Найти inf x_n, sup x_n и частичные пределы последовательности

[H1tman]

Итак,`TZ` дана последовательность:

`x_n=(-1)^(n-1)(2+3/n)`

Требуется найти inf x_n, sup x_n, а также верхний и нижний пределы. [[/TZ]]
Хочу разобраться по порядку как следовать по пути к решению. Какую теорию повторить, открыть, прочесть (Укажите, пожалуйста).
Далее как эту теорию применить (каков метод или в чем суть). Буду пробовать сам.

После того как, с вашей помощью (очень надеюсь на вас), разберу по косточкам данный номер, думаю смогу решить по такому же заданию и для других последовательностей. До завтра =)

запись создана: 26.10.2010 в 02:38

@темы: Математический анализ

Comments

[VEk]

Лучше всего, если вы скачаете с наших книжных полок пособие Марона Дифф. исчисление в примерах и задачах (см. eek.diary.ru/p47594145.htm), или задачник и пособие Виленкина для заочников пединститута (см.eek.diary.ru/p47754007.htm). Там на примерах все очень подробно объясняется.
Для справки `inf x_n=-3.5`, `sup x_n=5`, пределы равны `pm2`

[H1tman]

VEk спасибо за литературу. Но примеров на нахождения частичных пределов я не нашел в этих книгах.

[Heor]

H1tman
Вам дали литературу. Вы там должны были прочесть определения. Сформулируйте определение для `inf x_n`

[_ТошА_]

Чтобы найти частичные пределы, надо выделять подпоследовательности.

[VEk]

H1tman Действительно, частичных пределов там в примерах не оказалось. Но давайте вспомним, а как найти частичный предел. Надо взять некоторые подпоследовательности исходной последовательности и найти их пределы. Такие подпоследовательности (с конечным пределом) всегда существуют, если последовательность ограничена.
Вот в Вашей последовательности давайте рассмотрим подпоследовательность нечетных членов: `n= 2k-1, k in N`. Получаем `x_(2k-1)=(-1)^(2k-2)*(2+3/(2k-1))`. Если ее слегка преобразовать, то получаем, что `x_(2k-1)=2+3/(2k-1)`, предел этой подпоследовательности, очевидно, равен 2.
Остается построить подпоследовательность, предел которой будет равен `-2`

[H1tman]

Heor
sup x_n - максимальный элемент множества всех верхних граней для ограниченной сверху последовательности.
inf x_n - максимальный элемент множества всех нижних граней для ограниченной снизу последовательности.

[_ТошА_]

Только inf не совсем.

[VEk]

H1tman Лучше было привести определение на языке `epsilon, x_1`

[_ТошА_]

Или ещё более стандартное

[H1tman]

Таак..
sup x_n:

для любого `n in N` следует, что `x_n <= sup x_n` и для любого `epsilon > 0` существует такой номер `N_epsilon`, что `x_N>sup x_n - epsilon`

inf x_n

для любого `n in N` следует, что `x_n >= inf x_n` и для любого `epsilon < 0` существует такой номер `N_epsilon`, что `x_N<inf x_n + epsilon`

[VEk]

H1tman Правильно. С частичным пределом разобрались?

[H1tman]

VEk ага, про верхние и нижние пределы последовательности все понял.

[H1tman]

VEk определения sup x_n и inf x_n есть. Далее что?

[_ТошА_]

H1tman Выделите из вашей последовательности 2 подпоследовательности. Одна - когда индексы n -чётные, а вторая - когда нечётные (обыгрываем -1)

[H1tman]

_ТошА_ так выделили, нашли пределы их. ПОлучили частичные пределы. Как теперь определить sup и inf данной последовательности по определению?

[_ТошА_]

А теперь начинается исследование.
Посмотрите, какие они: возрастающие или убывающие, монотонны или нет. Нужно заметить, что при объединении подпослед., получается вся последовательность.
Понимаете, к чему клоню? Найдите минимальное и макс. значение каждой подпоследовательности, если сразу не понятно что и как, из них выберите максимальное из максимумов - для супремума, минимальное из минимумов - инфиум

[true-devil]

H1tman, может, проще нарисовать на графике точками все члены последовательности? Такое полное ощущение, что мы исследуем объект, не представляя вообще, как он выглядит. Попробуйте отложить `n` по оси абсцисс, а `x_n` по оси ординат. На худой конец, просто выпишите первые 10 (лучше 20) членов последовательности.

[H1tman]

_ТошА_ подпоследовательности будут убывающими. Найдем такой k, при котором значение одной из последовательностей будет максимальным, а значение другой - минимальным. Это k=1. При нем получаем x_1=5=sup x_n и x_2=-3,5. Все так? Только неясен такой момент: почему в данном случае я могу утверрждать, что найдены точные нижняя и верхние грани для последовательности, если они определены для подпоследовательностей? Это следуется из того, как вы сказали,

при объединении подпослед., получается вся последовательность.

Так?

[_ТошА_]

Так?

так

[H1tman]

всем спасибо, разобрался

[true-devil]

_ТошА_ подпоследовательности будут убывающими.

Обе сразу? Нет.

Так? так

-Доктор, меня все игнорируют!
-Следующий!

[_ТошА_]

Да, я проглядел про убывающие, пардон

[H1tman]

true-devil
да, представим. Просто разные значения n поподставляем и получим некую x_n
Сорри за убывающие. Невнимателен. У нас только одна подпосл-ть будет убывающей - (x_2k-1). А так как она убывающая, то точная верхняя грань ее будет определена при минимальном k. Но k не равен 0. То в этому случае k=1. А вторая подпосл-ть будет возрастающей (x_2k). А вот ее инфинум будет определен как раз при минимальном возможном значении k=1. Получили ее инфинум. А данные подпосл-ти объединим и получим нашу исходную посл-ть, для которой все, что требуется уже определили.

Все вроде понял. Теперь все верно?

[true-devil]

Да, конечно, всё верно.

[H1tman]

всем спасибо