Математические олимпиады в Бангладеш

[mpl]

Математические олимпиады в Бангладеш
www.matholympiad.org.bd

Почти половина населения Бангладеш не умеет ни читать ни писать.

Математическая олимпиада (BdMO) - ежегодное соревнование школьников. Они проводятся Бангладешским Математическим Олимпийским Комитетом (BdMOC) с 2001 года. Олимпиады проводятся для школьников до 12 класса включительно в декабре-феврале.

Школьники делятся на четыре категории:
Primary: 3-5 классы
Junior: 5-8 классы
Secondary: 9-10 классы
Higher Secondary: 11–12 классы

Региональные олимпиады
Страна делится на 13 регионов для проведения региональных олимпиад. В каждом регионе, за исключением Dhaka, около 60 школьников из примерно 1000 участников отбираются для участия в национальной олимпиаде. В Dhaka в олимпиаде принимают участие около 1600 школьников и около 100–120 отбираются для участия в национальной олимпиаде.

Национальная олимпиада
Около 60 участников, показавших лучшие результаты, награждаются призами.

@темы: Образование, Олимпиадные задачи, Люди

Comments

[mpl]

Bangladesh National Mathematical Olympiad 2012: Primary
Продолжительность: 2 часа

Problem 1:
Найдите трехзначное число такое, что если все его цифры разместить в обратном порядке и полученное число сложить с оригинальным, то получится трехзначное число все цифры которого равны.

Problem 2:
Subrata пишет письма Ruponti каждый день (каждые $24$ часа) из Кореи. Но Ruponti получает письма через $25$ часов после их отправления. Какое количество писем получит Ruponti yf 25-й день?

Problem 3:
Докажите, что если разность между двумя простыми числами большими 2 является простым числом, то она равно 2.

Problem 4:
Напишите число на листе бумаги и поверните лист на 180 градусов. Если полученное число совпадает с написанным, то мы назовем его прекрасным. Пример: 986 - прекрасное число. Найдите наибольшее пятизначное прекрасное число.

Problem 5:
Кубом числа называют результат умножения числа самого на себя трижды. Пример: 3×3×3=27, поэтому 27 является кубом 3. Если сложить 1, 170 и 387 с натуральным числом, то получатся кубы трех последовательных натуральных чисел. Что это за числа?

Problem 6:
Посмотрите на рисунок. На нем вы увидите три прямоугольника. Их длина 3, 4 и 5 единиц соответственно, ширина соответственно 2, 3 и 4 единицы. Размеры каждого маленького квадрата в длину и ширину равны единице. Используйте эти рисунки для вычисления суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 500. (Если будут использоваться готовые формулы, то их нужно будет доказать)



Problem 7:
Tanvir заметил во время пути на вершину горы Tajingdong, что дождь шел 11 раз. На горе Tajingdong, в дождливый день, дождь идет или утром или вечером, но он никогда не идет дважды в один и тот же день. По пути Tanvir 16 раз провел без дождя утро и 13 раз вечер. Сколько дней потребовалось Tanvir для подъема на гору?

Problem 8:
Магический ящик принимает два числа. Если первое число можно получить из второго умножением его на себя несколько раз, то загорается зеленая лампочка. В противном случае загорается красная лампочка. Например, если ввести числа 16 и 2, то загорается зеленая лампочка, т.к. 2x2x2x2 = 16. Но если ввести числа 18 и 9, то загорится красная лампочка. Если два числа равны, то загорится зеленая лампочка. Если в качестве первого числа взять число 256, то для какого количества различных вторых чисел загорится зеленая лампочка?

Problem 9:
Каждая комната магического замка имеет ровно одну дверь. Комнаты спроектированы так, что когда вы проходите из одной комнаты в другую через дверь, то видите комнату, длина которой равна ширине первой комнаты, а ширина - половине ширины первой комнаты (смотри рисунок). Каждая дверь может быть использована только один раз. Магический принц вошел в замок и теперь хочет выйти из него. Для того чтобы выйти из комнаты принцу нужно время равное ширине комнаты. Принц должен пройти через каждую дверь для того, чтобы выбраться из замка. Благодаря благословению Sufi принц может становиться таким маленьким каким захочет (это позволяет ему войти даже в очень маленькую комнату). Если замок представляет собою квадрат со стороной 20 метров, то сколько времени займет дорога принца из замка?



Problem 10:
Tusher выбрал несколько последовательных чисел начиная с 1. Он заметил, что наименьшее общее кратное этих чисел делится на 100. Какое наименьшее количество чисел мог он выбрать?

[mpl]

Bangladesh National Mathematical Olympiad 2012: Junior
Продолжительность: 3 часа

Problem 1:
Subrata пишет письма Ruponti каждый день (каждые $24$ часа) из Кореи. Но Ruponti получает письма через $25$ часов после их отправления. Какое количество писем получит Ruponti yf 25-й день?

Problem 2:
Докажите, что если разность между двумя простыми числами большими 2 является простым числом, то оно равно 2.

Problem 3:
Tanvir заметил во время пути на вершину горы Tajingdong, что дождь шел 11 раз. На горе Tajingdong, в дождливый день, дождь идет или утром или вечером, но он никогда не идет дважды в один и тот же день. По пути Tanvir 16 раз провел без дождя утро и 13 раз вечер. Сколько дней потребовалось Tanvir для подъема на гору?

Problem 4:
Магический ящик принимает два числа. Если первое число можно получить из второго умножением его на себя несколько раз, то загорается зеленая лампочка. В противном случае загорается красная лампочка. Например, если ввести числа 16 и 2, то загорается зеленая лампочка, т.к. 2x2x2x2 = 16. Но если ввести числа 18 и 9, то загорится красная лампочка. Если два числа равны, то загорится зеленая лампочка. Если в качестве первого числа взять число 256, то для какого количества различных вторых чисел загорится зеленая лампочка?

Problem 5:
$ABC$ - прямоугольный треугольник с гипотенузой $AC$. $D$ - середина $AC$. $E$ - точка на продолжении $BD$. Перпендикуляр к $BC$, проведенный через точку $E$, пересекает $AC$ в точке $F$ и $BC$ в точке $G$. (a) Докажите, что если $DEF$ является равносторонним треугольником, то $\angle ACB = 30^0$. (b) Докажите, что если $\angle ACB = 30^0$, то треугольник $DEF$ - равносторонний.

Problem 6:
In треугольнике $ABC$ $AB=7,\ AC=3,\ BC=9$. Нарисована окружность радиуса $AC$ с центром в точке $A$. Чему равно расстояние от точки $B$ до точки окружности, которая находится на самом большом расстоянии от точки $B$?

Problem 7:
Каждая комната магического замка имеет ровно одну дверь. Комнаты спроектированы так, что когда вы проходите из одной комнаты в другую через дверь, то видите комнату, длина которой равна ширине первой комнаты, а ширина - половине ширины первой комнаты (смотри рисунок). Каждая дверь может быть использована только один раз. Магический принц вошел в замок и теперь хочет выйти из него. Для того чтобы выйти из комнаты принцу нужно время равное ширине комнаты. Принц должен пройти через каждую дверь для того, чтобы выбраться из замка. Благодаря благословению Sufi принц может становиться таким маленьким каким захочет (это позволяет ему войти даже в очень маленькую комнату). Если замок представляет собою квадрат со стороной 20 метров, то сколько времени займет дорога принца из замка?



Problem 8:
Найдите общее количество треугольников стороны которых выражаются целыми числами и длина большей из них равна 100. Если аналогичное условие применяется для равнобедренных треугольников, то чему будет равно их количество?

Problem 9:
Дан треугольник $ABC$, квадрат $PQRS$ нарисован так, что$P,\ Q$ лежат на $BC,\ R$ на $CA$ и $S$ на $AB$. Радиус окружности проходящей через $A,\ B,\ C$ равен $R$. Пусть $AB = c,\ BC = a,\ CA = b$. Покажите, что $\frac{AS}{SB}=\frac{bc}{2aR}$.

Problem 10:
$n$-ый член послендовательности равен наименьшему общему кратному (НОК) чисел от $1$ до $n$. Какой первый по порядку член последовательности делится на $100$?

[mpl]

Bangladesh National Mathematical Olympiad 2012: Secondary
Продолжительность: 4 часа

Problem 1:
Subrata пишет письма Ruponti каждый день (каждые $24$ часа) из Кореи. Но Ruponti получает письма через $25$ часов после их отправления. Какое количество писем получит Ruponti на 25-й день?

Problem 2:
Tanvir заметил во время пути на вершину горы Tajingdong, что дождь шел 11 раз. На горе Tajingdong, в дождливый день, дождь идет или утром или вечером, но он никогда не идет дважды в один и тот же день. По пути Tanvir 16 раз провел без дождя утро и 13 раз вечер. Сколько дней потребовалось Tanvir для подъема на гору?

Problem 3:
В пятиугольнике ABCDE площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны. Отрезки AC и AD пересекают BE в точках M и N. Докажите, что BM=EN.

Problem 4:
Найдите общее количество треугольников, длины сторон которых выражаются целыми числами и длина большей из них равна 100. Если аналогичное условие применяется для равнобедренных треугольников, то чему будет равно их количество?

Problem 5:
В треугольнике $ABC$ медианы $AD$ и $CF$ пересекаются в точке $G$. $P$ - произвольная точка $AC$. $PQ$ и $PR$ параллельны $AD$ и $CF$ соответственно. $PQ$ пересекает $BC$ в точке $Q$ и $PR$ пересекает $AB$ в точке $R$. Докажите, при условии пересечения $QR$ $AD$ в точке $M$ и $CF$ в точке $N$, что площадь треугольника $GMN$ равна $\frac{(A)}{8}$, где $(A)$ = площади ограниченной $PQ, PR, AD, CF$.

Problem 6:
Покажите, что для любого простого числа $p$ или не существует или существует бесконечно много натуральных чисел $a$ таких, что $6p$ делит $a^p + 1$. Найти все натуральные числа для которых нет решений.

Problem 7:
В остроугольном треугольнике $ABC$ $\angle A= 60^0$. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведенными из $B$ и $C$ проходит через описанной окружности треугольника $ABC$.

Problem 8:
Вершины прямоугольного треугольника $ABC$ вписанного в окружность делят ее на три дуги. $A$ - прямой угол, поэтому противоположная дуга $BC$ - полуокружность, а дуги $AB$ и $AC$ дополняют друг друга до полуокружности. К каждой из трех дуг проведена касательная так, что точка касания является серединой той части касательной, которая образована пересечением с продолжениями $AB$ и $AC$. Более точно, точка $D$ дуги $BC$ является серединой отрезка соединяющего точки $D'$ и $D''$ в которых касательная, проходящая через точку $D$, пересекает продолжения $AB$ и $AC$. Аналогично для $E$ на дуге $AC$ и $F$ на дуге $AB$. Докажите, что треугольник$DEF$ равносторонний.

Problem 9:
Рассмотрим сетку образованную n×n точек. Докажите, что при любом выборе $2n-1$ точек существует прямоугольный треугольник, вершины которого принадлежат множеству выбранных $2n-1$ точек.

Problem 10:
Триомино - фигура составленная из трех единичных квадратов, имеющая форму буквы $L$. Из шахматной доски размером $2^k \times 2^k$ один из квадратов удален. Покажите, что оставшаяся часть доски может быть покрыта триомино.

[mpl]

Bangladesh National Mathematical Olympiad 2012: Higher Secondary
Продолжительность: 4 часа

Problem 1:
Subrata пишет письма Ruponti каждый день (каждые $24$ часа) из Кореи. Но Ruponti получает письма через $25$ часов после их отправления. Какое количество писем получит Ruponti на 25-й день?

Problem 2:
Супермен принимает участие в гонке препятствие с 12 препятствиями. На любом этапе он может прыгать через любое количество препятствий, которые предстоит преодолеть. Например, он может перепрыгнуть через все 12 препятствия одним прыжком или он может преодолеть 7 препятствий первым прыжком, 1 еще одним и остальные третьим прыжком. Сколькими разными способами может Супермен преодолеть препятствия?

Problem 3:
В пятиугольнике ABCDE площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны. Отрезки AC и AD пересекают BE в точках M и N. Докажите, что BM=EN.

Problem 4:
Рассмотрим строку অআআইইইঈঈঈঈউউউউউ... Когда её часть оканчивается на $11$ ‘ঔ’s, то она продолжается $12$ ‘অ’s, $13$ ‘আ’s и т.д. Какой символ стоит в строке на $2012$-ом месте?

Пояснение:
প্রথমে একবার অ থেকে ঔ পর্যন্ত যেতে ৬৬ টি বর্ণ লাগে এর পর প্রতিবারে ১১ করে যোগ হয় ।
অর্থাৎ, অনুক্রম টা এমনঃ
৬৬+৭৭+৮৮+৯৯+১১০+......$\approx$ ২০১২

Problem 5:
В треугольнике $ABC$ медианы $AD$ и $CF$ пересекаются в точке $G$. $P$ - произвольная точка $AC$. $PQ$ и $PR$ параллельны $AD$ и $CF$ соответственно. $PQ$ пересекает $BC$ в точке $Q$ и $PR$ пересекает $AB$ в точке $R$. Докажите, при условии пересечения $QR$ $AD$ в точке $M$ и $CF$ в точке $N$, что площадь треугольника $GMN$ равна $\frac{(A)}{8}$, где $(A)$ = площади ограниченной $PQ, PR, AD, CF$.

Problem 6:
Покажите, что для любого простого числа $p$ или не существует или существует бесконечно много натуральных чисел $a$ таких, что $6p$ делит $a^p + 1$. Найти все натуральные числа для которых нет решений.

Problem 7:
В остроугольном треугольнике $ABC$ $\angle A= 60^0$. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведенными из $B$ и $C$ проходит через описанной окружности треугольника $ABC$.

Problem 8:
Для принятия решения бросают 2n+1 монету. Если на большинстве монет выпадает орел, то принимается одно решение, при выпадении большинства решек принимается другое решение. Изначально все монеты были честными. Остроумный математик поменял n пар честных монет на n пар нечестных, в каждой паре которых вероятность выпадения орла на одной из монет равна вероятности выпадения решки на другой. Изменит ли это вероятность выбора для одного из вариантов рассматриваемых решений? Дайте логичное обоснование.

Problem 9:
Триомино - фигура составленная из трех единичных квадратов, имеющая форму буквы $L$. Из шахматной доски размером $2^k \times 2^k$ один из квадратов удален. Покажите, что оставшаяся часть доски может быть покрыта триомино.

Problem 10:
Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ удовлетворяющую:

[*] $f(0)=0$
[*] $f(np)=f(n)$
[*] $f(n)=n+f\left ( \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor \right)$ когда $n$ не делится на $p$[/list]

$p > 1$ - натуральное число, $\mathbb{N}_0$ - множество всех неотрицательных целых чисел и $\lfloor x \rfloor$ - наибольшее целое меньшее или равное $x$.

Пусть $a_k$ - максимальное значение $f (n)$ для $0\leq n \leq p^k$. Найти $a_k$.

[VEk]

Спасибо!

[All_ex]

Очень интересно...

[mpl]

Очень интересно...

Да, орнамент и мне понравился...

[mpl]

Спасибо!

Пожалуйста

[All_ex]

Очень интересно...
я основном про то, что Почти половина населения Бангладеш не умеет ни читать ни писать.... во все задачи вчитаться ещё не успел...

[Дилетант]

во все задачи вчитаться ещё не успел...

Вчиталась в некоторые. Очень приятные. Сначала показалось, что слишком простые, но беру свои слова обратно)

mpl, спасибо!