Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
15:27 

Уравнение

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что `x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 1` не имеет рациональных решений.



@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

21:36 

На одной прямой

wpoms.
Step by step ...


Выпуклый четырехугольник $ABCD$ не является вписанным и у него нет параллельных сторон. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в $E$.
Пусть $M \neq E$ будет точкой пересечения описанных окружностей треугольников $ADE$ и $BCE$. Биссектрисы внутренних углов $ABCD$ определяют выпуклый, вписанный четырехугольник с центром описанной окружности $I$. Биссектрисы внешних углов $ABCD$ определяют выпуклый, вписанный четырех угольник с центром описанной окружности $J$. Докажите, что $I,J,M$ лежат на одной прямой.



@темы: Планиметрия

21:30 

Количество чисел

wpoms.
Step by step ...


Какое наибольшее количество положительных целых чисел меньших или равных 2016 можно выбрать так, чтобы никакие два из них не отличались на 1, 2 или 6?



@темы: Теория чисел

06:35 

Квадратичный многочлен

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим многочлен второй степени $P(x) = 4x^2+12x-3015$.
Определим последовательность многочленов $P_1(x) = P(x)/2016$ и $P_{n+1}(x) = P(P_n(x))/2016$ для всех $n \geq 1$.
(a) Докажите, что есть действительное число $r$ такое, что $P_n(r) < 0$ для всех положительных целых чисел $n$.
(b) Определите количество целых чисел $m$ таких, что $P_n(m) < 0$ для бесконечного количества положительных целых чисел $n$.



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Теория многочленов

14:10 

Народ, единитесь!

wpoms.
Step by step ...


Пусть $k$ --- фиксированное положительное целое число. Альберто и Беральдо играют в следующую игру:
дано начальное число $N_0$ и начинает Альберто, они по очереди выполняют такую операцию: заменяют число $n$ на число $m$ так, что $m < n$ и $m$ и $n$ отличаются, в их представлении по модулю 2, точно в $\ell$ последовательных цифрах для некоторого $\ell$ такого, что $1 \leq \ell \leq k$.
Тот, кто не может сделать ход, проигрывает.
Назовем неотрицательное число $t$ победителем, если игрок получивший число $t$ имеет выигрышную стратегию, он может выбрать следующее число так, чтобы обеспечить свою победу вне зависимости от действий другого игрока. Иначе назовем число неудачником.
Докажите, что для каждого положительного целого числа $N$, общее количество неотрицательных чисел-неудачников, меньших чем $2^N$, равно $2^{N-\lfloor \log_2(min\{N,k\}) \rfloor}$.
Пояснение: запись вида $\lfloor x \rfloor$ означает наибольшее целое число меньшее или равное $x.$ Например, $\lfloor 3{,}14 \rfloor = 3$, $\lfloor 2 \rfloor = 2$, $\lfloor -4{,}6 \rfloor = -5$.



@темы: Теория чисел

17:30 

Две точки

wpoms.
Step by step ...


Найдите наименьшее `n` такое, что любое множество из `n` точек координатной плоскости с целочисленными координатами содержит две точки такие, что квадрат расстояния между ними кратен 2016.



@темы: Планиметрия, Теория чисел

16:30 

Старшенькие пошли

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`. Прямые `r` и `s` - биссектрисы углов `ABC` и `BCA`, соответственно. Точки `E` на `r` и `D` на `s` такие, что `AD || BE` и `AE || CD`. Прямые `BD` и `CE` пересекаются в точке `F`. `I` - центр вписанной окружности треугольника `ABC`. Докажите, что если `A,F,I` лежат на одной прямой, то `AB=AC`.



@темы: Планиметрия

19:28 

Простые делители

wpoms.
Step by step ...


Пусть $a_0 = a > 1$ --- целое число и, для $n \geq 0,$ определим $a_{n+1} = 2^{a_n}-1.$ Покажите, что множество простых делителей членов последовательности $a_n$ бесконечно.



@темы: Теория чисел

06:36 

Перестановки

wpoms.
Step by step ...


Перестановку $(a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n)$ элементов множества $\{1, 2, 3, ..., n\}$ назовем легальной, если нет двух последовательных членов, чья сумма кратна 3, и нет членов таких, что разность двух соседних с ними членов кратна 3. Например, перестановка $(4, 6, 2, 5, 3, 1)$ является легальной перестановкой множества чисел $\{1, 2, 3, 4 , 5, 6\}.$ Но $(1, 2, 5, 3, 4, 6)$ не является легальной перестановкой того же множества, так как числа 1 и 2 являются соседними и их сумма кратна 3. Более того, разность чисел, соседних с числом 4, то есть чисел 3 и 6, кратна 3.
a) Определите количество легальных перестановок множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$
b) Определите количество легальных перестановок множества $\{1, 2, 3, ..., 2016\}.$
Примечание: Перестановкой элементов множества называется упорядоченная последовательность, которая содержит все элементы множества по одному разу.



@темы: Комбинаторика

00:29 

Вписанный четырёхугольник

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим произвольный треугольник `ABC` с `AB < AC < BC.` Срединный перпендикуляр отрезка `AB` пересекает сторону `BC` в точке `K` и продолжение стороны `AC` в точке `U.` Срединный перпендикуляр отрезка `CA` пересекает сторону `BC` в точке `O` и продолжение стороны `AB` в точке `G.` Докажите, что четырехугольник `GOKU` является вписанным, а именно, что все его четыре вершины лежат на одной окружности.



@темы: Планиметрия

21:18 

Квадратные уравнения

wpoms.
Step by step ...


Действительные числа `a, b, r` и `s` такие, что корнями уравнения `x^2 - ax + b = 0` являются `1/r` и `1/s,` а корнями уравнения `x^2 - rx + s = 0` являются `a` и `b.` Найдите `a,` если известно, что `a> 0.`



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

19:39 

Точки на одной прямой

wpoms.
Step by step ...


Биссектрисы углов `ABC` и `ACB` треугольника `ABC` пересекаются в точке `I.` Прямая, параллельная `BI` и проходящая через точку `A,` пересекает `CI` в точке `D.` Прямая, параллельная `CI` и проходящая через точку `A` пересекает прямую `BI` в точке `E.` Прямые `BD` и `CE` пересекаются в точке `F.` Покажите, что точки `F, A` и `I` лежат на одной прямой в том и только том случае, когда `AB = AC.`



@темы: Планиметрия

21:54 

Переходим к среднему звену школы

wpoms.
Step by step ...


a) Рассмотрим все числа образованные четырьмя цифрами 1, 2, 3 и 4. Образуем выражение
`S_4 = 4321 - 4312 + 4231 - 4213 + ... + 1243 - 1234,`
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and - чередуются. Вычислите `S_4.`
b) Аналогично, рассмотрим все числа образованные девятью различными цифрами, за исключением ноля, и образуем выражение
`S_9 = 987654321 - 987654312 + 987654231 - ... - 123456789,`
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and - чередуются. Вычислите `S_9.`



@темы: Теория чисел

20:10 

Что наша жизнь - Игра

wpoms.
Step by step ...


Дано целое число `N`, `N >= 2.`
В игре OBM участвуют два игрока `A` и `B`, игру начинает игрок `A`, получающий число `N.` Он должен выбрать новое целое число `n,` взаимно простое с `N` и большее или равное `N` и меньшее, чем `N.` Это число передается игроку `B.` Игрок `B`, получив число `n` от своего оппонента, выбирает новое число `m,` взаимно простое с `n`, большее или равное половине `n` и меньшее `n.` Затем он передает выбранное число `m` игроку `A` и процесс повторяется до тех пор, пока одному из игрок остается только выбрать число 1. Этот игрок будет победителем!
Например, для `N = 9,` игрок `A` может выбрать число 5 (заметьте, что он мог выбрать одно из чисел 5, 7 или 8); игрок `B` может затем выбрать число `3;` `A` вынужден выбрать число 2 (это его единственная возможность), и затем `B` выбирает 1 и выигрывает.
Определите, какой игрок имеет выигрышную стратегию, если
a) `N = 7;`
b) `N = 2016.`
Примечание. Два числа называют взаимно простыми, если у них нет общего делителя большего 1. Например, 9 и 6 не являются взаимно простыми числами, так как 3 --- их общий делитель.



@темы: Теория чисел

16:14 

Карл пишет

wpoms.
Step by step ...


Карл составляет список четырехзначных чисел по следующим правилам: сумма цифр числа должна быть равна 12, две цифры должны быть четными, а две другие --- нечетными. Например, число 2703 удовлетворяет эти условиям и должно быть включено в список. Помните, что число не может начинаться с ноля и что ноль чётен.
a) Какое ближайшее к 2016 число содержится в списке Карла?
b) Найдите сумму всех тех чисел в списке Карла, которые меньше 2016.



@темы: Про самолеты

22:47 

Группы чисел

wpoms.
Step by step ...


Целые числа от 1 до 99 разделены на $n$ групп так, что:
I - каждое число принадлежит только одной группе;
II- каждая группа содержит не менее двух чисел;
III- если два числа принадлежат одной группе, то их сумма не делится на 3.

a) Объясните, почему количество групп не может быть равно 50.
b) Чему равно наименьшее возможное количество групп?



@темы: Теория чисел

10:28 

Площадь

wpoms.
Step by step ...


Janaina рисовала последовательность фигур, как показано ниже. Каждая фигура имеет на один квадрат больше, чем предыдущая, и длина стороны добавленного квадрата равна длине диагонали большего квадрата предыдущей фигуры. Все квадраты каждой фигуры имеют общую вершину. Площадь квадрата на первом рисунке равна `2 cm^2.`



a) Чему равна площадь большего квадрата на рисунке 2?
b) Чему равна общая площадь фигуры 3?
c) Чему равна общая площадь фигуры 6?



@темы: Планиметрия

22:36 

Турнир

wpoms.
Step by step ...


Четыре команды провели турнир, в котором каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Победа приносила 3 очка, ничья - 1 очко, за поражение очки не начислялись. В этом турнире,
a) если победитель набрал 9 очков, занявший второе место - 6 очков и занявший третье - 3 очка, то сколько очков набрала четвертая команда?
b) если победитель набрал 5 очков, две другие команды по 3 очка, а последняя - два очка, то сколько игр закончилось вничью?



@темы: Комбинаторика

17:15 

Об экзамене по математике в высшую нормальную школу в Пизе

wpoms.
Step by step ...
За два века своего существования Высшая Нормальная Школа в Пизе (Scuola Normale Superiore, SNS, аналог Высшей нормальной школы - Ecole normale superieure, ENS — в Париже) заслужила репутацию одного из наиболее престижных и квотируемых высших учебных заведений и научно-исследовательских центров не только Италии, но и всего мира. Здесь лучшие из наиболее талантливых и подготовленных студентов получают прочные основы для дальнейшей научной деятельности в гуманитарной (филология, философия, история искусств, палеография, лингвистика, археология) или естественно-научной (математика, физика, химия, биология) областях.

При поступлении в Scuola Normale Superiore производится исключительно тщательный и по возможности максимально объективный отбор: уровень подготовки будущих учеников должен соответствовать запросам учебного процесса — поступившие должны обладать знаниями, позволяющими им поддержать статус «нормалистов» в течение всего cursus studiorum (времени обучения). Поэтому ежегодное общее количество мест (гуманитарии + естественники) в Scuola Normale Superiore очень невелико - всего около шестидесяти! Это не только гарантирует высокий уровень обучающихся, но и позволяет повысить само качество обучения за счет «семинарной» схемы проведения лекций и обеспечить постоянное пересечение и взаимопроникновение учебного и научно-исследовательского процессов.

Комиссия, состоящая из преподавателей Школы и других учебных заведений, оценивает абитуриентов, стараясь выявить способности к обучению и исследованиям. Интересно отметить, что при зачислении в Школу для достижения наибольшей объективности не учитываются никакие предыдущие титулы и «бонусы» конкурсантов - так, например, оценки за выпускные экзамены никак не влияют на результаты отбора.

Экзамены, письменные и устные, производятся в августе и сентябре, их содержание зависит от выбранной области - гуманитарной или естественно-научной. Здесь мы приводим задачи письменного экзамена по математике (область естественных наук) за 2016 г. и их решение. Продолжительность этого экзамена составляет 6 часов.

читать дальше

@темы: Задачи вступительных экзаменов

09:20 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Докажите: для любого натурального числа `n` существует `n`-значное натуральное число, все цифры десятичной записи которого равны только 1 или 2 такое, что оно делится на `2^n`.
Будет ли утверждение верно для систем счисления с основанием `4` или `6`?



@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная