Диагностическая работа от МИОО по математике от 09 декабря 2010 года

[Robot]

Диагностическая работа от МИОО по математике от 09 декабря 2010 года
Условия можно скачать на сайте А.А.Ларина или же одним архивом

Условия заданий части С (в комментах решения некоторых из них):
С1 (варианты 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15)
Решите уравнение `(2sinx-1)(sqrt(-cosx)+1)=0`
С1 варианты (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)
Решите уравнение `(2cosx+1)(sqrt(-sinx)+1)=0`
===========
С2 (варианты 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15)
Дан куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка `BC_1` до плоскости `AB_1D_1`
C2 (варианты 2, 4, 6, 8,10,12,14, 16)
Дан куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`. Найдите угол между плоскостями `AB_1D_1` и `ACD_1`
===========
С3 (вариант 1, 3, 9, 11)
Решить неравенство:
`(2x-3-5/x)(14/(x+1)+2+(sqrt(-1-2x))^2)>=0`
С3 (вариант 2, 4, 10, 12)
Решить неравенство:
`(2x+1-6/x)(28/(x+2)-2+(sqrt(-3-2x))^2)>=0`
С3 (вариант 5, 7, 13,15)
Решить неравенство:
`log_3(x^2+7x+10)+log_(1/3)((x+5)/9)+1>=log_3(3x^2+16x+20)`
С3 (вариант 6,8,14,16)
Решить неравенство:
`log_2(x^2+4x)+log_(1/2)(x/4)+2>=log_2(x^2+3x-4)`
=====
С4 (вариант 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15)
Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка С, а на другой - точки A и В, причем треугольник AВС - остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AВС.
С4 (вариант 2, 4, 6, 8, 10,12, 14, 16)
Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка С, а на другой - точки A и В, причем треугольник AВС - остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AВС.
=======
С5 (вариант 1,3, 5, 7, 9, 11,13, 15)
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых система
`{(y^2+xy-4x-9y+20=0),(y=ax+1),(x > 2):}
имеет единственное решение
С5 (вариант 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых система
`{(y^2+xy-7x-14y+49=0),(y=ax+1),(x >= 3):}
имеет единственное решение
=======
С6 (вариант 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15)
Каждое из чисел 2, 3, ... 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
С6 (вариант 2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16)
Найдите все тройки натуральных чисел `k`, `m`, `n`, удовлетворяющие уравнению
`2 * k! =m!-2 * n!`
============

Видео от egetrener

Ответы к части В

Официальные критерии от А.А.Ларина

@темы: Тренировочные/диагностические работы, ЕГЭ

Comments

[Robot]

С1 (варианты 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15)
Решите уравнение
`(2sinx-1)(sqrt(-cosx)+1)=0`
Данное уравнение равносильно следующей системе

Так как второе уравнение совокупности решений не имеет, то имеем систему
`{(cosx<=0),(sinx=1/2.):}`
Решениями уравнения `sinx=1/2` являются две серии: `x=pi/6+2*pi*k` и `x=5pi/6+2*pi*k`, где `k in Z`
Условию `cosx<=0` удовлетворяет только вторая серия.
Ответ: `x=5pi/6+2*pi*k`,`k in Z`

[Robot]

С2 (варианты 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15)
Дан куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка `BC_1` до плоскости `AB_1D_1`
Решение координатным методом.

Пусть начало системы координат совпадает с точкой D, а оси ОХ, OY, OZ направлены как на рисунке.
Тогда `A(1;0;0)`, `D_1(0;0;1)`, `B_1(1;1;1)`, `E(1/2;1;1/2)`
Уравнение плоскости `AB_1D_1`: `x-y+z-1=0`
По формуле расстояния от точки до плоскости
`p(E,AB_1D_1)=|1/2-1+1/2-1|/sqrt(3)=1/sqrt(3)`
Ответ: `1/sqrt(3)`

[Robot]

С3 (вариант 5, 7, 13,15)
Решить неравенство:
`log_3(x^2+7x+10)+log_(1/3)((x+5)/9)+1>=log_3(3x^2+16x+20)`

[Robot]

С4 (вариант 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15)
Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка С, а на другой - точки A и В. причем треугольник AВС - остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AВС.
1 случай.

АВ=АС и так как треугольник остроугольный равнобедренный, то основание высоты CD, опущенной из точки С на АВ, лежит на отрезке АВ. СD=12
Воспользуемся формулой `r=S/p`, где S- площадь треугольника, а р - его полупериметр.
`S=1/2*12*13=78`.
Найдем полупериметр. По теореме Пифагора `AD=5`, `DB=8`, тогда `BC=4sqrt(13)`, откуда `p=13+2sqrt(13))`, а значит, `r=78/(13+2sqrt(13))`
Случай ВА=ВС аналогичен данному.
2 случай

АС=АВ.
По теореме Пифагора `AD=5`, `AB=10`,`S=60`, `p=18`,`r=10/3`
Ответ: `78/(13+2sqrt(13))` или `10/3`

[l Shift->stop->end l]

Пишет  aalleexx:

09.12.2010 в 09:58

С6 (вариант 2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16)
`2k! =m!-2n! -> (m!)/(n!)=(2k!)/n!+2`
Из равенства `m! =2k!+2n!` очевидно, что `m>k` и `m>n`
`(m!)/(n!)=a in N`
Если `k n=2; k=1; -> m! =6 -> m=3`
Если `k>=n`, то `(k!)/(n!)=b in N -> a=2b+2; m! =n!*a=n!(2b+2); k! =n!*b`
`(m!)/(k!)=(2b+2)/b=2+2/b in N -> b=1; 2`
`b=1; -> a=4; n=k; m! =4n! -> m=4; n=3; k=3`
`b=2; -> a=6; k=2n; m! =6n!`
`m=6; n=5; k=10` не подходит, т.к. противоречит `m>k`
`m=3; n=1; k=2` подходит

Ответ:
`m=3; n=1; k=2`
`m=4; n=3; k=3`
`m=3; n=2; k=1`

URL комментария http://alexlarin.com/viewtopic.php?p=5311#p5311

[VEk]

Спасибо! Очень интересно. Посмотрим.

[aalleexx]

Официальные критерии

[VEk]

aalleexx Спасибо!

[Robot]

aalleexx
Спасибо большое!
VEk
В офиц. критериях способ решения С5 совпадает с Вашим.

[VEk]

Не смотрел еще. Просто закачал себе.

b.b

[Гость]

а сколько надо было сделать заданий из части В на положительную оценку?

[Гость]

12 балов на 4
5 балов на 3

[aalleexx]

Buraindoreivun , спасибо!

[aalleexx]

Видео от egetrener

[Гость]

ааа можно такой вопрос в ответах к части В написано что в 5 варианте в задании В6 ответ 35, но как он получился при всех методах расчета 35 не получается никак. Не могли бы вы посмотреть, может я ошибаюсь. И в В9 тоже 54 не может быть, потому что 54 площадь полного куба без вырезанного кубика.

[Гость]

Ойй... Извените все поняла как решается.

[Robot]

aalleexx , Егэ-тренер
Спасибо большое!

[Гость]

а у вас нет ответов/ решения на задания С вариантов "без логарифмов"? (четные). или я просто не увидела их тут?

[Robot]

Гость
Есть ссылки на критерии - внизу топика

[Новый гость]

Нашёл у себя вариант диагностической работы, но дата там не написана, поэтому не могу найти критерии к ней. Может быть, Вы знаете? Там С6 такое:
Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения n , при которых уравнение `(x^2+y^2)^2010=x^n*y^n` имеет натуральные решения.

[Robot]

eek.diary.ru/p107847395.htm
webmath.exponenta.ru/dnu/dia/c6/d1.html

[Гость]

Спам