Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
22:55 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором точка $H$ принадлежит всем высотам. Биссектриса угла $BHC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D.$ Точки $E$ и $F$ являются образами точки $D$ при осевой симметрии относительно прямых $AB$ и $AC.$ Докажите, что описанная окружность треугольника $AEF$ проходит через центр $G$ дуги $BAC.$



@темы: Планиметрия

21:59 

Нули и единицы

wpoms.
Step by step ...


Каждой последовательности, состоящей из $n$ нулей и $n$ единиц, ставится в соответствие число сегментов максимальной длины, состоящих из идущих подряд одинаковых цифр. (Например, в последовательности 00111001 есть 4 таких сегмента 00, 111, 00, 1.) Для данного $n$ мы суммируем числа, поставленные в соответствие всем таким последовательностям. Докажите, что полученное значение равно $(n+1)С_{2n}^{n}.$



@темы: Комбинаторика, Дискретная математика

19:26 

Функции

wpoms.
Step by step ...


Найдите все функции $f: R -> R$ такие, что для всех действительных чисел $x, y$ выполняется $f(y-xy) = f(x)y + (x-1)^2f(y).$



@темы: Функции

07:11 

55 Монгольская математическая олимпиада

wpoms.
Step by step ...
55 Монгольская математическая олимпиада: Задания для учителей



1. $p \ge 2$ анхны тоо ба $p$ тоотой харилцан анхны $a,$ $b$ натурал тоонууд өгөгдөв. $(a^{p-1}-1)+55(b^{p-1}-1)$ нийлбэр $p^2$-д хуваагддаг бол $(a^{p(p-1)}-1)+55(b^{p(p-1)}-1)$ нийлбэр $p^3$-д хуваагдана гэж харуул.

2. $0 < x_0 < 1$ ба $n \ge 1$ үед
$x^{2n-1}_n = x_{n-1}\cos x_n$
байдаг $\{x_n\}$ дарааллын хувьд $\{n(1-x_n)\}$ дараалал зааглагдсан гэж харуул.

3. $I$ төвтэй $\omega$ тойргийг багтаасан, $O$ төвтэй $\Omega$ тойрогт багтсан $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AC,$ $BD$ диагнолиуд $E$ цэгт огтлолцоно. $\omega$ тойрог $AD,$ $AB$ талуудыг харгалзан $P,$ $Q$ цэгүүдэд шүргэх ба $E$ цэгээс $PQ$ шулуунд буулгасан перпендикулярын суурь $T$ бол $AO$ ба $IT$ шулуунууд $\Omega$ тойрог дээр огтлолцоно гэж батал.



4. $a^2_1+ \dots + a^2_n$ нийлбэр $(a_1 + \dots + a_n)^2 - 1$ тоог хуваадаг байх $a_1,\dots, a_n$ натурал тоонууд олддог чанартай хамгийн бага натурал $n$ тоог ол.

5. Огторгуйд өгөгдсөн тэг биш 7 вектороос хоорондох өнцөг нь хурц байх хоёр вектор сонгож чадна гэж харуул.

6. Сондгой тоо $k$ ба бүхэл коэффициенттэй $k$ зэргийн $Q(X)$ олон гишүүнт өгөгдөв. Дурын бүхэл $n$ тооны хувьд $P(n) = Q(m)$ байх бүхэл $m$ тоо олддог чанартай бүх бодит коэффициенттэй $k$ зэргийн $P(X)$ олон гишүүнтийг ол.



@темы: Олимпиадные задачи

07:04 

Монгольская математическая олимпиада

wpoms.
Step by step ...
В прошлом учебном году состоялась 55 Монгольская математическая олимпиада.



Финальный (третий) этап олимпиады проводился в конце апреля - начале мая для младших (школьники 9-10 классов), старших (школьники 11-12 классов) и учителей средней школы. Участникам предлагались 6 заданий (два дня по 4 часа 30 минут).

Сайт: mmo.mn

@темы: Олимпиадные задачи

23:46 

Как бы про треугольник

wpoms.
Step by step ...


Найдите все пары действительных чисел $k, l$ такие, что неравенство
$ka^2 + lb^2 > c^2$
выполняется для длин сторон $a, b, c$ произвольного треугольника.



@темы: Теория чисел, Планиметрия

22:13 

Алмазы

wpoms.
Step by step ...


На столе лежат сто пронумерованных алмазов, среди них 50 настоящих и 50 фальшивых. Пригласили эксперта, который может отличить настоящий алмаз от фальшивого. Эксперту показывают три алмаза, он указывает на два из них и говорит, сколько среди выбранных алмазов настоящих --- два, один или ни одного. Определите, можно ли найти все настоящие алмазы вне зависимости от того, какие пары алмазов выбирает эксперт.



@темы: Дискретная математика

23:38 

Язык и математики

wpoms.
Step by step ...


Девять математиков встретились на международной конференции и оказалось, что среди любых трёх из них по крайней мере двое говорят на одном языке. Пусть каждый математик может говорить не более чем на трёх языках. Докажите, что по крайней мере три математика могут говорить на одном языке.



@темы: Дискретная математика

18:33 

Тетраэдр

wpoms.
Step by step ...


(a) Докажите, что если шесть углов между парами граней данного тетраэдра равны, то тетраэдр является правильным.
(b) Будет ли тетраэдр правильным, если равны пять пар таких углов?




@темы: Стереометрия

19:08 

Хорошее число

wpoms.
Step by step ...


Целое число $n$ назовём хорошим, если оно может быть представлено в виде $n=a_1+a_2+\cdots+a_k$, где $a_1,a_2, \ldots, a_k$ являются положительными (не обязательно различными) целыми числами, удовлетворяющими равенству
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} = 1.$
Известно, что целые числа от 33 до 73 являются хорошими. Докажите, что каждое целое число $\ge 33$ хорошее.




@темы: Теория чисел

07:26 

Там закопан клад

wpoms.
Step by step ...


$ABCD$ и $A'B'C'D'$ являются квадратными картами некоторой страны, выполненными в разных масштабах и наложенными так, как показано на рисунке. Докажите, что на меньшей карте имеется единственная точка $O$ такая, что она лежит на точке $O'$ большей карты и $O$ и $O'$ соответствуют одному и тому же месту страны. Постройте с помощью циркуля и линейки точку $O$.






@темы: Планиметрия

18:02 

Про максимум

wpoms.
Step by step ...


Пусть $a,b,c,d,e$ --- действительные числа такие, что
$a+b+c+d+e=8, \quad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16.$
Найдите максимальное значение $e$.



@темы: Задачи на экстремум, Рациональные уравнения (неравенства)

10:52 

Все на площадь

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике $ABC,$ с прямым углом $C,$ точка $F$ является общей для высоты $CD$ и биссектрисы $AE$, а точка $G$ лежит на $ED$ и $BF.$ Докажите, что площадь четырёхугольника $CEGF$ равна площади треугольника $BDG.$



@темы: Планиметрия

21:48 

И ты, Косинус!

wpoms.
Step by step ...


Найдите все действительные решения уравнения $x + \cos x = 1.$



@темы: Комбинированные уравнения и неравенства, Тригонометрия

23:24 

Корни полинома

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что уравнение $x^{19} + x^{17} = x^{16} + x^7 + a$ при всех $a \in \R$ имеет по крайней мере два мнимых корня.



@темы: Рациональные уравнения (неравенства), Теория многочленов

14:54 

Про квадратное уравнение

wpoms.
Step by step ...


Корни уравнения $ax^2 - 4bx + 4c = 0$ при $a > 0$ принадлежат интервалу $[2, 3].$ Докажите, что:
a) $a \leq b \leq c < a + b.$
b) $\dfrac{a}{a+c} + \dfrac{b}{b+a} > \dfrac{c}{b+c}.$}



@темы: Доказательство неравенств

20:43 

Иррациональное число

wpoms.
Step by step ...


Пусть $p$ и $q$ --- два целых положительных числа таких, что $1 \leq q \leq p$ и $a = ( p + \sqrt{p^2 + q} )^2.$
a) Докажите, что число $a$ иррационально.
b) Покажите, что ${a} > 0,75.$



@темы: Теория чисел

22:40 

Планиметрия

wpoms.
Step by step ...


Касательные, проведенные из четырех различных точек к дуге окружности меньшей $180^\circ$, формируют выпуклый четырёхугольник $ABCD.$
Докажите, что две его вершины принадлежат эллипсу, фокусы которого совпадают с двумя другими вершинами.



@темы: Планиметрия, Линии второго порядка

20:23 

Сумма цифр

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что не существует натурального числа $n$ такого, что сумма всех цифр числа $m,$ где $m = n(2n-1)$, равна 2000.



@темы: Теория чисел

17:16 

В квадрате

wpoms.
Step by step ...


Дан квадрат $ABCD$. На сторонах $BC$ y $CD$ соответственно выбраны точки $M$ и $K$ так, что $MC = KD.$ Точка $P$ принадлежит отрезкам $MD$ и $BK.$ Докажите, что $AP\perp MK.$



@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная