Холодно. Пью.
Как известно, каждой точки плоскости с координатами `(x, y)` можно поставить в соответствие ровно одно комплексное число `z = x + i * y` так, чтобы первая координата точки была его действительной частью, а вторая — мнимой, при этом для каждого комплексного числа найдётся соответствующая ему точка плоскости.
Уравнение прямой на плоскости:
`A * x + B * y + C = 0`, где `A^2 + B^2 != 0`.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки `A(x_1, y_1)` и `B(x_2, y_2)`:
`(y_2 - y_1) * x - (x_2 - x_1) * y - x_1 * (y_2 - y_1) + y_1 (x_2 - x_1) = 0`, где `(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2 != 0`.
А каким будет уравнение прямой, проходящей через две данные точки комплексной плоскости: `zeta_1` и `zeta_2` `in CC`?
читать дальше
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки комплексной плоскости `zeta_1` и `zeta_2`, имеет вид:
`zeta_1 * (bar zeta_2 - bar z) - zeta_2 * (bar zeta_1 - bar z) + z * (bar zeta_1 - bar zeta_2) = 0`.
(Предлагаю убедиться в этом.)
Уравнение окружности на плоскости с центром в точке `A(x_1, y_1)` и радиуса `r` имеет вид: `(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r^2`.
Уравнение окружности на комплексной плоскости с центром в точке `zeta` и радиуса `r` имеет вид:
`(z - zeta) * (bar z - bar zeta) = r^2`
(Предлагаю убедиться в этом.)
На время отвлечёмся от комплексных чисел, обратимся к матрицам, и получим ещё несколько вводных утверждений.
Пусть `det{A, B}` — определитель матрицы `((a_1, a_2), (b_1, b_2))`, где `A = (a_1, a_2)`, `B = (b_1, b_2)`.
*Барабанная дробь...*
Лемма 1: Точки `X`, `Y`, `Z` плоскости лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда `det{X, Y} + det{Y, Z} + det{Z, X} = 0`.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Можно воспользоваться тем фактом, что `det{A, B}` — это ориентированная (т.е. возможно, с отрицательным знаком) площадь параллелограмма, построенного на векторах `A` и `B`.
Рассмотрим теперь несколько лемм, связанных с комплексными числами и геометрическими понятиями.
Сначала введём два обозначения.
Выражение `(z_1, z_2, z_3) = (z_1 - z_3) / (z_2 - z_3)` назовём простым отношением комплексных чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`.
Выражение `(z_1, z_2, z_3, z_4) = ((z_1 - z_3) / (z_2 - z_3)) : ((z_1 - z_4) / (z_2 - z_4))`, т.е. результат деления простых отношений `(z_1, z_2, z_3)` и `(z_1, z_2, z_4)` назовём двойным отношением комплексных чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4`.
Всё, приступаем к леммам.:-)
Здесь и далее мы считаем, что комплексные числа `z_1`, `zeta_1` и т.д. все попарно различны.
Лемма 2: Точки `z_1`,` z_2`,` z_3` лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда их простое отношение `(z_1, z_2, z_3)` вещественно.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Следует заметить, что простое отношение зависит от порядка чисел, в него входящих, но если одно простое отношение, составленное из чисел `z_1`,` z_2`,` z_3` вещественно, то и остальные — тоже (это надо доказать).
Лемма 3: Точки `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4` лежат на одной прямой или окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение `(z_1, z_2, z_3, z_4)` вещественно.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Аналогично, следует заметить, что двойное отношение зависит от порядка чисел, в него входящих, но если одно двойное отношение, составленное из чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4` вещественно, то и остальные — тоже (это надо доказать).
От прямых постепенно переходим к окружностям.
Лемма 4: Если `z` — точка пересечения касательных в точках `zeta_1`, `zeta_2` к единичной окружности, то `z = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_2)`. См. рис. 1.
Рис. 1.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно.
Лемма 5: Если на единичной окружности расположены точки `a`, `b`, `c`, `d`, то точка `e` пересечения прямых `ab` и `cd` задаётся фомулой `e = ((bar a + bar b) - (bar c + bar d)) / (bar (ab) - bar (cd))`. См. рис. 2.
Рис. 2.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно.
И вот мы добрались до основных теорем.
Теорема 1 (Ньютон): В описанном около окружности четырёхугольнике середины диагоналей и центр окружности лежат на одной прямой. См. рис. 3.
Рис. 3.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее.
По лемме 4:
`z_1 = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_4)`,
`z_2 = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_2)`,
`z_3 = 2 / (1/zeta_2 + 1/zeta_3)`,
`z_4 = 2 / (1/zeta_3 + 1/zeta_4)`.
Далее, по свойству координат середины отрезка:
`t_1 = z_1 + z_3`,
`t_2 = z_2 + z_4`.
Далее, по лемме 2 можно показать, что `t_1`, `t_2`, `0` — лежат на одной прямой, что и даст доказательство теоремы.
Теорема 2 (Эйлер): В любом треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения высот и точка пересечния медиан лежат на одной прямой (прямой Эйлера). См. рис. 4.
Рис. 4.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее.
Обозначим данный треугольник `ABC` и разместим его так, чтобы его вершины имели координаты `C = (0, 0)`, `B = (a, 0)`, `A = (b * cos phi, b * sin phi)`.
Нетрудно найти координаты всех трёх интересующих нас точек, предлагаю сделать это самостоятельно.
Для точки пересечения медиан `H`, должно получиться `H = ((b * cos phi + a) / 3, (b * sin phi) / 3)`.
Для точки пересечения высот `K` должно получиться `K = (b * cos phi, (a - b * cos phi) * ctg phi))`.
Для центра описанной окружности `O` должно получиться `O = (a / 2, (b - a * cos phi) / (2 * sin phi))`.
Далее, по лемме 1 или по лемме 2, или по уравнению прямой для комплексных чисел, или по уравнению прямо для действительных чисел — можно показать, что `H`, `K`, `O` — лежат на одной прямой, что и доказывает теорему.
Теорема 3 (Гаусс): Пусть `ABCD` — произвольный четырёхугольник, `E` — точка пересечения прямых `AB` и `CD`, `F` — точка пересечения прямых `AD` и `BC`, `M` — середина `AC`, `N` — середина `BD`, `O` — середина `EF`. Тогда точки `M`, `N`, `O` — лежат на одной прямой. См. рис. 5.
Рис. 5.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или всё доказательство можно провести с помощью леммы 1.
Для начала, запишем выражение из леммы 1 для точек `M`, `N`, `O` и раскроем его, воспользовавшись свойствами определителя:
`det{(A + C)/2, (B + D)/2} +` `det{(B + D)/2, (E + F)/2} +` `det{(E + F)/2, (A + C)/2} =` `1 / 4 *` `(det{A, B} + det{A, D} + det{C, B} + det{C, D} +` `det{B, E} + det{B, F} + det{D, E} + det{D, F} +` `det{E, A} + det{E, C} + det{F, A} + det{F, C})`.
Для завершения доказательства нужно применить лемму 1 к тройкам точек `(A, B, E)`, `(C, B, F)`, `(A, D, F)`, `(C, D, E)` — каждая из которых лежит на одной прямой.
В этой теореме воспользоваться одной из лемм особенно просто.
А вот в следующей теореме мне пришлось внимательно делать много преобразований.
Теорема 4 (Паскаль): Точки пересечения продолжений противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой. См. рис. 6.
Рис. 6.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее
Воспользуемся леммой 5, чтобы выразить точки `K`, `L`, `M` через вершины шестиугольника.
`k = ((bar a + bar b) - (bar d + bar e)) / (bar (ab) - bar (de))`
`l = ((bar a + bar f) - (bar c + bar d)) / (bar (af) - bar (cd))`
`m = ((bar b + bar c) - (bar f + bar e)) / (bar (bc) - bar (fe))`
Теперь применим лемму 2 к точкам `K`, `L`, `M`, и после многих преобразований по лемме должны получить, что эти точки лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Подведём итоги.
Какие выводы можно сделать из рассмотренных лемм и теорем?
Зачем городить огород, решая задачи элементарной геометрии с помощью комплексных чисел и определителей?
Мне кажется, во-первых, это просто удивительно и здорово, что геометрические задачи можно решать с помощью методов "из других областей математики", не связанных напрямую с геометрией.
А во-вторых, во всех теоремах доказательства с помощью этих методов очень простые по содержанию и сложные только технически. Т.е. если доказывать способом "как компьютер" достаточно сделать один-два простых шага и дальше думать не надо.
Разве не замечательно?:-)
Спасибо за внимание.:-)
Примечание. Это отрывок из книги В.В. Прасолова и В.М. Тихомирова "Геометрия" в моём пересказе.:-)
Спасибо создателю скрипта для отображения формул в кодировке ASCIIMath, а также создателям программы для геометрических построений GeoGebra.:-)
Уравнение прямой на плоскости:
`A * x + B * y + C = 0`, где `A^2 + B^2 != 0`.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки `A(x_1, y_1)` и `B(x_2, y_2)`:
`(y_2 - y_1) * x - (x_2 - x_1) * y - x_1 * (y_2 - y_1) + y_1 (x_2 - x_1) = 0`, где `(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2 != 0`.
А каким будет уравнение прямой, проходящей через две данные точки комплексной плоскости: `zeta_1` и `zeta_2` `in CC`?
читать дальше
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки комплексной плоскости `zeta_1` и `zeta_2`, имеет вид:
`zeta_1 * (bar zeta_2 - bar z) - zeta_2 * (bar zeta_1 - bar z) + z * (bar zeta_1 - bar zeta_2) = 0`.
(Предлагаю убедиться в этом.)
Уравнение окружности на плоскости с центром в точке `A(x_1, y_1)` и радиуса `r` имеет вид: `(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r^2`.
Уравнение окружности на комплексной плоскости с центром в точке `zeta` и радиуса `r` имеет вид:
`(z - zeta) * (bar z - bar zeta) = r^2`
(Предлагаю убедиться в этом.)
На время отвлечёмся от комплексных чисел, обратимся к матрицам, и получим ещё несколько вводных утверждений.
Пусть `det{A, B}` — определитель матрицы `((a_1, a_2), (b_1, b_2))`, где `A = (a_1, a_2)`, `B = (b_1, b_2)`.
*Барабанная дробь...*
Лемма 1: Точки `X`, `Y`, `Z` плоскости лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда `det{X, Y} + det{Y, Z} + det{Z, X} = 0`.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Можно воспользоваться тем фактом, что `det{A, B}` — это ориентированная (т.е. возможно, с отрицательным знаком) площадь параллелограмма, построенного на векторах `A` и `B`.
Рассмотрим теперь несколько лемм, связанных с комплексными числами и геометрическими понятиями.
Сначала введём два обозначения.
Выражение `(z_1, z_2, z_3) = (z_1 - z_3) / (z_2 - z_3)` назовём простым отношением комплексных чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`.
Выражение `(z_1, z_2, z_3, z_4) = ((z_1 - z_3) / (z_2 - z_3)) : ((z_1 - z_4) / (z_2 - z_4))`, т.е. результат деления простых отношений `(z_1, z_2, z_3)` и `(z_1, z_2, z_4)` назовём двойным отношением комплексных чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4`.
Всё, приступаем к леммам.:-)
Здесь и далее мы считаем, что комплексные числа `z_1`, `zeta_1` и т.д. все попарно различны.
Лемма 2: Точки `z_1`,` z_2`,` z_3` лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда их простое отношение `(z_1, z_2, z_3)` вещественно.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Следует заметить, что простое отношение зависит от порядка чисел, в него входящих, но если одно простое отношение, составленное из чисел `z_1`,` z_2`,` z_3` вещественно, то и остальные — тоже (это надо доказать).
Лемма 3: Точки `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4` лежат на одной прямой или окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение `(z_1, z_2, z_3, z_4)` вещественно.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Аналогично, следует заметить, что двойное отношение зависит от порядка чисел, в него входящих, но если одно двойное отношение, составленное из чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4` вещественно, то и остальные — тоже (это надо доказать).
От прямых постепенно переходим к окружностям.
Лемма 4: Если `z` — точка пересечения касательных в точках `zeta_1`, `zeta_2` к единичной окружности, то `z = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_2)`. См. рис. 1.
Рис. 1.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно.
Лемма 5: Если на единичной окружности расположены точки `a`, `b`, `c`, `d`, то точка `e` пересечения прямых `ab` и `cd` задаётся фомулой `e = ((bar a + bar b) - (bar c + bar d)) / (bar (ab) - bar (cd))`. См. рис. 2.
Рис. 2.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно.
И вот мы добрались до основных теорем.
Теорема 1 (Ньютон): В описанном около окружности четырёхугольнике середины диагоналей и центр окружности лежат на одной прямой. См. рис. 3.
Рис. 3.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее.
По лемме 4:
`z_1 = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_4)`,
`z_2 = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_2)`,
`z_3 = 2 / (1/zeta_2 + 1/zeta_3)`,
`z_4 = 2 / (1/zeta_3 + 1/zeta_4)`.
Далее, по свойству координат середины отрезка:
`t_1 = z_1 + z_3`,
`t_2 = z_2 + z_4`.
Далее, по лемме 2 можно показать, что `t_1`, `t_2`, `0` — лежат на одной прямой, что и даст доказательство теоремы.
Теорема 2 (Эйлер): В любом треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения высот и точка пересечния медиан лежат на одной прямой (прямой Эйлера). См. рис. 4.
Рис. 4.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее.
Обозначим данный треугольник `ABC` и разместим его так, чтобы его вершины имели координаты `C = (0, 0)`, `B = (a, 0)`, `A = (b * cos phi, b * sin phi)`.
Нетрудно найти координаты всех трёх интересующих нас точек, предлагаю сделать это самостоятельно.
Для точки пересечения медиан `H`, должно получиться `H = ((b * cos phi + a) / 3, (b * sin phi) / 3)`.
Для точки пересечения высот `K` должно получиться `K = (b * cos phi, (a - b * cos phi) * ctg phi))`.
Для центра описанной окружности `O` должно получиться `O = (a / 2, (b - a * cos phi) / (2 * sin phi))`.
Далее, по лемме 1 или по лемме 2, или по уравнению прямой для комплексных чисел, или по уравнению прямо для действительных чисел — можно показать, что `H`, `K`, `O` — лежат на одной прямой, что и доказывает теорему.
Теорема 3 (Гаусс): Пусть `ABCD` — произвольный четырёхугольник, `E` — точка пересечения прямых `AB` и `CD`, `F` — точка пересечения прямых `AD` и `BC`, `M` — середина `AC`, `N` — середина `BD`, `O` — середина `EF`. Тогда точки `M`, `N`, `O` — лежат на одной прямой. См. рис. 5.
Рис. 5.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или всё доказательство можно провести с помощью леммы 1.
Для начала, запишем выражение из леммы 1 для точек `M`, `N`, `O` и раскроем его, воспользовавшись свойствами определителя:
`det{(A + C)/2, (B + D)/2} +` `det{(B + D)/2, (E + F)/2} +` `det{(E + F)/2, (A + C)/2} =` `1 / 4 *` `(det{A, B} + det{A, D} + det{C, B} + det{C, D} +` `det{B, E} + det{B, F} + det{D, E} + det{D, F} +` `det{E, A} + det{E, C} + det{F, A} + det{F, C})`.
Для завершения доказательства нужно применить лемму 1 к тройкам точек `(A, B, E)`, `(C, B, F)`, `(A, D, F)`, `(C, D, E)` — каждая из которых лежит на одной прямой.
В этой теореме воспользоваться одной из лемм особенно просто.
А вот в следующей теореме мне пришлось внимательно делать много преобразований.
Теорема 4 (Паскаль): Точки пересечения продолжений противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой. См. рис. 6.
Рис. 6.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее
Воспользуемся леммой 5, чтобы выразить точки `K`, `L`, `M` через вершины шестиугольника.
`k = ((bar a + bar b) - (bar d + bar e)) / (bar (ab) - bar (de))`
`l = ((bar a + bar f) - (bar c + bar d)) / (bar (af) - bar (cd))`
`m = ((bar b + bar c) - (bar f + bar e)) / (bar (bc) - bar (fe))`
Теперь применим лемму 2 к точкам `K`, `L`, `M`, и после многих преобразований по лемме должны получить, что эти точки лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Подведём итоги.
Какие выводы можно сделать из рассмотренных лемм и теорем?
Зачем городить огород, решая задачи элементарной геометрии с помощью комплексных чисел и определителей?
Мне кажется, во-первых, это просто удивительно и здорово, что геометрические задачи можно решать с помощью методов "из других областей математики", не связанных напрямую с геометрией.
А во-вторых, во всех теоремах доказательства с помощью этих методов очень простые по содержанию и сложные только технически. Т.е. если доказывать способом "как компьютер" достаточно сделать один-два простых шага и дальше думать не надо.
Разве не замечательно?:-)
Спасибо за внимание.:-)
Примечание. Это отрывок из книги В.В. Прасолова и В.М. Тихомирова "Геометрия" в моём пересказе.:-)
Спасибо создателю скрипта для отображения формул в кодировке ASCIIMath, а также создателям программы для геометрических построений GeoGebra.:-)
@темы: Аналитическая геометрия, Определители, Планиметрия, Интересная задача!, Комплексные числа
-
-
16.07.2010 в 12:52Спасибо большое!
Разве не замечательно?:-)
Замечательно!
А еще лучше, если одну и ту же задачу решать разными методами - классической геометрии, алгебраическими и т.д.
Тогда там столько всего раскрывается и понимается..
Я сейчас поискала еще по этой тематике
А вот такую книгу смотрел?
Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов.—М.: МЦНМО,2004.—160 с.: ил.—ISBN 5-94057-152-2.
В книге в научно-популярной форме излагаются основы метода комплексных чисел в геометрии. Отдельные главы посвящены многоугольникам, прямой
и окружности, линейным и круговым преобразованиям. Метод комплексных чисел иллюстрируется на решениях более 60 задач элементарного характера. Для
самостоятельного решения предлагается более 200 задач, снабжённых ответами или указаниями.
Книга адресуется всем любителям геометрии, желающим самостоятельно овладеть методом комплексных чисел. Её можно использовать для проведения
кружков и факультативных занятий в старших классах средней школы
Скачать (pdf,900 kb) ilib.mirror1.mccme.ru/pdf/ponarin.pdf
-
-
16.07.2010 в 12:58-
-
16.07.2010 в 13:00-
-
16.07.2010 в 13:01-
-
16.07.2010 в 13:13Или сказать: вот в книжках решены комплексными числами такие-то геометрические задачи (теоремы доказаны), а ты докажи-ка ещё какие-нибудь из школьного/вузовского учебника геометрии. Какие у тебя есть идеи? Я просто фантазирую.:-)
-
-
16.07.2010 в 13:28Если школьнику давать, то только в проф. классах, где комплексные числа проходят.
А есть в какой-то книжке таблица перевода с геометрического языка на язык комплексных чисел?
Если нет, то школьнику можно это поручить. А потом решить несколько задач и доказать теоремы какие-нибудь
Простые задачи, мне кажется, и обычный преподаватель может сформулировать. Или просто отобрать из школьного курса то, что можно таким образом решить.
А вот смотри, что еще есть
Автор: Яглом И.М.
Аннотация:
Книга в доступной форме знакомит читателя с кругом вопросов, связывающих учение о комплексных числах с геометрией. Автор рассматривает разнородные геометрические теоремы, доказываемые с использованием разных типов комплексных чисел. В книге дано также краткое изложение вопроса о применениях аппарата комплексных чисел в геометрии Лобачевского.
Книга рассчитана на школьников старших классов и студентов математических отделений университетов и педагогических институтов. Она может быть использована в работе математических кружков. Изложенный в книге материал может также представить интерес для преподавателей математики средней и высшей школы.
Год издания: 1963
Количество страниц: 192
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.
Глава 1. Три типа комплексных чисел.
§ 1. Обыкновенные комплексные числа.
§ 2. Обобщенные комплексные числа.
§ 3. Самые общие комплексные числа.
§ 4. Дуальные числа.
§ 5**. Двойные числа.
§ 6**. Гиперкомплексные числа.
Глава II. Геометрические интерпретации комплексных чисел.
§ 7. Обыкновенные комплексные числа как точки плоскости.
§ 8*. Приложения и примеры.
§ 9. Дуальные числа как ориентированные прямые плоскости.
§ 10*. Приложения и примеры.
§ 11**. Интерпретация обыкновенных комплексных чисел на плоскости Лобачевского.
§ 12**. Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского.
Глава III. Круговые преобразования и круговые геометрии.
§ 13. Обыкновенные круговые преобразования (преобразования Мёбиуса).
§ 14*. Приложения и примеры.
§ 15. Осевые круговые преобразования (преобразования Лагерра).
§ 16*. Приложения и примеры.
§ 17**. Круговые преобразования плоскости Лобачевского.
§ 18**. Осевые круговые преобразования плоскости Лобачевского.
Скачать в формате Djvu 2,0 Mb ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/yaglom/compl_num.djv...
==
Мне вот с алгебраической точки зрения нравятся двойные и дуальные числа. Правда, об их геометрической интерпретации я не задумывалась
-
-
16.07.2010 в 13:33-
-
16.07.2010 в 13:40Это тебе спасибо - такой классный пост!!!
-
-
16.07.2010 в 14:21