"Покори Воробьёвы горы" Архангельск 2011 год

[FirstAID]

5. Рассматриваются плоские сечения правильной пирамиды SABCD параллельные боковому ребру SB и диагонали основания AC, в которые можно вписать окружность. Какие значения может принимать радиус этих окружностей, если AC = 1, cos∠SBD = ` 2/3` ?
В ответе : ` 0 < r<= 1/6` ; ` r = 1/3`
Это тоесть надо найти какие треугольники будут образовываться при параллельном переносе прямой AC по основанию ABCD и при переносе точки М ( OM||BS) по отрезку SD и , следовательно , какие окружности ( т.е с какими они радиусами ) могут получиться . Верно ?
( рисунок не добавлялся . Пришлось его изуродовать )

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[VEk]

Треугольники в сечении получаются тогда, когда основание пересекается по лини параллельной AC и пересекающей сегмент OD (начиная от самой диагонали). Но есть еще ( судя по ответу) пятиугольник в который вписывается окружность. Попробуйте найти его.

[FirstAID]

Но есть еще ( судя по ответу) пятиугольник в который вписывается окружность

VEk Разве он там один ? Там , по-моему , все пятиугольники кроме этого случая ?

[FirstAID]

Скорее всего там не во все можно вписать окружность

[VEk]

Пятиугольников и треугольников в сечении получается бесконечно много. Но (судя по ответу) только в один можно вписать окружность. рассмотрите, например сечение, пересечкающее основание по прямой сколь угодно близкой к AC ? но пересекающей основание на интервале BO. Там такие маленькие 2 стороны, что окружность не вписывается (не касается этих сторон при касании с тремя остальными, которые побольше.

[FirstAID]

а как вписать окружность в пятиугольник ?(есть какое-нибудь свойство кроме биссектрис ?)

[VEk]

Не знаю. Надо думать.

[FirstAID]

По-моему, три стороны пятиугольника ,которые побольше должны быть равны друг другу .

[Гость]

Помогите кто-нибудь дорешать задачу