EDUCATION EXPANDS KNOWLEDGE

МЫ НЕ РЕШАЕМ ЗА ВАС - МЫ ПОМОГАЕМ РЕШАТЬ!


| ЦЕЛИ СООБЩЕСТВА | АДМИНИСТРАЦИЯ СООБЩЕСТВА | МОДЕРАТОРЫ СООБЩЕСТВА |
Основала сообщество и бессменно руководила им с 2006 по 2012 г. рано ушедшая из жизни Robot, вложившая в него свои силы, знания, опыт, доброту и стремление к бескорыстной помощи.
ПРАВИЛА СООБЩЕСТВА
|НЕКОТОРЫЕ СОВЕТЫ ПО ОФОРМЛЕНИЮ|КАК ПРАВИЛЬНО ЗАПОЛНИТЬ @ТЕМУ|


Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи — решайте их (Д. Пойа).

Научился сам - не мешай научиться другому.

URL
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


У триголятора есть только кнопки $\sin,$ $\cos,$ $\tan,$ $\sin^{-1},$ $\cos^{-1},$ и $\tan^{-1}.$ На дисплее изначально отображается число 0. Дано положительное рациональное число $q.$ Покажите, что с помощью конечного количества нажатий на кнопки можно получить $q$ на дисплее. Предполагается, что все вычисления выполняются точно и все функции вычисляются для аргументов, выраженных в радианах.




@темы: Тригонометрия

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Пусть $|U|, \sigma(U)$ и $\pi(U)$ обозначают соответственно количество, сумму и произведение элементов конечного множества положительных целых чисел $U.$ (Если $U$ является пустым множеством, то считаем что $|U| = 0, \sigma(U) = 0, \pi(U) = 1.$) Пусть $S$ --- конечное множество положительных целых чисел. Как обычно, пусть $C_n^k$ обозначает $\frac{n!}{k! \, (n-k)!}.$ Докажите, что
$\sum_{U \subseteq S} (-1)^{|U|} C_{m - \sigma(U)}^{|S|} = \pi(S)$
для всех целых чисел $m \geq \sigma(S).$




@темы: Дискретная математика, Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Последовательность положительных действительных чисел $a_1, a_2, a_3, \ldots$ удовлетворяет неравенству $\sum_{j = 1}^n a_j \geq \sqrt {n}$ для всех $n \geq 1.$ Докажите, что для всех $n \geq 1$
$\sum_{j = 1}^n a_j^2 > \frac {1}{4} \left( 1 + \frac {1}{2} + \cdots + \frac {1}{n} \right).$





@темы: Доказательство неравенств

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность, $AB=CD=EF,$ диагонали $AD,BE$ и $CF$ проходят через одну точку. Пусть $P$ --- точка пересечения $AD$ и $CE.$ Докажите, что $\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.$





@темы: Планиметрия

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Стороны $99$-угольника сначала покрасили так, что последовательные стороны окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, синий, желтый цвет. Выполняется последовательность изменения цвета сторон, по одной стороне за раз. Стороны окрашиваются в красный, синий или желтый цвет при условии, что никакие две смежные стороны не будут иметь одинаковый цвет. Может ли после выполнения подобных перекрашиваний получиться так, что последовательные стороны будут окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, желтый, синий цвет?




@темы: Дискретная математика

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Пусть $k_1 < k_2 < k_3 < \cdots$ --- положительные целые числа, никакие два из которых не являются последовательными, и пусть $s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$ для $m = 1, 2, 3, \ldots$. Докажите, что, для всех положительных целых чисел $n,$ интервал $[s_n, s_{n+1}),$ содержит по крайней мере один квадрат целого числа.




@темы: Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Пусть $a_0, a_1, a_2,\cdots$ --- последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая условию $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ для $i = 1, 2, 3,\cdots .$ (Такая последовательность называется логарифмически вогнутой.) Покажите, что для всех $n > 1$ выполняется
$\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge \frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}.$




@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Пусть $a$ и $b$ --- нечетные положительные целые числа. Определим последовательность $(f_n)$, полагая, что $f_1 = a$, $f_2 = b$, а $f_n$ для $n\ge3$ --- наибольший нечетный делитель $f_{n-1} + f_{n-2}$. Покажите, что значение $f_n$ равно некоторой константе при достаточно больших $n$ и найдите эту константу как функцию от $a$ и $b$.




@темы: Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Рассмотрим функции $f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R},$ удовлетворяющие условиям
(i) $f(x)\ge0$ для всех $x$ из $[0, 1]$,
(ii) $f(1) = 1$,
(iii) $f(x) + f(y) \le f(x + y)$ для любых $x$, $y$ таких, что $x + y$ принадлежат $[0, 1]$.
Найдите (с доказательством) наименьшую константу $c$, такую, что $f(x) \le cx$ для любой функции $f$, удовлетворяющей (i)-(iii), и для любого $x$ из $[0, 1]$.





@темы: Функции

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Пусть $ABCD$ --- выпуклый четырехугольник такой, что диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$ под прямым углом. Докажите, точки, симметричные точке $E$ относительно прямых $AB$, $BC$, $CD$, $DA,$ лежат на одной окружности.




@темы: Планиметрия

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Для каждого целого числа $n\ge 2$, определите (с доказательством) какое из двух положительных действительных чисел $a$ и $b$ больше, если для них выполняется:
$a^n=a+1,\qquad b^{2n}=b+3a.$




@темы: Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Многочлен $P(z)$ с комплексными коэффициентами 1992 степени имеет различные нули. Докажите, что существуют комплексные числа $a_1, a_2, \ldots, a_{1992}$ такие, что $P(z)$ делит многочлен
$\left( \cdots \left( (z-a_1)^2 - a_2 \right)^2 \cdots - a_{1991} \right)^2 - a_{1992}.$





@темы: Теория многочленов, Комплексные числа

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Хорды $AA'$, $BB'$ и $CC'$ сферы пересекаются в её внутренней точке $P$ и не лежат в одной плоскости. Сфера, проходящая через точки $A$, $B$, $C$ и $P,$ касается сферы, проходящей через точки $A'$, $B'$, $C'$ и $P$. Докажите, что $AA'=BB'=CC'$.




@темы: Стереометрия

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Для непустого числового множества $S$ пусть $\sigma(S)$ обозначает сумму элементов $S.$ Известно, что $A = \{a_1, a_2, \ldots, a_{11}\}$ состоит из положительных целых чисел и $a_1 < a_2 < \cdots < a_{11}$ и что, для всех положительных чисел $n \le 1500$, существует подмножество $S$ множества $A$, для которого $\sigma(S) = n.$ Чему равно наименьшее возможное значение $a_{10}?$





@темы: Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Докажите, что
$\frac{1}{\cos 0^\circ \cos 1^\circ} + \frac{1}{\cos 1^\circ \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{1}{\cos 88^\circ \cos 89^\circ} = \frac{\cos 1^\circ}{\sin^2 1^\circ}.$




@темы: Тригонометрия

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Найдите, как функцию от $n,$ сумму цифр значения выражения
$9 \times 99 \times 9999 \times \cdots \times \left( 10^{2^n} - 1 \right),$
где каждый множитель, начиная со второго слева, имеет в два раза больше цифр, чем предыдущий.





@темы: Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Многочлен $P(x, y)$ двух переменных с целыми коэффициентами удовлетворяет следующим двум условиям:
1) для каждого целого числа $a$ существует, причём ровно одно, целое значение $y$ такое, что $P(a, y) = 0;$
и
2) для каждого целого числа $b$ существует, причём ровно одно, целое значение $x$ такое, что $P(x, b) = 0.$

а) Докажите, что, если степень $P(x, y)$ равна двум, то он делится на многочлен $x - y + C$ либо на многочлен $x + y + C,$ где $C$ --- целое число.
б) Существует ли такой многочлен $P(x, y),$ не кратный ни одному многочлену вида $x - y + C$ и $x + y + C,$ где $C$ --- целое число?




Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Числа $-1011,$ $-1010,$ ..., $-1,$ $1,$ $2,$ ..., $1010,$ $1011$ образуют в некотором прядке последовательность $a_1,$ $a_2,$ ..., $a_{2022}.$ Найдите наибольшее возможное значение суммы
$|a_1| + |a_1 + a_2| + |a_1 + a_2 + a_3| + ... + |a_1 + a_2 + ... + a_{2022}|.$





@темы: Задачи на экстремум, Теория чисел

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


Вписанная окружность прямоугольного треугольника $ABC$ касается гипотенузы $AB$ в точке $P,$ а катетов $AC$ и $BC$ --- в точках $Q$ и $R$ соответственно. Точки $C_1$ и $C_2$ симметричны точке $C$ относительно прямых $PQ$ и $PR.$ Найдите градусную меру угла $C_1IC_2,$ где $I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC.$




@темы: Планиметрия

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.


В клетки таблицы размера $2022 \times 2022$ записаны натуральные числа от 1 до $2022^2,$ в каждой клетке --- ровно одно число, все числа использованы по разу. Для каждой строки Влад выписал себе по одному числу, являющемуся вторым по убыванию в этой строке. А Дима проделал то же для каждого столбца. Оказалось, что мальчики выписали 4044 попарно различных числа и найдутся $k$ чисел, выписанных Владом, каждое из которых меньше любого числа, выписанного Димой. Найдите наибольшее возможное значение числа $k.$




@темы: Теория чисел