САМГТУ

[FirstAID]

Постройте график функции y=f(x) , если она удовлетворяет условиям :
`f(x)=f(1/x) `;
` f(x)=f(-x-1)`
При ` x in [-1/2;0] ` ; `f(x)=x `

Как так получилось , что из-за f(x)=f(-x-1) следует , что x=-1/2 -ось симметрии ?
Заранее спасибо за помощь .

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Rus-Kira]

что из-за f(x)=f(-x-1) следует , что x=-1/2 -ось симметрии

Это что то типа определения симметрии))

[All_ex]

сумма аргументов постоянна, следовательно, середина соответствующего отрезка тоже... Она и есть ось симметрии... Ось потому что равенство типа чётной функции...

[FirstAID]

А почему -1/2 ? У них на первом рисунке x=-1 ось симметрии .

[All_ex]

Странно. Вроде бы в точке -2 угол на графике должен быть, а на рисунке гладкий минимум...

[All_ex]

Наверное на первом рисунке опечатка...

[FirstAID]

А почему именно -1/2 ?

[All_ex]

`(x+{-x-1})/2= -1/2` - середина отрезка...

[FirstAID]

А в каком случае это срабатывает ? Например для ` f(1/2+x)=f(-1/2-x)` это не срабатывает .Только когда с одной стороны "голый аргумент " ?

[All_ex]

В Вашем примере написана просто чётная функция (ось х=0)

[All_ex]

А работает всегда когда в одном аргументе х а в другом (-х)

[FirstAID]

Это понятно .
Почему из ` f(x)=f(1/x)` следует возможность построения от минус бесконечности до -1 , в то время как мы строим от минус бесконечности до -2 ?

[FirstAID]

Какой элемент отвечает за промежуток от -2 до -1 ?

[All_ex]

1/х - это так называемая инверсия, она отображает [-1;0) на (-оо; -1]. Пишем уравнение прямой на [-1;-1/2] и подставляем в него 1/х, получаем уравнение на отрезке [-2;-1]. Для (-оо; -2] сразу получим 1/х

[FirstAID]

А от -2 до -1 это отрезок ?

[Гость]

Никакой опечатки нет
1) По определению точки симметрии `x_0`: `f(x)=f(x_0-(x-x_0))=f(2x_0-x)`. В нашем случае это `2x_0-x=-x-1` и `x_0=-1/2`.
2) Дальше с помощью куска графика `f(x)=x` на промежутке `[-1/2;0]` однозначно определяется кусок на `[-1;-1/2]` (уголок на `[-1;0]`).
3) Теперь самое сложное: в силу условия `f(x)=f(1/x)` график этого уголка "отражается" относительно прямой `x=-1` влево (точка `0->-oo`) ,
при этом вершина (минимум) `(-1/2;-1)` уголка переходит в точку `(-2;-1)` (`x->1/x,y->y`). Понятно, что при таком "отражении" прямые ветви уголка переходят в ветви ломаной кривой слева от точки `x_0=-1` c минимумом в точке `(-2;-1)`.
4) Наконец, осталось самое простое, с учетом симметрии графика относительно точки `x_0=-1/2` получаем его часть справа от точки `x=0`

[Гость]

В нарисованном графике есть небольшой дефект - точка минимума `(-2;-1)` "отраженного" уголка, так же как и симметричная точка справа `(1;-1)` - "гладкая", на самом деле эти вершины остаются изломами, в которых сходятся куски криволинейных ветвей

[FirstAID]

график этого уголка "отражается" относительно прямойх=-1 влево (точка ) ,

почему ?

[Гость]

Потому что точки, лежащие в промежутке `[-1;0]`, в соответствии с преобразованием `x->1/x` переходят в точки промежутка `(-oo;-1]

[FirstAID]

Кажись понял .Спасибо .