Ломоносов 2011. Очный тур

[Rus-Kira]

1. Имеются 2 поезда, в каждом из которых 15 одинаковых вагонов. Оба поезда движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями. Известно, что через 28 секунд после того, как их первые вагоны встретились, Саша, сидящий в 3 вагоне одного поезда, поравнялся с Валерой, сидящем в другом поезде, а еще через 32 секунды последние вагоны поездов разминулись. В каком вагоне сидел Валера.
2. Найти площадь фигуры, заданной условиями:
`sqrt(1-x)+2x>0`
`-1-x^2<=y<=2+sqrt(x)`

3. Из сферы какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную четырехугольную пирамиду с длиной ребра основания 14 и апофемой 12?
4. Решить неравенство
`log_5(5x^2+2*x)*log_5(5+2/x)>log_5(5x^2)`
5. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке K. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке L, причем `AL=10. (AK)/(KB)=2/5`
Найти BL.
6. При каких значениях a,b и c множество действительных корней уравнения `x^5+2x^4+ax^2+bx=c
состоит в точности из чисел -1 и 1?
7. Какое минимальное количество карандашей (одинаковое) нужно положить в каждую из 6 коробок так, чтобы в любых 4 коробках было 26 цветов (цвета определены). Карандашей достаточное количество.
8. Функция такова, что сумма корней уравнения
`f(sinx)=0` на отрезке `[(3pi)/2;2pi]` равна `33pi`
а сумма корней ур-я
`f(cosx)=0` на отрезке `[pi;(3pi)/2]` равна `23pi`.
Какова сумма корней второго ур-я на отр-ке `[pi/2;pi]`

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[VEk]

Сегодня была?

[Rus-Kira]

Да, сегодня

[Rus-Kira]

Расстроило меня то, что в 3 оказывается что сфера не описана должна быть, т.к. там в сечении треугольник тупоугольный, а получается радиус сферы, равный половине диагонали основания в итоге

[VEk]

Rus-Kira Сейчас разгребу вопросы, которые более срочные, и буду смотреть эти задачи. Спасибо, что делитесь с нами задачами.

[Rus-Kira]

Всегда пожалуйста. Самому интересно правильные решения узнать) Я сам 7 решил вроде бы, но вот ошибку одну уже нашел((

[VEk]

По сфере да. На эту уловку многие попадаются, считают радиус описанной окружности. У нас в районке в этом году такое же было. Так проверять геометрию было очень легко.

[Rus-Kira]

обидно до нельзя... Еще обидно, что меня не удивил ответ неудачный, который в итоге у меня получился..

[VEk]

Понимаю, что очень обидно.
Конечно, возможно ошибаюсь, но
2) `11/3-pi/4`
4) `((1-sqrt(2))/5;-2/5) uu ((sqrt(26)-1)/5;+oo)`
6) `a=-6, b=-1, с=-4`

[Rus-Kira]

2) 4 у меня было
4) в левой части так же, а в правой уже не помню что было, но там конец включался вроде как... Там `(-1-sqrt(2))/5` вроде
6) так же

[Гость]

По сфере да. На эту уловку многие попадаются, считают радиус описанной окружности.

Вообще удивительно, что пирамиду можно вырезать из сферы (т.е. поверхности), а не из шара (тела)

[Robot]

2)
у меня тоже 4 (решала с помощью интегралов)

[Robot]

Rus-Kira
Ой, ошиблась, не 4, а три. Считать до трех не умею=(
область определения [0,1]
первое неравенство выполняется при всех х из области определения
Тогда берем интеграл
`int_0^1(1+sqrt(x)+1+x^2)dx=(2x+2/3x^(3/2)+x^3/3)|_0^1=2+2/3+1/3=3`
При измененном условии
`int_0^1(2+sqrt(x)+1+x^2)dx=(2x+2/3x^(3/2)+x^3/3)|_0^1=3+2/3+1/3=4`

[VEk]

Вот -вот. А я внизу окружность вместо параболы увидел.

[Rus-Kira]

Почему не 4 не пойму? И зачем там интегралы? Там по кусочкам прямоугольник же собирается...

[Rus-Kira]

Хотя не, три правильно... Интересно, то ли я условие преепутал и там справа не 1 а 2, то ли я ошибся на олимпиаде...

[VEk]

Да, собирается, но прямоугольник размерами 3х1. Верхняя часть с кривой перемещается вниз с поворотом на 90 по часовой стрелке.

[Rus-Kira]

ТОЧНО! Там `2+sqrt(x)` Извиняюсь)

[FirstAID]

Rus-Kira а это очный тур ?

[Rus-Kira]

Да, очный. Сегодня прошел

[Robot]

Если `2+sqrt(x)`, то 4.
Не знаю, мне показалось, что проще так - через интегралы. Тем более уже 11 класс.
В шестой у меня такой же ответ
Легкая задача

[VEk]

Геометрия. Вот разбирали мы эту задачу, там тоже было внутренне касание окружностей, касательная к малой окружности и `KL` должна была быть биссектрисой угла `AKB`. Нашел: eek.diary.ru/p106575773.htm. Посмотрите, может что-то и подскажет.

[Rus-Kira]

6 простая, да.

Я хотел интегралами, но че т побоялся на олимпиаде их в ход пускать... Так уж пускай будет подумал)

[Rus-Kira]

С планиметрией я как то засел сильно, но потом доказалось все и решилось)))

[Rus-Kira]

У меня в 8ой `13pi` получилось, но я не перерешивал

[Robot]

У меня в 4 получилось
`((-1-sqrt(2))/5;-2/5) uu ((sqrt(2)-1)/5;+oo)`
(но счетные способности на нуле
Да еще отвлекают)

[Rus-Kira]

Я похоже в 4-ом с множествами наортачил и неправильно объединял... Уже не пойму где я ошибся, а где нет((

[Robot]

В № 5 с учетом того факта, что говорится по ссылке (доказано двумя способами) `KL`- биссектриса угла `AKB`
Тогда по свойству биссектрисы Al/BL=2/5
BL=25
Но сам факт док-ва, того, что это биссектриса, - да...

[Rus-Kira]

BL=25

Так же)

[VEk]

У меня получается, что Валера ехал в 11 вагоне (решал вчера вечером перед сном), но , возможно, за счет некоторого несоответствия модели, может и в 12.

[Гость]

А как у вас в восьмой могло 13 пи получиться? это же сумма корней. мне кажется там в районе 45-46 должно быть