Scottish Mathematical Challenge

[mpl]

Scottish Mathematical Challenge

www.wpr3.co.uk/MC/index.html

Scottish Mathematical Challenge - соревнование в решении задач для школьников, обучающихся в школах второй ступени и старших классах (в основном P7) первой ступени. Состязание проводится с 1976 под эгидой Scottish Mathematical Council. Целью является реклама математики как источника интересного и приносящего удовольствие при достижении намеченных результатов.

Состязание проводится в четырех дивизионах: Primary (P7), Junior (S1 and S2), Middle (S3 and S4), and Senior (S5 and S6). Задания рассылаются по школам, дважды в год в школы второй ступени и три раза в год в школы первой ступени. Выполненные работы пересылаются школами локальным организаторам для проверки, результаты проверки сообщаются школам.

Ранним летом объявляются победители в каждом дивизионе, которых награждают золотыми, серебряными и бронзовыми сертификатами. Лучшие приглашаются на торжественную церемонию на которой, помимо сертификатов, их награждают красными революционными шароварами кружками с эмблемой Mathematical Challenge.

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

Comments

[mpl]

SMC 2011-2012, Primary Division, Problems I


P1. Профессора Trigg попросили сказать сколько ему лет.
Он ответил: "Если вы разделите мой возраст на 2, 3, 4 or 6, то в остатке получите 1, но если вы разделите мой возраст на 7, то остатка не будет."
Сколько лет профессору Trigg?
Объясните ваши рассуждения.

P2. Adam нашел волчок который был раскрашен в пять цветов, которые выпадали с равной вероятностью. Adam решил сделать свой собственный волчок.
Его волчок будет раскрашен в четыре цвета - красный, синий, оранжевый и зеленый. Он хочет чтобы выполнялись такие условия:
* красный выпадает в половине случаев;
* красный выпадает в два раза чаще чем синий;
* оранжевый выпадает в два раза чаще чем зеленый.
Какая часть волчка должна быть окрашена в оранжевый цвет?


P3. На гранях кубика нарисованы буквы A, B, C, D, E и F. На рисунке показан кубик с двух точек зрения. Заполните пропуски на развертке кубика. Опишите каждый шаг решения задачи.


SMC 2011-2012, Primary Division, Problems II


P1. Учитель спросил о том, какой вес можно измерить с помощью пяти гирь, вес которых равен 1, 2, 3, 4 и 5 г, но ты решил, что это очень легко!
Какой вес должен быть у каждой из пяти гирь для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любой вес до максимального включительно?

P2.В полдень часовая и минутная стрелки часов совпадают. Определите, с точностью до секунды, когда стрелки совпадали в последний раз перед полуднем.
Также определите, с точностью до секунда, когда часовая и минутная стрелки указывали противоположное направление в последний раз перед полуднем. Объясните свои рассуждения.

P3. Конструируется гигантская временная шкала, на которой будет отмечен каждый год от 1 AD до 2012 включительно. Компании, которая будет изготавливать эту шкалу, нужно подсчитать сколько экземпляров каждой цифры от 0 и до 9 потребуется. Предположив, что лидирующие нули не потребуются, напишите сколько нужно будет экземпляров каждой цифры? Объясните ваши рассуждения.

SMC 2011-2012, Primary Division, Problems III


P1. На рисунке ниже показана модель нового школьного комплекса. На каждом блоке указано время (в месяцах) необходимое для его строительства. Ни один блок не может быть построен пока не построены блоки расположенные под ним, но различные бригады строителей могут строить несколько блоков одновременно. Чему равно наименьшее время строительства комплекса? Объясните ваши рассуждения.


P2. Бак может наполняться при помощи комбинации из любых трех кранов. Меньший кран наполняет бак в течение 20 минут. Средний кран наполняет бак за 12 минут. Самый большой кран наполняет бак в течение 5 минут. Сколько времени будет наполняться бак всеми тремя кранами включенными одновременно? Объясните ваши рассуждения.

P3. Когда я пришел на детскую площадку, то увидел детей играющих с прыгающими мячиками. Мяч подпрыгнул на высоту моего роста, равную 1,6 метра. "Вау! Это был отличный отскок", сказал я, но мальчик ответил: "Это был пустяк - Вы бы видели первый отскок! Этот был третьим". Каждый отскок этого мяча на 20% меньше, чем его предыдущий отскок. Чему равна высота первого отскока? Объясните ваши рассуждения.

[mpl]

SMC 2011-2012, Junior Division, Problems I


J1. На гранях кубика нарисованы буквы A, B, C, D, E и F. На рисунке показан кубик с двух точек зрения. Заполните пропуски на развертке кубика. Опишите каждый шаг решения задачи.


J2.PIN номер, состоящий из четырех цифр "rrss", где r и s различные цифры, делится на 15. Какие значения r невозможны?

J3. На встрече в библиотеке членов молодежного исторического общества (YHS) детей было в три раза больше, чем родителей. Каждый мальчик взял в библиотеке 12 книг, каждая девочка - 17 книг и каждый родитель взял 9 книг. Все вместе они взяли 305 книг. Как много девочек было на встрече YHS?

J4. Дан равнобедренный треугольник ABC. Какая его часть закрашена? Обоснуйте свои рассуждения.


J5. Шесть родственников собрались вместе и обнаружили, что среднее значение их возрастов равно 19. Возраст четверых из них - 21, 19, 23 и 11 и диапазон возрастов всех шестерых равен 20. Найдите возраст остальных двух родственников. Обоснуйте свои рассуждения.

SMC 2011-2012, Junior Division, Problems II


J1. Бак может наполняться при помощи комбинации из любых трех кранов. Меньший кран наполняет бак в течение 20 минут. Средний кран наполняет бак за 12 минут. Самый большой кран наполняет бак в течение 5 минут. Сколько времени будет наполняться бак всеми тремя кранами включенными одновременно? Обоснуйте ваши рассуждения.

J2. Когда я пришел на детскую площадку, то увидел детей играющих с прыгающими мячиками. Мяч подпрыгнул на высоту моего роста, равную 1,6 метра. "Вау! Это был отличный отскок", сказал я, но мальчик ответил: "Это был пустяк - Вы бы видели первый отскок! Этот был третьим". Каждый отскок этого мяча на 20% меньше, чем его предыдущий отскок. Чему равна высота первого отскока? Обснуйте ваши рассуждения.

J3.Пять школьников взвешивались по двое. Были получены такие результаты: 58, 60, 61, 64, 64, 65, 67, 68, 70 и 71. Найдите вес каждого школьника.

J4. Есть набор из 19 карт, пронумерованных числами от 1 до 19. Карты лежат на столе числами вниз. Девять игроков выбирают по две карты. Игрок, набравший в сумме наибольшее количество очков на своих двух картах и на карте, оставшейся на столе, выигрывает. Возможно ли, что все игроки набрали одинаковое количество очков? Если это так, то чему равно это количество? Обоснуйте свой ответ.

J5. Программист утверждает, что его программа нашла некоторые числа удовлетворяющие уравнению Ферма `x^n + y^n = z^n` при некотором большом n. Он сказал своему десятилетнему брату что x = 31415926536, y =89173261421, z = 90354441655. Почти немедленно его брат сказал, что этого не может быть ни при каких значениях n. Программист проверил программу и нашел ошибку. Каким образом брат узнал, что в программе есть ошибка?

[mpl]

SMC 2011-2012, Middle Division, Problems I


M1. Дан равнобедренный треугольник ABC. Какая его часть закрашена? Обоснуйте свой ответ.


M2. Шесть родственников собрались вместе и обнаружили, что среднее значение их возрастов равно 19. Возраст четверых из них - 21, 19, 23 и 11 и диапазон возрастов всех шестерых равен 20. Найдите возраст остальных двух родственников. Обоснуйте свой ответ.

M3. Велосипедист Andrew начал движение из Kirkton в Simsburgh в то же время что и велосипедист Mike, едущий по тому же маршруту из Simsburgh в Kirkton. Они проехали друг мимо друга в точке находящейся в четырех милях от Kirkton. Каждый велосипедист продолжил свое движение после встречи, доехал до цели и немедленно поехал в обратную сторону с той же самой скоростью. На этот раз они встретились в двух милях от Simsburgh. Andrew и Mike все время ехали с постоянными скоростями. Определите расстояние от Kirkton до Simsburgh. Если Andrews ехал со скоростью `nu`, то чему равна скорость Mike?

M4. Прямоугольный пол комнаты покрыт целым количеством квадратных плиток длина стороны которых равна 15 см. Черные плитки образуют бордюр шириной в одну плитку по периметру комнаты. Внутри черного бордюра пол покрыт плитками красного цвета. Красных плиток в два раза больше чем черных. Определите возможные длину и ширину комнаты.


M5. Покажите, что существует только один набор различных натуральных чисел таких, что `1 =1/x+1/y+1/z`.
Докажите, что если n - нечетное натуральное число большее трех, то единица может быть представлена в виде суммы n величин обратных n различным натуральным числам.
Для каких четных чисел это возможно?
Обоснуйте свой ответ.

SMC 2011-2012, Middle Division, Problems II


M1. Есть набор из 19 карт, пронумерованных числами от 1 до 19. Карты лежат на столе числами вниз. Девять игроков выбирают по две карты. Игрок, набравший в сумме наибольшее количество очков на своих двух картах и на карте, оставшейся на столе, выигрывает. Возможно ли, что все игроки набрали одинаковое количество очков? Если это так, то чему равно это количество? Обоснуйте свой ответ.

M2. Программист утверждает, что его программа нашла некоторые числа удовлетворяющие уравнению Ферма `x^n + y^n = z^n` при некотором большом n. Он сказал своему десятилетнему брату что x = 31415926536, y =89173261421, z = 90354441655. Почти немедленно его брат сказал, что этого не может быть ни при каких значениях n. Программист проверил программу и нашел ошибку. Каким образом брат узнал, что в программе есть ошибка?

M3. Возьмем пару чисел из таблички ниже, первое число расположено под вторым, например 8 и 5, и составим выражение наподобие 85-58 = 27. Если взять вторую пару, 4 и 1, то получим 41 - 14 = 27.
Покажите, что ответ всегда будет равен 27 и объясните, почему это так.


M4. Catriona поехала на день в страну Silverglade, в которой имеют хождение весьма ярко окрашенные деньги. Она поменяла свои деньги на 29 knomes, которые ей выдали одной красной банкнотой, одной желтой, одной синей и одной зеленой банкнотой. Её гид сказал, что у нее есть теперь по одной банкноте каждого вида, которые используются в Silverglade, но многие магазины не принимают зеленые банкноты.
В том же банке Catriona обменяла ее зеленую банкноту на на синюю и желтую. В магазине она купила зелье за 1 knome. На сдачу с двух желтых банкнот они получила три красных. Позднее она заплатила за почтовую карточку стоимостью 1 knome двумя голубыми банкнотами и получила три желтые на сдачу. Какой номинал имеют все четыре цветные банкноты Silverglade?

M5. Энди стоял на автобусной остановке возле своего дома. Через маленькое окно, он может увидел отражение телевизора в большом зеркале. Телевизор смонтирован на той же стене дома, что и окно, а зеркало висит на противоположной стене. Он также отметил, что он видит через окно весь телевизор, но не более того.
Его заинтересовало, какую ширину имеет телевизор его соседа. Его дом такой же как и у соседа. Небольшое окно имеет ширину 50 см и комната в 4 м в глубину. Кроме того, он находится как раз в 10 метрах от ближайшей точки на передней стене дома соседа, на которой находится окно и телевизор. Как он вычислил это и какова ширина телевизора?

[mpl]

SMC 2011-2012, Senior Division, Problems I


S1. Прямоугольный пол комнаты покрыт целым количеством квадратных плиток длина стороны которых равна 15 см. Черные плитки образуют бордюр шириной в одну плитку по периметру комнаты. Внутри черного бордюра пол покрыт плитками красного цвета. Красных плиток в два раза больше чем черных. Определите возможные длину и ширину комнаты.

S2. Покажите, что существует только один набор различных натуральных чисел таких, что `1 =1/x+1/y+1/z`.
Докажите, что если n - нечетное натуральное число большее трех, то единица может быть представлена в виде суммы n величин обратных n различным натуральным числам.
Для каких четных чисел это возможно?
Обоснуйте свой ответ.

S3. Окружность имеет радиус 1 и AB - ее диаметр. Построены две дуги равных радиусов с центрами в A и B. Дуги пересекаются так, как это показано на рисунке. Вычислите площадь закрашенной области.


S4. Мыслительная мощь многоголового дракона зависит от количества его голов. Мыслительная мощь группы драконов равна произведению количества голов отдельных драконов. В конкретной группе сто голов, какое количество драконов и с каким количеством голов максимизирует мыслительную мощь этой группы?

S5. Покажите, что отношение площадей правильных n-угольников вписанных и описанных около одной и той же окружности равно `cos^2 pi/n : 1`.

SMC 2011-2012, Senior Division, Problems II


S1. Энди стоял на автобусной остановке возле своего дома. Через маленькое окно, он может увидел отражение телевизора в большом зеркале. Телевизор смонтирован на той же стене дома, что и окно, а зеркало висит на противоположной стене. Он также отметил, что он видит через окно весь телевизор, но не более того.
Его заинтересовало, какую ширину имеет телевизор его соседа. Его дом такой же как и у соседа. Небольшое окно имеет ширину 50 см и комната в 4 м в глубину. Кроме того, он находится как раз в 10 метрах от ближайшей точки на передней стене дома соседа, на которой находится окно и телевизор. Как он вычислил это и какова ширина телевизора?


S2. Работник подал заявление о компенсации расходов на командировку. Бухгалтер обрабатывающий его заявку допустил ошибку, поменяв местами количество фунтов и пенсов. Это привело к увеличению выплаты. Не заметив этой ошибки работник по пути домой потратил в магазине £3.19 из полученной суммы. Дома, проверяя наличные, он обнаружил что остаток средств равен 7/5 от запрошенной суммы. Какую сумму попросил работник компенсировать ему?

S3. Вершины прямоугольника лежат на окружности радиуса r. Точки A, B, C и D - середины PQ, QR, RS и SP соответственно. Определить, с доказательством, наибольшую возможную площадь четырехугольника ABCD.


S4. Найти уравнение окружности для которой верно:
* ее график касается оси OX;
* она проходит через точки (-3, 10) и (0, 1);
* две точки, в которых график пересекает положительную полуось OY находятся на расстоянии 8 единиц друг от друга.

S5. Сколькими способами можно представить число 1000000 в виде произведения трех натуральных чисел a, b, c таких, что `a <= b <= c`?

[~ghost]

mpl) спасибо огромное!
столько олимпиад сразу! ) {когда же решать ? =))}

[mpl]

не читать дальше

По ссылке в первом сообщении можно посмотреть и решения ...

[~ghost]

посмотреть и решения ...

— так не интересно будет

[mpl]

[VEk]

Спасибо!