Разложение элементарных тригонометрических функций (sin, cos) в Ряд Фурье

[Alfucio]

Здравствуйте!

Не могу сообразить, почему при разложении синуса или косинуса ( sin(x) или cos(x) ) в тригонометрический ряд Фурье соответствующий коэффициент (b_n и a_n) равняется нулю... (Соответственно, и сама функция f(x) = 0) Подскажите, пожалуйста, в какой стороне лучше искать решение проблемы?

Заранее спасибо!

@темы: Ряды, Исследование функций

Comments

[Trotill]

Сами напишите эти определённые интегралы для коэф. и по внешнему виду можно будет определить, почему один из них обязательно будет =0.

[Alfucio]

Конечно, я считал все три компоненты (a_0, a_n, b_n) для каждой из двух функций. a_0 в обоих случаях равны нулю. Для синуса и косинуса a_n и b_n соответственно равны нулям, это тоже очевидно: функции нечетная и четная соответственно, значит, и a_n и b_n должны быть нулевыми соответственно...

Но я не могу понять, по каким причинам для синуса и косинуса коэффициенты b_n и a_n соответственно равны нулям в итоге, то есть не получается записать через ряд Фурье эти две функции?

Возможно, я где-то ошибся в расчетах, но несколько раз проверял...

[Alfucio]

Для подробного описания выпишу, что получилось для каждой из функций:

Пусть f(x) = a_0 + SUM_from_1_to_INFINITY[a_n * cos(n * x) + b_n * sin(n * x)]

f(x) = cos(x)
=>
a_0 = 0
a_n = -2n * sin(Pi * n) / (Pi * (-1 + n*n) )
b_n = 0

Так как sin(Pi * n) = 0 для любого натурального n (n >= 1), то и a_n = 0.

Или синус:
f(x) = sin(x)
=>
a_0 = 0
a_n = 0
b_n = -2 * sin(Pi * n) / (Pi * (-1 + n*n) )

b_n, очевидно, также для любого натурального n равен нулю.

Возможно, я просто где-то ошибся в расчетах или в теории...

[Heor]

Alfucio
Я не понял. А в чем все же вопрос?
Ряд Фурье имеет вид `f(x) = a_0 + sum_n (a_n*cos(n*w*t) + b_n*sin(n*w*t))`
Если Вы раскладываете sin(x), то почему эти коэффициенты не должны быть равны 0?

[Trotill]

Наверное, я ваш вопрос не совсем понял, но ноль получается из-за нечетности подынтегральной функции.

А вот что это значит в "глобальном" смысле, какие дополнительные свойства из-за этого проявляются у разложения (если a_n * b_n = 0), мне сложно сказать.

[VEk]

Alfucio Вы раскладываете эти функции ( `sinx ` и `cosx`) на их периоде. Естественно в разложении будет содержаться только та гармоника, которая совпадает с функцией. Вот если разложение будет на другом промежутке, то тогда появятся и другие гармоники.

[Alfucio]

VEk, подскажите, пожалуйста, из этого следует, что с помощью ряда Фурье эти две функции разложить на заданном периоде невозможно, то есть это разложение для этих двух функций не подходит?

[Heor]

Ваша ошибка здесь:
Так как sin(Pi * n) = 0 для любого натурального n (n >= 1), то и a_n = 0.
Обратите внимание на знаменатель `a_n = -2n * sin(pi * n) / (pi * (-1 + n*n) )` при n=1

Собственно, разложение `cos(x)` в ряд Фурье и должно выглядеть, как `cos(x)`

[VEk]

Почему невозможно?
Если Вы раскладываете функцию `sinx` в ряд по синусам на `(-pi;pi)`, то у вас должна получиться только одна гармоника, совпадающая с функцией.
Если Вы хотите разложить ту же функцию `sinx`, заданную на `(0; pi)` по косинусам, то надо ее продолжить четным образом на `( -pi;0)`. Если же Вы пытаетесь ее разложить в общем виде, то все коэффициенты при `b_n` будут интегралами от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку, и, соответственно, будут равны 0. Т.е получается разложение только по синусам.
Но возможно, что в постановке задачи написано разложить функцию на заданном промежутке ... тогда ее надо продолжить периодически на симметричный относительно нуля промежуток и затем считать коэффициенты.
Поскольку точной формулировки задания Вы не привели, сказать что- либо больше не могу.

[Alfucio]

Как верно обратил внимание Heor, я невнимательно смотрел на знаменатель, там действительно при n = 1, например, для синуса, получается 0 в знаменателе.

То есть, если повторить рассуждения, то:
f(x) = sin(x)
=>
a_0 = 0
a_n = 0
b_n = -2 * sin(Pi * n) / (Pi * (-1 + n*n) )

И при n = 1 в знаменателе ноль... (в числителе тоже ноль, но это не страшно, в отличие от знаменателя...).

VEk, задания как такового нет. Я просто читаю про ряды Фурье в учебнике и решаю различные примеры, и попытался через ряд Фурье выразить cos(x) и sin(x), и пришел к такому результату. Сейчас пытаюсь понять, где в теории рядов Фурье описано это ограничение, которое не позволяет выразить через них косинус или синус, либо где я ошибся, и его все-таки как-то можно вычислить, как говорит Heor, что, действительно, разложение в ряд Фурье косинуса и должно давать f(x) = cos(x) (как в случае разложения по формуле Тейлора полиномов: полином через метод Тейлора и представит себя как ряд).

VEk, то есть, грубо говоря, как мне видится, у меня сейчас не получается ни одной функции в виде ряда Фурье (или ни одной гармоники, как Вы говорите). При этом я пытался разложить функцию на интервале [–pi; pi], то есть «самое обычное» разложение функции в ряд Фурье.

То есть, получается, я не могу пока с теоретической точки зрения обосновать эту проблему (или ее отсутствие, если я где-то ошибаюсь).

[Heor]

Alfucio
Ноль в знаменателе говорит о том, что полученная вами общая формула для b_n не определяет коэффициент конкретно для этого n.
Т.е. вам надо еще раз попробовать найти этот коэффициент для n=1. Ничего специального придумывать не надо, просто еще раз найдите интеграл, но уже не в общем виде, а для n=1.

[VEk]

Alfucio Разложение в ряд Фурье на `(-pi;pi)` - разложение по гармоникам `sin kx` и `cos kx` - функциям, периодическим именно на этом интервале и смысл разложения - представить некоторую периодическую функцию, не являющуюся одной из гармоник, в виде ряда. Это часто используется в электротехнике, когда надо получить периодический сигнал определенной формы.

Как уже писал Heor: Ряд Фурье имеет вид `f(x) = a_0 + sum_n (a_n*cos(n*w*t) + b_n*sin(n*w*t))`
В справочнике Бронштейна, Семендяева, "Справочник по математике для инженеров и студентов", представлены разложения некоторых функций, например:
`y=x, x in(-pi;pi)` имеет разложение `y=2sum_1^(oo) (-1)^(k+1)*(sinkx)/k` - это нечетная функция, раскладывается только по синусам
`y=` `{(sinx, x in [0;pi]),(0,x in[pi;2pi]):}` имеет разложение `y=1/(pi)+(sinx)/2-2/(pi)*sum_1^(oo) (cos 2kx)/(4k^2-1)`.

Если уж хотите раскладывать функции в ряд Фурье, получите, например, приведенные разложения.

[Alfucio]

Действительно, я сейчас все пересчитал, и все получилось .

Например, sin(x):
b_1 даст 1,
затем мы умножим b_1 на sin(1 * x), и у нас получится, что sin(x) = sin(x).

Все другие b_n (n >= 2) будут равны нулю: b_n = -2 * sin(Pi * n) / (Pi * (-1 + n*n) ).

Для косинуса аналогично.

Невнимательность...

Большое спасибо всем!

[Гость]

а вы мне не поможите с подобным заданием?
просто мне надо sin^2(x) разложить в ряд Фурье, а у меня не получается(

[Гость]

Создайте новый топик с этим заданием.

[Гость]

Зравствуйте,разложить ряд Фурье. F(x)=(e^x)+sin(x) x принадлежит[-pi;pi] помогите пожалуйста

[Гость]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!

[Гость]

Зравствуйте,разложить ряд Фурье. F(x)=(e^x)+sin(x) x принадлежит[-pi;pi] помогите пожалуйста

Создайте новый топик с этим заданием