Пробный (репетиционный) экзамен по математике 17 марта 2012 г.

[mpl]

Некоторые задачи пробного экзамена по математике 17 марта 2012 г.

С1.1.
а) Решите уравнение
`14cos((-18pi)/53)+7sin((12pi)/53)+16^(sinx-0,25)-3*4^(sinx-0.5)+1=14cos(-(18pi)/53)+7sin((12pi)/53)`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку `[2pi;(7pi)/2]`
Ответ: а) `pi*k, k in Z` ; `(-1)^n pi/6+pi*n, n in Z`
2) `2pi, (13pi)/6; (17pi)/6; 3pi`
С1.2.
а) Решите уравнение
`62cos(-(81pi)/31)+7sin(-(64pi)/23)+81^(cosx-0,25)-4*9^(cosx-0,5)+1=62cos(-(81pi)/31)+7sin(-(64pi)/23)`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку `[-(5pi)/2;- pi]`
Ответ: а) `pi/2+pi*k, k in Z`, `+-pi/3+2*pi*n, n in Z`
б) `-(5*pi)/2`, `-(7*pi)/3`, `-(5*pi)/3`, `-(3*pi)/2`

С2.1. В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1` со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре `A A_1` взята точка М так, что `AM=2`. На ребре `BB_1` взята точка `K` так, что `B_1K=2`. Найдите угол между плоскостью `D_1MK` и плоскостью `C C_1D_1`
Ответ: `pi/4`
С2.2 В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре `A A_1` взята точка М так, что `AM=8`. На ребре `B B_1` взята точка так, что `B_1K=8` . Найдите угол между плоскостью `MKD_1` и плоскостью `DC C_1`
Ответ: `pi/4`

C3.1. Решите систему неравенств
`{(7x-12*ln11+log_x(log_2x+log_4x+1)>=1/(log_2x)+7x-12*ln11),(4x+8*ln27+3^x+3^(x+1)>4^x+4x+8*ln27):}`

Ответ: `(2^(-2/3);1)uu[2^(2/3); log_(4/3)(4))`
С3.2 (вариант 213)
Решите систему неравенств:
`{(-27x-8*ln31+log_(x/3)(log_2x+log_8x-1)>=1/(log_2(x/3))-27x-8*ln31),(25x+7*ln32+2^x+2^(x+1)>3^x+25x+7*ln32):}`

С4.1. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно 24. На одной из них взята точка С, а на другой взяты точки А и В так, что треугольник АВС - остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
Ответ: `625/48`; `125/8`
С4.2. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно 12. На одной из них взята точка С, а на другой взяты точки А и В так, что треугольник АВС - остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 15. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

С5.1. При каких значениях `a` уравнение `|x+a^2|=|a+x^2|` имеет ровно три корня?

С5.2. (вариант 213) При каких значениях `a` уравнение `|x+a^2|=|a+x^2|` имеет более трех корней?
Ответ: `((-1-sqrt(2))/2;-1)uu(-1;0)uu(0;(-1+sqrt(2))/2)`

С6.1. Дана последовательность натуральных чисел, причем каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех членов последовательности равна 163.
а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?
б) Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности?

С6.2. Сумма членов последовательности натуральных чисел, каждый последующий член которой получается либо прибавлением 12 к предыдущему, либо умножением предыдущего на 7, равна 93. Каково может быть минимальное и максимальное количество членов в этой последовательности?

Условия части В с ответами на сайте А.А.Ларина

@темы: Тренировочные/диагностические работы, ЕГЭ

Comments

[PMtime]

Выглядит куда сложнее предыдущих..
Думаю, в этот раз по России все будет еще хуже

[Robot]

С2.1 В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1` со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре `A A_1` взята точка М так, что `AM=2`. На ребре `BB_1` взята точка `K` так, что `B_1K=2`. Найдите угол между плоскостью `D_1MK` и плоскостью `C C_1D_1`
Решение.
Так как плоскость `C C_1D_1` параллельна плоскости `A A_1B_1`, то искомый угол равен углу между плоскостью `D_1MK` и плоскостью `A A_1B_1`
1 способ. Векторно-координатный.
Почитать о нем можно в пособии Корянов А.Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения (стр. 31)
Введем систему координат как на рисунке.

В этой системе координат точка `M(0;0;2)`, `K(0;4;5)`, `D_1(4;0;7)`
Уравнение плоскости `MKD_1` `5x+3y-4z+8=0`, вектор нормали к ней `n_1(5;3;-4)`
Уравнение плоскости `A A_1B_1` `x=0`, вектор нормали к ней `n_2(1;0;0)`
Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между их векторами нормалей. Поэтому
`cos(alpha)=(|5*1+3*0+(-4)*0|)/(sqrt(25+9+16)*sqrt(1)) =5/(5sqrt(2))=1/sqrt(2)`
`alpha=pi/4`
2 способ. Использование теоремы о площади ортогональной проекции.
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Подробнее...

Ортогональной проекцией треугольника `KD_1M` является `KA_1M`
Площадь треугольника `KA_1M` легко подсчитывается: `S_pr =1/2*5*4=10`
Для нахождения площади треугольника `KD_1M` найдем его стороны: из треугольника `KB_1D_1` `KD_1=6`, из треугольника `KMP` `KM=5`, из треугольника `MAD_1` `MD_1=sqrt(41)`/
Площадь треугольника `KD_1M` можно найти либо по формуле Герона, либо найдя по теореме косинусов косинус, а затем и синус угла `MKD_1` (`sin(/_MKD_1)=(2*sqrt(2))/3)`.
Тогда `S_(KD_1M)=(1/2)*5*6*2*sqrt(2)/3=10sqrt(2)`.
Тогда по теореме о площади ортогональной проекции `S_pr=S_(KD_1M)*cos(alpha)`
`10=10*sqrt(2)cos(alpha)`
Откуда `cos(alpha)=1/sqrt(2)`
`alpha=pi/4`
Ответ: `pi/4`

[Robot]

С3.1 Решите систему неравенств

`{(7x-12*ln11+log_x(log_2x+log_4x+1)>=1/(log_2x)+7x-12*ln11),(4x+8*ln27+3^x+3^(x+1)>4^x+4x+8*ln27):}`

[Robot]

С5.2 При каких значениях `a` уравнение `|x+a^2|=|a+x^2|` имеет более трех корней?
Решение.

[вейко]

Robot, а какой программой вы последние свое сообщение напечатали?

[Robot]

вейко, Word, MathType
Просто сюда много Гостей заходят (без скриптов). Чтобы им понятнее было.

[Гость]

Вариант 213



Материал предоставлен пользователем форума alexlarin

Какие симпатичные треугольнички

[Robot]

PMtime, спасибо за решение, но у вас там ошибкa, к сожалению
В первом случае площадь треугольника можно посчитать по стандартной формуле `S=1/2*24*14`, тогда `4S=2*24*14`
`R=(abc)/(4S)=(25*25*14)/(2*24*14)=625/48`
Поэтому ответы в С4.1
`625/48`; `125/8`

[Robot]

Гость, спасибо за вариант

[PMtime]

И правда.. если у вас есть возможность, удалите пожалуйста. Я перезалью

[Robot]

PMtime, удалила

[PMtime]

4-ка:

[PMtime]

Выглядит куда сложнее предыдущих..
Думаю, в этот раз по России все будет еще хуже

Забираю слова обратно
Если честно, не понимаю, зачем они так "загрузили" свои принтера этим лишними цифрами...

[DarthSidious]

С1.1.
а) Решите уравнение
`14cos((-18pi)/53)+7sin((12pi)/53)+16^(sinx-0,25)-3*4^(sinx-0.5)+1=14cos(-(18pi)/53)+7sin((12pi)/53)` `<=>`
`16^(sinx-0,25)-3*4^(sinx-0.5)+1=0``<=>`
`16^sinx/16^0.25-3*4^sinx/4^0.5+1=0``<=>`
`16^sinx/2-3*4^sinx/2+1=0``<=>`
`16^sinx-3*4^sinx+2=0``<=>`
`4^(2sinx)-3*4^sinx+2=0``<=>`
`y^2-3y+2=0, y=4^sinx``<=>`
`[(y=2),(y=1):}``<=>``[(4^sinx=2),(4^sinx=1):}``<=>``[(sinx=0.5),(sinx=0):}``<=>``[(x=(-1)^n*arcsin(0.5)+pin, n in Z),(x=pim, m in Z):}``<=>`
`[(x=(-1)^n*pi/6+pin, n in Z),(x=pim, m in Z):}`

[Robot]

PMtime, DarthSidious, спасибо за решения.

[DarthSidious]

С1.2.
а) Решите уравнение
`62cos(-(81pi)/31)+7sin(-(64pi)/23)+81^(cosx-0,25)-4*9^(cosx-0,5)+1=62cos(-(81pi)/31)+7sin(-(64pi)/23)` `<=>`
`81^(cosx-0,25)-4*9^(cosx-0,5)+1=0``<=>`
`81^cosx/81^0.25-4*9^cosx/9^0.5+1=0``<=>`
`81^cosx/3-4*9^cosx/3+1=0``<=>`
`81^cosx-4*9^cosx+3=0``<=>`
`9^(2cosx)-4*9^cosx+3=0``<=>`
`y^2-4y+3=0, y=9^cosx``<=>`
`[(y=3),(y=1):}``<=>``[(9^cosx=3),(9^cosx=1):}``<=>``[(cosx=0.5),(cosx=0):}``<=>``[(x=+-arccos(0.5)+2pin, n in Z),(x=pi/2+pim, m in Z):}``<=>`
`[(x=+-pi/3+2pin, n in Z),(x=pi/2+pim, m in Z):}`

[~ghost]

Всем доброго времени)
Здравствуйте, Robot!) За Вами и за другими я, конечно, не успею=))
С1 выглядит.. легко, но "дизайн" удивительный ))
`16^( sin(x) -1/2 +1/4) -3*4^(sin(x) -1/2) +1 =0` => `2*t^2 -3*t +1 =0` (где `t=4^( sin(x)-1/2 )`), => `t=1 или t=1/2` => `4^(sin(x) -1/2) = 1` или `4^(sin(x) -1/2) =1/2` , т.е.
или (1) ` sin(x)-1/2 =0` => `sin(x) = 1/2` => `x= pi/6 +2*pi*n` (n in Z), или ` x= 5*pi/6 +2*pi*m` (m in Z);
или (2) `sin(x) -1/2 = (-1/2)` => `sin(x) =0` => `x=pi*k` (k in Z);
в промежуток [2*pi; 7*pi/2] попадают: `x= pi/6 +2*pi = 13*pi/6` , `x= 5*pi/6 +2*pi = 17*pi/6`, `x=2*pi` и `x=3*pi`

Уже увидела - уже решено)) свой текст уберу через 10 минут))
Но "оформление" С1 все-таки чудное =)

[Гость]

За удаление топиков или их частей ...

[Robot]

~ghost, доброго времени)
Не надо убирать. У Вас там и задание б)
Чем больше решений всяких (правильных) - тем лучше

Дизайн и у С3 чУдный=)

И С2 вообще-то сложнее, чем обычно

[VEk]

С6 Дана последовательность натуральных чисел, причем каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех членов последовательности равна 163.
а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?
б) Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности?

Ответ: а) 3, например, 27, 17, 119;
б) 39, например: 7,1,7,1,…,7,1, (19 пар),11.

Указание.
а) Два члена последовательности быть не может так как 163 не делится на 8 (если один член в 7 раз больше) и 153 не делится на 2 (если один член на 10 больше). Три члена в такой последовательности может быть, например 27, 17, 119.
б) Поскольку 163 не делится на 8, то есть хотя бы один член, который на 10 отличается от своего предшественника, а так как 163 не делится на 11 то есть хотя бы один член , отличающийся от своего предшественника в 7 раз. Пусть первый член последовательности равен a. Заметим, что 7a>a+10 при a≥2 и 7a<a+10 при a=1. Поэтому для увеличения количества членов последовательности надо брать более маленький первый член. Имеем при a=1 последовательность из 39 чисел: 19*(7+1)+11 =163. Так как в последовательности есть хотя бы один член, отличающийся от своего предшественника на 10, т.е. член не меньше 11, то получаем, что оставшиеся члены последовательности составляют в сумме не более 152. Сумма двух стоящих рядом членов не меньше 8, поэтому таких пар максимум 19.

Примерно такое решение.

[~ghost]

Гость

За удаление топиков или их частей ...

— призыв (больше) не записывать собственные глупости?)) « Слушаюсь...» ( в смысле "я постараюсь"..)
хотя здесь моя запись практически не отличается от записи DarthSidious

[Гость]

Вариант 211


Материал предоставлен пользователем форума alexlarin

[к.черный]

C2 (вариант 213)
В правильной четырехугольной призме `A...D_1` со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=8. Найти угол между плоскостями `D_1MK` и `CC_1D_1`

Решение. `CC_1D_1||ABB_1` => `/_(D_1MK, CC_1D_1)=/_(D_1MK, ABB_1)`

Замечание. Линейный угол двугранного угла обычно строят, проводя перпендикуляры в каждой грани к общей точке на ребре двугранного угла. Возможен такой порядок построения (см. рисунок):
1) в плоскости `beta` из точки М опустим перпендикуляр MH на плоскость `alpha`;
2) от основания перпендикуляра H в плоскости `alpha` опустим перпендикуляр НА на ребро `a`;
3) соединим А и М. MA - наклонная к плоскости `alpha`, сл-но, по теореме о трех перпендикулярах `MA_|_a`

=> `/_MAH` - линейный угол двугранного угла `alpha a beta`

Эту идею использовал для решения данной задачи пользователь solver alexlarin.com/viewtopic.php?f=6&t=4701&start=40

`D_1A_|_ABB1`, проведем `A_1O_|_MK`, соединим `OD_1`.

`/_A_1OD_1` - линейный угол двугранного угла `A_1MKD_1`

Тр-к `A_1MK` - равнобедренный (А1M=MK=13), высота А1О равна высоте, опущенной из точки К на А1М, т.е. 12.

`tg(A_1OD_1)=(A_1D_1)/(A_1O)=12/12=1` => `/_A_1OD_1=45^@`

[Robot]

к.черный, наверное, наиболее изящное решение С2!

[VEk]

Спасибо за условия! Очень пригодятся

[к.черный]

На одном из форумов было выложено такое условие задачи С2 вчерашнего пробника:

Дана правильная призма `ABCDA_1B_1C_1D_1` со стороной основания 12 и высотой 22. На стороне `A A_1`взята точка М так, что АМ=8, а на стороне `BB_1` взята точка К так, что `B_1K=8`. Найти расстояние от точки `A_1` до плоскости `D_1MK`.

Рассмотрим различные способы решения этой задачи.
1 способ.
`D_1A_1_|_ABB_1`. Опустим перпендикуляр `A_1T` на `MK`. По теореме о трех перпендикулярах `D_1T_|_MK`
=> `MK_|_A_1TD_1` => `A_1TD_1_|_MKD_1`. Сл-но, перпендикуляр, опущенный из точки А1 на линию пересечения плоскостей `TD_1`, будет одновременно перпендикуляром к плоскости `MKD_1`
Итак, задача: найти высоту прямоугольного тр-ка `TA_1D_1`, проведенную к гипотенузе `TD_1`
A1T найдем из тр-ка КА1М. `MK=6sqrt5`. По методу площадей `A_1T=(14*12)/(6sqrt5)=28/(sqrt5)`
`TD_1=(4sqrt(94))/(sqrt5)`
Аналогично по методу площадей `A_1H=(28*12*sqrt5)/(sqrt5*4*sqrt(94))=84/(sqrt(94))`

2 способ. Метод объемов.
Расстояние от точки `A_1` до плоскости `KMD_1` равно длине высоты пирамиды `A_1KMD_1`.
Посчитаем объем пирамиды `A_1KMD_1` двумя способами.
1) основание `MKA_1`, высота `D_1A_1` => `V=1/3*1/2*14*12*12=28*12`
2) основание `KMD_1`, `S(KMD_1)=1/2*6sqrt5*(4sqrt(94))/(sqrt5)=12*sqrt(94)`
`A_1H=(3V)/S=(3*28*12)/(12*sqrt(94))=84/(sqrt(94))`


3 способ. Координатный метод.
Сразу скажу, что метод координат с использованием уравнения плоскости я в своей преподавательской практике практически не использую. Ну нет у меня учеников, которые считают определители и решают системы уравнений с тремя неизвестными.
Исключение для некоторых: если можно легко записать уравнение плоскости в отрезках:
`x/a+y/b+z/c=1`
где `a, b, c` - соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями `OX`, `OY`, OZ`.
В нашем случае (система координат изображена на рисунке)
`a` находим из уравнения `8/22=x/(x+12)` => `x=48/7` => `a=-48/7`
`b` находим из уравнения `8/14=y/(y+12)` => `y=16` => `b=-16`
`c=8`
Уравнение плоскости `-(7x)/48-y/16+z/8=1`
или `7x+3y-6z+48=0`
Далее воспользуемся формулой расстояние от точки до плоскости
`rho(A_1, MKD_1)=|7*0+3*0-6*22+48|/(sqrt(7^2+3^2+(-6)^2))=84/(sqrt(94))`

Ответ: `84/(sqrt(94))`

[Гость]

Вариант 214



Материал предоставлен пользователем форума alexlarin

[к.черный]

Гость, да, я подозревала, что условие неправильно, и слишком неравноценны по вычислениям получаются варианты.
Что ж, так смешнее.

C2.4. В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1` со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре `A A_1` взята точка М так, что `AM=8`. На ребре `B B_1` взята точка K так, что `B_1K=8` . Найдите расстояние от точки `A_1` до плоскости `D_1MK`.

Ответ: `6sqrt2`

[Robot]

к.черный, вау!
Спасибо за коллекцию способов

[Гость]

В первое сообщение топика добавлена ссылка на условия части В всех вариантов. Для ценителей - с ответами.