Сумма ряда

[Loneliness17]

Задание.
Найти сумму ряда: sum (3n+2)*x^(3n+1) for n from 0 to +inf

Решение.
a(n+1) = (3n+5)*x^(3n+4)

q = a(n+1) / a(n) = (3n+5)/(3n+2) * x^3

S(n) = a(0) * q^(n-1)/(q-1)
Затем устремить S(n) к бесконечности, и найти сумму ряда

Подскажите, правильно ли такое решение и как можно проще решить данную задачу?
Спасибо.

@темы: Ряды

Comments

[Trotil]

А ответ какой получился?

[Loneliness17]

Никакой. Получается жуткий предел(

[Trotil]

Ошибка в том, что полученная формула есть суть ряд
1 + q + q^2 + q^3 + ... =
1 + (3n+5)/(3n+2) * x^3 + (3n+5)^2/(3n+2)^2 * x^6 + (3n+5)^3/(3n+2)^3 * x^9 + ...
когда ряд, который нужно свернуть, выглядит так:
2x + 5x^4 + 8x^7 + ...

[Trotil]

> и как можно проще решить данную задачу?

с рядом можно проделывать разные штуки. Интегрировать, дифференцировать, разбивать на два ряда, заменять переменные. Эти преобразования должны быть нацелены на упрощение, на приведение исходного ряда к известному, для которых сумма ряда уже известна.

[Loneliness17]

Других соображений у меня нет.
Подскажите первый шаг.

[Trotil]

(3n+2)*x^(3n+1) = (3n+1)*x^(3n+1) + x^(3n+1)
Начните с сворачивания x^(3n+1).

[Loneliness17]

sum (3n+1)*x^(3n+1) + sum x^(3n+1)
второй ряд считаем по геом. прогресии: b1 = x; q = x^3; Sm = x*[(x^3)^m - 1]/(x^3 - 1); lim Sm (m+inf) = ? (проблема!)
и как с первым поступать? аналогично? как вычислить предел?

[Trotil]

> (проблема!)

Никакой проблемы, обычный предел.
К чему стремится числитель? при m -> inf?

[Loneliness17]

бесконечность при х > 1
0 < x < 1 получается -х/(x^3-1)

[Trotil]

Правильно )

[Loneliness17]

А как быть с первым рядом? Что делать с (3n+1)?
члены ряда: x ; 4 x^4 ; 7 x^7...

[Trotil]

Я уже подсказал, что можно с ним сделать.
Либо проинтегрировать, либо продифференцировать.

Вот если есть n*x^n, можно с ним проделать НЕЧТО, в результате чего оно примет более простой вид.