Базис-системы вектор-столбцов.

[lidalisi]

Добрый день.

Помогите пожалуйста с решением.

`TZ`Найти бизис системы вектор-столбцов и выразить остальные столбцы через базисные.
3 2 2 1 2
3 2 1 2 3
1 1 1 2 1
2 1 0 0 2
[[/TZ]]
Предварительно изучила аналогичные решения в других топиках. Привела к главной ступенчатой матрице, но что-то она меня смущает. Проверьте плиз
вот что полчилось:
1 0 0 -3 0
0 1 0 6 2
0 0 1 -1 -1
0 0 0 0 0

Что делать дальше не совсем понимаю. Вектор-столбцы это столбы с главными элементами, но как через них выразить остальные? Объясните пожалуйста. Хочу понять принцип, чтоб к другим примерам применять)

@темы: Линейная алгебра

Comments

[Дилетант]

Ну вот, смотрите:
Три первых столбца -- базис.
Четвертый мы по нему раскладываем.
Обозначим базисные столбцы через е1, е2, е3.
Чтобы первый элемент четвертого столбца был равен -3, нам нужно взять е1 и умножить его на -3.
Получим вектор:
-3
0
0
0

Чтобы получить второй элемент, равный 6, надо к -3е1 прибавить 6е2. Получим:
-3
6
0
0

И т.д.

У каждого базисного вектора единица только в одном месте. Она отвечает за одну координату; другие при сложении не портятся.
В итоге должны получиться выражения для е4, е5 как линейные комбинации первых трех векторов:
е4=...
е5=...

[Alidoro]

Попробую объяснить немного с другой стороны.

В данном случае вы фактически решили систему линейных уравнений с ТРЕМЯ неизвестными и ДВУМЯ правыми частями методом Гаусса. Матрица системы это три первых столбца. Остальные два столбца это правые части. Если несколько правых частей для вас непривычная конструкция, считайте, что это несколько систем с одной и той же матрицей системы, но с разными правыми частями. Решение системы это три числа. Они должны быть такими, что умножая первые три столбца на эти три числа и складывая мы получим правую часть. То есть это коэффициенты линейной комбинации первых трех столбцов, которая равна правой части. Таким образом любую правую часть можно выразить через первые три столбца. С другой стороны эти столбцы линейно независимы. В самом деле, если предполжить, что их линейная комбинация равна нулю (правая часть системы равна нулю), то вы получите нулевое решение, то есть линейная комбинация тривиальна. Ну а полная и линейно независимая система столбцов и есть базис.

[Гость]

получилось е4=-3е1+6е2-е3
е5=2е2-е3
я так понимаю это все. больше ничего делать не нужно?
если не сложно проверьте главную ступенчатую матрицу правильно ли?

[Alidoro]

Правильно.

[UnionJack]

Товарищи, большое вам спасибо и доброго здравия. Кажется, понимаю.

[lidalisi]

Спасибо большое=)))