ЕГЭ Запад

[Г ость]

ЕГЭ- 2011 по математике (6 июня 2011 года)
Западный регион

КИМ 92560

B1. Теплоход рассчитан на 950 пассажиров и 110 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и членов команды?

В2. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период.



B3. Найдите корень уравнения `sqrt(56-2x)=6`

B4. В треугольнике ABC AD - биссектриса, угол C равен `101^@`, угол CAD равен `7^@`. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.



B5. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания трех городах России (по данным на начало 2010 года).



Определите в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 кг сыра, 1 кг говядины, 3 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

B6. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.



B7. Найдите cos a, если sin a = `(2sqrt(6))/5` и `a in (pi/2;pi)`.

B8. На рисунке изображен график функции `y=f(x)` и касательная к нему в точке с абсциссой `x_0`. Найдите значение производной функции f(x) в точке `x_0`.



B9. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого и высота равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

B10. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону `m(t)=m_0*2^(-t/T)`, где `m_0` (мг)- начальная масса изотопа, `t`(мин) - время, прошедшее от начального момента, `T`(мин.)- период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа `m_0=100` мг. Период его полураспада `T=5` мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

B11. Найдите наибольшее значение функции `y=x^3-9x^2+24x-7` на отрезке [-1;3].

B12. Из пункта А в пункт В расстояние между которыми 50 км одновременно выехали мотоциклист и велосипедист.известно что за 1 час мотоциклист проезжает на 30 км больше чем велосипедист.определите скорость велосипедиста если известно что он прибыл в пункт В на 1,5 часа позже мотоциклиста.

C1. Решите уравнение `(4cos^2(x)-4cosx-3)/sqrt(-6sinx)=0

C2. В правильной шестиугольной призме `ADCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1`, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой `C_1D_1`

C3. Решите неравенство `11log_9(x^2-12x+27) le 12+log_9((x-9)^11)/(x-3)`

C4. Прямая перпендикулярна боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности если отрезок прямой, заключён внутри треугольника равен 20, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно (13/10).

C5. Найдите положительные значения а, при каждом из которых система
`{((|x|-5)^2+(y-4)^2=9),((x+2)^2+y^2=a^2):}`
имеет единств. решение.

C6. На доске написано более 30, но менее 40 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, а среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?


Часть С одного из вариантов (назовем его условно вариант 2)
С1.
Решить уравнение: `(4cos^2(x)+12cos(x)+5)sqrt(5sinx)=0`
C2.
В правильной шестиугольной призме `ADCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1`, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки `C` до прямой `A_1B_1`
C3.
Решить неравенство:
`7*log_12(x^2-13x+42)<=8+log_12(x-7)^7/(x-6)`
C4.
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов равно 3/4
С5.
Найдите все положительные значения `a`, при каждом из которых система
`{((|x|-5)^2+(y-3)^2=9),((x-1)^2+y^2=a^2):}`
имеет единственное решение.
С6
На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, а среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

---

В комментариях будут выложены ряд других вариантов и решения заданий части С некоторых из них

Решения от составителей и критерии оценивания (зеркало rghost.ru/13100811)

@темы: ЕГЭ

Comments

[Robot]

Для других вариантов
Бронь

[Robot]

С1. (вариант2)
Решить уравнение: `(4cos^2(x)+12cos(x)+5)*sqrt(5sinx)=0`

С2. (вариант 2)
В правильной шестиугольной призме `ADCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1`, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки `C` до прямой `A_1B_1`

Решение.
Прямая `CF` параллельна прямой `A_1B_1`, поэтому все точки этой прямой находятся на одинаковом расстоянии от прямой `A_1B_1`, следовательно, расстояние от С до `A_1B_1` равно расстоянию от О до этой прямой. Проведем `OP_|_AB` и `PK||B B_1`. Соединим О и K. Так как `B B_1` перпендикуляр к плоскости основания, то и `KP` тоже будет перпендикуляром к ней, а потому `OP` -проекция наклонной `OK`, а тогда по теореме о трех перпендикулярах `OK_|AB`, а тогда в силу параллельности `AB` и `A_1B_1` `OK_|_A_1B_1`
Найдем ОК из прямоугольного треугольника `KPO`: `PK=1`, `OP=sqrt(3)/2` (из прямоугольного треугольника `OPB`), откуда `OK=sqrt(7)/2`
Ответ: `sqrt(7)/2`

[VEk]

Вот краткие решения 2-х вариантов задачи С6.

С6 (3вар). На доске написано более 36,но менее 48целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, а среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -12.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Ответ: а) 42; б) больше отрицательных; в) 15
Указание. Пусть на доске написано `N` чисел, из них `k` положительных, и `(N-k)`отрицательных. Тогда получаем уравнение: `-5N=6k-12(N-k)` или `7N=18k`. Так как числа 7 и 18 взаимно просты, то `N` делится на 18. Однако среди чисел от 37 до 47 таких чисел нет. Значит, кроме положительных и отрицательных чисел на доске есть нули, хотя бы один.
Пусть на доске написано `N` чисел, из них `k` положительных, `m` отрицательных, и остальные нули. Тогда получаем уравнение `-5N=6k-12m+(N-k-m)*0`, откуда `5N=6(2m-k)`. Так как числа 5 и 6 взаимно просты, то число `N` делится на 6. Единственное число из указанного диапазона, делящееся на 6, – это 42. Значит на доске написано 42 числа.
Тогда получаем: `2m-k=35`. `2m` - число четное, поэтому число `k` – нечетное, `k=2t-1, t in ZZ, t>0`. Подставляя вместо `k` указанную формулу, получаем: `m-t=17`.
Далее, `t=m-17, k=2m-35 ge 1`, откуда `m ge 18`. И наконец, `k+m=3m-35 lt 42` (хотя бы один нуль на доске есть), следовательно, `m le 25` и `k le 15`. Значит, отрицательных чисел на доске больше.
Из указанных оценок получается, что максимальное количество положительных чисел на доске рано 15. Приведем пример такого набора: 15 чисел по 6, 25 чисел по -12 и два нуля.

С6 (2вар). На доске написано более 42,но менее 56целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, а среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Ответ: а) 49; б) больше положительных; в) 22
Указание. Пусть на доске написано `N` чисел, из них `k` положительных, и `(N-k)`отрицательных. Тогда получаем уравнение: `4N=14k-7(N-k)` или `11N=21k`. Так как числа 11 и 21 взаимно просты, то `N` делится на 21. Однако среди чисел от 43 до 55 таких чисел нет. Значит, кроме положительных и отрицательных чисел на доске есть нули, хотя бы один.
Пусть на доске написано `N` чисел, из них `k` положительных, `m` отрицательных, и остальные нули. Тогда получаем уравнение `4N=14k-7m+(N-k-m)*0`, откуда `4N=7(2k-m)`. Так как числа 4 и 7 взаимно просты, то число `N` делится на 7. Единственное число из указанного диапазона, делящееся на 7, – это 49. Значит на доске написано 49 чисел.
Тогда получаем: `2k-m=28`. `2k` - число четное, поэтому число `m` – четное, `m=2t, t in ZZ, t>0`. Подставляя вместо `m` указанную формулу, получаем: `k-t=14`.
Далее, `t=k-14, m=2k-28 ge 2`, откуда `k ge 15`. И наконец, `k+m=3k-28 lt 49` (хотя бы один нуль на доске есть), следовательно, `k le 25`. Тогда `m le 22` и `k-m=28-k>0`. Значит, положительных чисел на доске больше.
Из указанных оценок получается, что максимальное количество отрицательных чисел на доске равно 22. Приведем пример такого набора: 25 чисел по 14, 22 числа по -7 и два нуля.

PS Приведенные решения можно вычищать. Но это дело времени.

[Robot]

С4
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов равно 3/4
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника АС и ВС, причем АС:ВС=3:4. Положим АС=3x, ВС=4x, тогда гипотенуза АВ=5x. Возможны два случая
1 случай

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, пересекает катет ВС (больший катет). Пусть К- точка ее пересечения с ВС, а Р - точка пересечения с гипотенузой. По условию КР=6. Так как треугольники КРВ и АСВ подобны (доказать), то КР:РВ=3:4, откуда РВ=8, а тогда ВК=10. Отсюда имеем, что СК=4х-10, АР=5х-8.
Так как в четырехугольник АСКР можно вписать окружность, то КР+АС=СК+АР или 6+3x=4x-10+5х-8, откуда х=4, АС=12, ВС=16, АВ =20, КС=6, АР=12
Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой `S=pr`
Полупериметр четырехугольника КРАС равен `p=18`
Площадь четырехугольника найдем как разность площадей треугольников АВс и КРВ: `S=96-24=72`
Отсюда `r=4`
2 случай

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, пересекает катет АС (меньший катет). Пусть опять же К- точка ее пересечения с АС, а Р - точка пересечения с гипотенузой. По условию КР=6. Так как треугольники КРА и ВСА подобны (доказать), то АР:КР=3:4, откуда АР=4,5, а тогда АК=7,5. Отсюда имеем, что СК=3х-7,5, BР=5х-4,5.
Так как в четырехугольник BСКР можно вписать окружность, то КР+BС=СК+BР или 6+4x=3x-7,5+5х-4,5, откуда х=4,5, АС=13,5, ВС=18, АВ =22,5, CK=6, BР=18
Для нахождения радиуса вписанной окружности опять же воспользуемся формулой `S=pr`
Полупериметр четрыехугольника КРВС равен р=24
Площадь четырехугольника найдем как разность площадей треугольников АВС и КРА: `S=1/2*18*13,5-1/2*6*4,5=108`
Отсюда `r=4,5`
Ответ: 4 и 4,5

upd 7.06.2011
Конец решения в каждом случае нерационален
Вписанная в четырехугольник окружность одновременно является окружностью, вписанной в исходный треугольник (поскольку касается всех его сторон)
Площадь исходного треугольника равна `S(ABC) =(3x*4x)/2=6x^2`
Полупериметр треугольника `p_(ABC)=(3x+4x+5x)/2=6x`
Поэтому радиус вписанной окружности `r=S/p=x`
Как только мы нашли `x`, то сразу получаем ответ и для `r`
Еще один способ нахождения радиуса нужной окружности
Эта окружность является вневписанной для для отсекаемого маленького треугольника. А потому можно использовать формулу для нахождения радиуса вневписанной окружности: `r=2S/(a+b-c)`, где S площадь треугольника, для которого окружность является вневписанной, `c`- длина той стороны, которой эта окружность касается, `a,b` - две другие стороны.
В первом случае отсекаемый маленький треугольник имеет стороны 6,8,10, окружность касается стороны 6, поэтому `r=(2*(1/2)*6*8)/12=4`. Во втором случае треугольник АРК имеет стороны 6, 4,5 и 7,5, окружность касается стороны длиной 6, а потому `r=(2*(1/2)*4,5*6)/6=4,5`

[к.черный]

C3.
Решить неравенство:
`7*log_12(x^2-13x+42)<=8+log_12(x-7)^7/(x-6)`

Решение неравенства ищем на множестве
`{(x^2-13x+42>0),((x-7)^7/(x-6)>0):} iff x in (-oo; 6)uu(7; +oo)`

Преобразуем исходное неравенство:
`log_12 (x-6)^7(x-7)^7-log_12 (x-7)^7/(x-6)<=8`
`log_12 (x-6)^8<=8`
`log_12 |x-6|<=1`
`|x-6|<=12`
`-6<=x<=18`
С учетом ограничений: `x in [-6; 6)uu(7; 18]`

[к.черный]

C3.
Решите неравенство `11log_9(x^2-12x+27) le 12+log_9((x-9)^11)/(x-3)`

Решение неравенства ищем на множестве
`{(x^2-12x+27>0),((x-9)^7/(x-3)>0):} iff x in (-oo; 3)uu(9; +oo)`

Преобразуем исходное неравенство:
`log_9 (x-3)^11(x-9)^11-log_9 (x-9)^11/(x-3)<=12`
`log_9 (x-3)^12<=12`
`log_9 |x-3|<=1`
`|x-3|<=9`
`-6<=x<=12`
С учетом ограничений: `x in [-6; 3)uu(9; 12]`

[Ришат]

А эти задания будут разбираться? Интересует условный 2 вариант, так как точно такая же часть С была))
хочется заранее узнать и посмотреть ошибки))

[к.черный]

С5.
Найдите все положительные значения `a`, при каждом из которых система
`{((|x|-5)^2+(y-3)^2=9),((x-1)^2+y^2=a^2):}`
имеет единственное решение.

Решение. Графиком первого уравнения являются две окружности с центрами в точках `(5; 3)` и `(-5; 3)` и радиусами по 3.
Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке `(1; 0)` и радиусом `a` (т.к. по условию a положительные).
Для выполнения условия задачи вторая окружность должна касаться одной из первых в одной точке, при этом окружности, расположенной в первой четверти, она касается внешним образом, а окружности, расположенной во второй четверти, она касается внутренним образом.
Внешнее касание: расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов. Расстояние между точками `(5; 3)` и `(1; 0)` равно 5.
Тогда `5=3+a`
`a=2`
Внутреннее касание: расстояние между центрами равно разности радиусов. Расстояние между точками `(-5; 3)` и `(1; 0)` равно `3sqrt5`
Тогда `3sqrt5=a-3`
`a=3+3sqrt5`
Графическая иллюстрация:

Ответ: `2; 3+3sqrt5`

Прошу прощения, вначале решение не соответствовало условию (или наоборот )

[Гость]

А почему радиус окружности равен а, а не модуль числа а?

[к.черный]

Гость
прочитайте еще раз задание.

[Диана Шипилова]

Гость
Потому что по условию a — положительное число.

[Гость]

C5 Найдите положительные значения а, при каждом из которых система

[Rus-Kira]

к.черный, а почему красненькая окружность центр имеет не (-2;0)??? понял) вариант другой

[Диана Шипилова]

Rus-Kira
Похоже, там просто опечатка в условии.

[Rus-Kira]

Обидно, я как то, задумавшись об ОДЗ, поспешил модуль снять в С3 в конце...
А в С5 хоть убейте, но не видел слова "положительные"... Жаль, а так хорошо все шло...

[AlexaGri]

Блииин, я так и знала, что С4 решается элементарно, так и знала Т_Т но взялась сразу за два варианта, дошла до середины и запуталась
Я пень.

[Гость]

Может, кто-нибудь покажет как решилось вот такое задание с4?
прямая перпендикулярна боковой стороне равнобедренного треугольника,отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность.найдите радиус окружности,если отрезок этой прямой,заключенный внутри треугольника, равен 24 ,а синус угла при основании равен 4/5

[Robot]

Гость
Чуть попозже напишем

[Гость]

Прямая перпендикулярна боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности если отрезок прямой, заключён внутри треугольника равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 5/6

А эту задачу Вы не могли бы также решить?У меня ответы 4,5 и 5,75.Но я не совсем уверена.Хотелось бы свериться.Спасибо.

[Гость]

Может, кто-нибудь покажет как решилось вот такое задание с4?
прямая перпендикулярна боковой стороне равнобедренного треугольника,отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность.найдите радиус окружности,если отрезок этой прямой,заключенный внутри треугольника, равен 24 ,а синус угла при основании равен 4/5

У меня получилось 21 и 18

[Robot]

Гости, я там подписала более рациональное окончание решения задачи для прямоугольного треугольника.
Его и для равнобедренных можно использовать

Найдите радиус окружности если отрезок прямой, заключён внутри треугольника равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 5/6

У меня что-то получается 4,5 и 5,25 (но может и я где-то ошиблась. расскажите вкратце, как вы делали второй случай)

[Robot]

айдите радиус окружности,если отрезок этой прямой,заключенный внутри треугольника, равен 24 ,а синус угла при основании равен 4/5
У меня получилось 21 и 18

Да, у меня такой же ответ

[Гость]

У меня что-то получается 4,5 и 5,25 (но может и я где-то ошиблась. расскажите вкратце, как вы делали второй случай)
Да,у меня получилось также!!! (не 5,75)Просто после экзамена я уже не перерешивала и подзабыла свой ответ.А решала я через формулу радиуса вневписанной окружности.S=(p-a)r.

[Robot]

Да, я уже выше приписала этот способ
Но только я не уверена, что без обоснования эту формулу можно использовать

[Гость]

Эта формула есть у Р.К.Гордина в его пособии по подготовке к ЕГЭ-2011(стр.83).Я думаю,если занизят баллы,можно на апелляции сослаться будет на этот сборник))

[VEk]

Эта формула выводится в 2 секунды.

[Robot]

Ну, ладно, ладно, убедили=)

[Гость]

на часть В то есть ответы?

[VEk]

А что, очень надо?

[Rus-Kira]

А я формулу доказал в работе на всякий случай =)