов с номерами `1, 2, ..., n`, где `n >= 2`. Почтальон разносит письма в каждый дом. Делает он это следующим образом. У первого дома, в который он должен доставить письмо, он оставляет свой велосипед, и кладет письмо в почтовый ящик. Затем пешком разносит остальные письма по остальным адресам и возвращается к первому дому за велосипедом. Таким образом, его траектория описывается последовательностью номеров домов, в которые он разнес почту. Например, если `n = 5`, одна из возможных траекторий будет `1,5,2,4,3,1`. Общее расстояние, или длина пути, в данном случае равна `12`, так как `|5- 1| + |2-5| + |4-2| + |3-4| + |1-3| = 12`. Другая возможная траектория `1,3,5,4,2,1`, имеет длину `8`. 1°) Сколько всего возможных путей у почтальона? 2°) (a) Докажите, что любая траектория не может быть короче, чем `2(n -1)`. (b) Сколько имеется траекторий с минимальной длиной? 3°) (a) В случае `n = 5` и `n = 6`, определите максимальную длину траектории и приведите пример траектории с максимальной длиной. (b) Определите максимальную длину траектории для любых `n`. 4°) Пусть почтальон выбирает траекторию случайно (все траектории равновероятны). Какова ожидаемая длина его траектории?
-
-
17.06.2012 в 22:12PROBLÈME I
Простые множители вверху, степени внизу
Для любого целого `n >= 2`, существует его разложение в произведение степеней простых чисел
`n=(p_1)^(a_1)*(p_2)^(a_2)*...*(p_k)^(a_k)`
где `p_1`, `p_2`, ..., `p_k` - все различные простые делители `n`, а показатели степеней `a_1`, `a_2`, ..., `a_k` - целые положительные числа. Зададим:
`f(n) = (a_1)^(p_1)* (a_2)^(p_2)* ... * (a_k)^(p_k)`.
Например, если `n = 720 = 2^4 3^2 5^1`, то `f(n) = 4^2 2^3 1^5 = 128`.
Задав к тому же `f(1) = 1`, получим функцию `f` из `NN^ast` в `NN^ast`.
Наконец, для `n in NN^ast`, определим рекуррентное соотношение`f^i(n)` по `i in NN`, так, что `f^0(n) = n` и для любого `i in N`, `f^{i+1} (n) = f(f^i(n))`.
Например: `f^0 (720) = 720`, `f^1 (720) = f(720) = 128`, `f^2(720) = f(128) = 49`.
Цель этой задачи изучить поведение функции `f` на последовательностях `(f^i(n))_{i in NN}` при фиксированном`n`.
1°) (a) Вычислите `f(2012)`.
(b) Определите числа `f^i (36^36)` для `0 <= i <= 3`. Что вы можете сказать о следующих числах?
2°)
(a) Приведите пример целого `n >= 1` такого, что для натурального `i`, у нас есть
`f^{i+2}(n) = f^i(n)` et `f^{i+1}(n) != f^i(n)`.
(b) Покажите, что функция `f` - ни возрастающая, ни убывающая.
3°) Решите в `NN^ast` : (a) уравнение `f(n) = 1` ; (b) уравнение `f(n) = 2` ; (c) уравнение `f(n) = 4`.
4°)
(a) Для всех целых `a >= 2` и `b >= 0` покажите, что `ab <= a^b` .
(b) Пусть `k in NN^ast` и пусть `a_1`, ..., `a_k`, `b_1`, ..., `b_k` - целые числа, такие, что `a_i >= 2` и `b_i >= 0` для всех i. Покажите, что
`a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_kb_k <= a_1^(b_1) a_2^(b_2) ... a_k^(b_k)`.
(c) Для всех `n in NN^ast`, докажите, что `f(f(n)) <= n`.
(d) Пусть `n in NN^ast`. Докажите, что существует такое натуральное `r`, что для любого целого `i >= r` выполняется `f^{i+2}(n) = f^i(n)`.
5°) Пусть `E` множество целых чисел `n >= 2`, элементы которого при разложении на простые множители имеют строго более одного простого множителя.
(a) Для любого целого `a >= 2`, покажите, что существуют целые `alpha` и `beta`, такие, что
`a = 2alpha + 3beta`.
(b) Докажите, что если `n` принадлежит `E`, то существует `m` - элемент `E`, такой, что `f(m) = n`.
(c) Найдите `m` - элемент `E`, такой, что `f(m) = 2012^2012`.
(d) Что можно сказать об утверждении, обратном (b) ?
Последовательность, в основном убывающая
Пусть `(u_n)_{n>=0}` - последовательность действительных положительных чисел, такая, что `u_0 = 1` и для любого целого `n >= 1`, по крайней мере половина членов`u_0`, `u_1`,...,`u_{n-1}` больше или равна `2u_n`. Докажите, что`u_n` стремится к 0.
Почтальон всегда звонит один (и только один) раз
Почтальон должен разносить почту на одной улице. Улица имеет один ряд равномерно расположенных домов с номерами `1, 2, ..., n`, где `n >= 2`.
Почтальон разносит письма в каждый дом.
Делает он это следующим образом. У первого дома, в который он должен доставить письмо, он оставляет свой велосипед, и кладет письмо в почтовый ящик. Затем пешком разносит остальные письма по остальным адресам и возвращается к первому дому за велосипедом.
Таким образом, его траектория описывается последовательностью номеров домов, в которые он разнес почту.
Например, если `n = 5`, одна из возможных траекторий будет `1,5,2,4,3,1`. Общее расстояние, или длина пути, в данном случае равна `12`, так как `|5- 1| + |2-5| + |4-2| + |3-4| + |1-3| = 12`. Другая возможная траектория `1,3,5,4,2,1`, имеет длину `8`.
1°) Сколько всего возможных путей у почтальона?
2°)
(a) Докажите, что любая траектория не может быть короче, чем `2(n -1)`.
(b) Сколько имеется траекторий с минимальной длиной?
3°)
(a) В случае `n = 5` и `n = 6`, определите максимальную длину траектории и приведите пример траектории с максимальной длиной.
(b) Определите максимальную длину траектории для любых `n`.
4°) Пусть почтальон выбирает траекторию случайно (все траектории равновероятны). Какова ожидаемая длина его траектории?
-
-
18.06.2012 в 03:44-
-
19.06.2012 в 01:12