воскресенье, 17 июля 2011
15:11

Экзамен по математике в МГУ за 17 июля 2011г.

все записи пользователя в сообществе Rus-Kira
1. Вычислить `(x^2-5)/(x-1/5)` в точке `x=9/4`
2. Решить уравнение `log_(3)(5-2x)=log_(9)(5+x)`
3. решите уравнение `(sinx+cosx)^2=2`
4. Решить неравенство `(sqrt(1-x)-1)/(sqrt(2+3x)-1)<1`
5. В треугольнике АВС медианы AP и BQ пересекаются в точке D. `CD=sqrt(12)`. Известно, что вокруг `DPCQ` можно описать окружность. Найти `AB`
6. Найдите наибольшее значение выражения `6^x/(9^(x+1)+6^x+4^(x-1))` и `x` при котором оно достигается
7. Внутри куба с ребром 3 находятся две сферы. Первая касается основания и двух боковых граней и имеет радиус 1. Вторая касается противоположного основания, тех же граней и первой сферы. Найти радиус второй сферы.
8. Решите систему неравенств:
`{(3x^2+4xy+12y^2<=1),(5x+6y<=-3):}`

КРИТЕРИИ ОЦЕНОК ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ
2 - неудовлетворительная оценка, абитуриент, получивший 2, выбывает из конкурса.
Нижняя граница положительной оценки установлена на уровне 35 баллов. Для получения 35 баллов необходимо наличие одной верно решенной задачи и продвижение в решении другой задачи.
За каждую из 8 задач в варианте начислен технический балл:
1- если задача решена верно
0,5 - если задача решена, но с недочетами
0 - если задача не решена
Таблица перевода технических баллов в положительные оценки:
Сумма технических баллов 1,522,533,544,555,566,577,58
Оценка 36 37 38 40 45 55 60 70 75 85 90 100 100 100


@темы: Задачи вступительных экзаменов

URL
Комментарии
17.07.2011 в 16:22

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Планиметрия понравилась.
Использовал свойство хорд, пересекающихся в одной точке?
URL
17.07.2011 в 16:27

Rus-Kira
Вы уже второй человек, который про это говорит(( Вообще не использовал. Немножко подобия, немножко теоремы косинусов и формула медианы мной использовались
URL
17.07.2011 в 16:29

Rus-Kira
Ааааа, понял где свойство хорд...)) Я сложнее чуть чуть решил) Про среднюю линию подумал, но что то не догадался применить свойство хорд =) Хотя так горааздо проще)
URL
17.07.2011 в 16:35

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Я начала было думать так, как ты, но побоялась погрязнуть=)

Ответ какой получился?
URL
17.07.2011 в 16:37

Rus-Kira
Точно такой же, `6`. =) Я ответ проще всего проверил - по равностороннему треугольнику :D
URL
17.07.2011 в 16:38

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
:-D
Да, 6.
URL
17.07.2011 в 16:41

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
В № 6 1/4, а достигается в дурацкой какой-то точке..
UPD
С помощью производной решал или с помощью неравенства Коши?
URL
17.07.2011 в 16:42

Rus-Kira
в дурацкой какой-то точке..
`log_(2//3)(6)` :D:D
URL
17.07.2011 в 16:43

Rus-Kira
С помощью производной решал или с помощью неравенства Коши?
Ужас ужас, неравенство Коши, конечно =) Я когда дорешал, увидел как девочка с шоколадкой как то графически пыталась решить )) Ужаснулся)
URL
17.07.2011 в 16:44

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Ага.
URL
17.07.2011 в 16:44

Rus-Kira
Меня вот эта дурацкая точка напрягала немного, потому что везде ответы красивые были, а тут такое чудо =)
URL
17.07.2011 в 17:00

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Ну, там и с помощью производной нормально получается. Если вводить замену `(3/2)^x=t`
==
В № 8 вроде точка (-1/2, - 1/12)
URL
17.07.2011 в 17:03

Rus-Kira
Аа, точно, да) Ну я бы все равно не пользовался производной - предпочтение ж альтернативным решениям дают

Да, у меня так же)
URL
17.07.2011 в 17:14

Новый гость
Легко на самом деле выйти из дома в лес математики, но лишь немногие смогли оттуда вернуться. Гуго Штейнгауз
А как №7 решается?
URL
17.07.2011 в 17:14

Rus-Kira
Координатами в две строки
Центр первой сферы `O_1(1,1,1)`
Центр второй сферы `O_2(R,R,1-R)`

`2(R-1)^2+R^2=(R+1)^2`
URL
17.07.2011 в 17:48

Гость
А подскажите пожалуйста. Решение 7 задачи.Только условие немного другое.
"В коробку имеющую форму куба со стороной 8 поместили два шара. Первый шар касается двух боковых граней и основания и его радиус 2, второй шар, касается двух других боковых граней и первого шара и его радиус 3. Найти высоту от основания коробки до центра второго шара."

А вот решение устно.
В своей стереометрической задаче.я воспользовался координатами. Нарисовал рисунок. за начало координат выбрал правую тройку координат.Потом один шарик в углу же и его радиус есть. Сразу его координаты центра записал. Для второго две координаты известны у него ибо он касается граней других. одну координату за х взял. так как они касаются значит расстояние между центрами будет = 5. Ну дальше формула расстояния между двумя точками. получил квадратное.два корня один отрицательный, убрал. Другой положительный оставил. Ответ 2+ кв.корень из 7

Вот координаты с рисунком.
forum.postupim.ru/_fr/7/3148605.jpg
URL
17.07.2011 в 18:05

Rus-Kira
Ответ 2+ кв.корень из 7
Верно
URL
17.07.2011 в 18:12

Гость
Rus-Kira, ой спасибо большое =))) Обрадовали =)))
URL
17.07.2011 в 18:51

Решите систему уравнений:
Может, неравенств? -)
URL
17.07.2011 в 18:52

Rus-Kira
_nobody, да, не заметил, спасибо
URL
17.07.2011 в 21:06

FirstAID
Как 4-ое делать ?
URL
17.07.2011 в 21:11

Rus-Kira
Метод промежутков - универсальный способ
URL
17.07.2011 в 21:17

FirstAID
Как от корней избавиться ?
URL
17.07.2011 в 21:23

Гость
Расскажите пожалуйста, как 6е через неравенство Коши решать?
URL
17.07.2011 в 21:25

Rus-Kira
Поделите числитель и знаменатель на `6^x` и для `9*(3/2)^x` и `(1/4)*(2/3)^x` примените неравенство
URL
17.07.2011 в 21:33

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
FirstAID Как от корней избавиться ?
А зачем от них избавляться.?
Можно перенести 1, привести к общему знаменателю и далее решать неравенство обобщенным методом интервалов
URL
17.07.2011 в 21:39

Гость
Эм... Я не понял =(
Поделили, получили `1/(9*(3/2)^x+(1/4)*(2/3)^x+1)`
Как дальше может помочь неравенство м/у среднеарифметическим и среднегеометрическим?
URL
17.07.2011 в 21:39

Гость
Объясните, пожалуйста, как решать пятую и восьмую задачу.
Можно не очень подробно, только основные идеи.
Спасибо большое!
URL
17.07.2011 в 22:03

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
№ 5

D является точкой пересечения медиан. Поэтому зная CD, мы можем найти DF и CF
QP является средней линией в треугольнике АВС, поэтому
1)Е-середина СF, а потому легко находятся CE и ED, 2) AB=2PQ (потому найдя PQ, найдем и AB)
Далее надо показать, что QE=EP. Тогда обозначив QE=EP=x и используя свойство хорд, пересекающихся в одной точке, получаем `x^2=DE*EC`
отсюда находим `x=3/2`, тогда `QP=3`, `AB=6`
URL
17.07.2011 в 22:13

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Поделили, получили `1/(9*(3/2)^x+(1/4)*(2/3)^x+1)`
Как дальше может помочь неравенство м/у среднеарифметическим и среднегеометрическим?
Во-первых, при решении задачи надо было обязательно сказать, что 9*(3/2)^x и(1/4)*(2/3)^x, а также знаменатель положительны
Далее для положительных (даже неотрицательных) `a` и `b` имеем

`a+b >=2*sqrt(ab)`
Причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда `a=b`
В нашем случае
`a=9*(3/2)^x`, `b=(1/4)*(2/3)^x`, `ab=9/4`
Имеем
`9*(3/2)^x+(1/4)*(2/3)^x>=2*3/2`
`9*(3/2)^x+(1/4)*(2/3)^x>=3`
(при этом знак равенства , а значит, и наименьшее значение суммы достигается при `9*(3/2)^x=(1/4)*(2/3)^x`
`9*(3/2)^x+(1/4)*(2/3)^x+1>=4`
Так как выражения слева и справа положительны, то по свойствам числовых неравенств
`1/(9*(3/2)^x+(1/4)*(2/3)^x+1) <=1/4`, то есть наибольшее значение дроби равно `1/4` и достигается при х, которое можно найти, решив уравнение `9*(3/2)^x=(1/4)*(2/3)^x`
URL