Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
09:10 

Двадцать одно

wpoms.
Step by step ...


Есть 40 карточек, на двух из них написано число 1, еще на двух --- число 2, \ldots, еще на двух --- число 20. Какое наибольшее возможное количество комплектов возможно одновременно создать из этих 40 карточек так, чтобы в каждом комплекте было три карточки и сумма всех чисел комплекта была равна 21?



@темы: Теория чисел

16:03 

Не простое

wpoms.
Step by step ...


Дано простое число, десятичная запись которого содержит по меньшей мере 4 различные цифры. Докажите, что его цифры можно переставить в другом порядке так, чтобы полученное число не было простым.



@темы: Теория чисел

14:57 

Шифр

wpoms.
Step by step ...


Все цифры в десятичной записи натурального числа заменили на буквы, одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, разные --- разными и получили `GANGA.` Известно, что при делении `GANGA` на 7 в остатке получается `A,` при делении `GANGA` на 11 в остатке получается `N,` при делении `GANGA` на 13 в остатке получается `G,` кроме того, `G > A > N.` Каким может быть оригинальное число?



@темы: Теория чисел

19:30 

Сумма

wpoms.
Step by step ...


Сумма 63 различных натуральных чисел равна 2017. Найдите эти числа и обоснуйте, что других нет!



@темы: Теория чисел

06:44 

Наибольшее значение

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a_1, \ a_2, \ ldots, \ a_{2017}` - неотрицательные действительные числа такие, что `a_1 + a_2 + ldots + a_{2017} = 1`. Какое наибольшее значение может принимать выражение
`( a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_{2017}}{2017} )^2 * (a_1 + 2*a_2 + 3*a_3 + \ldots + 2017*a_{2017})`?





@темы: Теория чисел, Рациональные уравнения (неравенства)

10:35 

Полный квадрат

wpoms.
Step by step ...


Найдите все простые `p` такие, что `p^3-4p+9` является квадратом натурального числа.



@темы: Теория чисел

17:36 

Подходящие числа

wpoms.
Step by step ...


Натуральное число `m` называется подходящим, если для любых натуральных чисел `a` и `b` число `a^{2m} + b^{2m} + a^mb^m` делится на `a^2 + b^2 + ab.`
a) Докажите, что число 2 является подходящим.
b) Является подходящим число 100?
c) Является подходящим число 101?
d) Найдите все подходящие числа.



@темы: Теория чисел

21:03 

Числа

wpoms.
Step by step ...


Найдите все действительные числа `x`, удовлетворяющие условию: если для действительных чисел выполняется неравенство
`0 < a \leq b \leq c < a + b,`

то выполняется и
`x + c \leq (x + a)(x + b).`




@темы: Теория чисел, Рациональные уравнения (неравенства)

13:00 

Магический квадрат?

wpoms.
Step by step ...


В таблице `7 xx 7` ячеек записаны действительные числа, причём в каждом квадрате `3 xx 3` и в каждом квадрате `4 xx 4` ячейки произведение всех чисел равно одному и тому же числу `S.` Может ли (при каком-то значении `S`) произведение всех чисел таблицы быть равно 2017?



@темы: Теория чисел

20:24 

Почти как муха между паравозами

wpoms.
Step by step ...


Пусть `AB` - отрезок длины 1. Несколько частиц начинают двигаться одновременно с постоянными скоростями от `A` к `B.` Как только частица достигает `B,` она поворачивается и продолжает движение в направлении `A.` Когда она достигает `A,` она начинает двигаться к `B,` и так далее до бесконечности.
Найдите все рациональные числа `r>1` такие, что существует момент времени `t`, про который известно, что для каждого `n >= 1`, если `n+1` частица движется с постоянными скоростями 1, `r`, `r^2`, ..., `r^n` так как это описано выше, то в некоторый момент времени `t` все они будут находиться в одной внутренней точке отрезка `AB.`



@темы: Физика (тема закрыта, Теория чисел, Прогрессии, Планиметрия

02:32 

Простенькое `p`

wpoms.
Step by step ...


$a$ и $b$ --- рациональные числа такие, что $a + b = a^2 + b^2.$ Допустим, что $s = a + b = a^2 + b^2$ не целое и запишем его в виде несократимой дроби: $s = m/n.$ Пусть $p$ будет наименьшим простым делителем $n.$ Найдите наименьшее значение $p.$



@темы: Теория чисел

19:52 

Суммы

wpoms.
Step by step ...


Пусть $m\geq3$ --- целое число и $S(m) = 1 + 1/3 + \ldots + 1/m$ (дробь 1/2 не входит в сумму, а дроби $1/k$ --- входят для всех $k$ от 3 до $m$). Пусть $n\geq 3$ и $k\geq3.$ Сравните $S(nk)$ и $S(n) + S(k).$



@темы: Теория чисел

22:20 

НОД

wpoms.
Step by step ...


Для каждой пары $a,$ $b$ взаимно простых натуральных чисел определим $d_{a,b}$ как наибольший общий делитель $51a + b$ и $a + 51b.$ Найдите наибольшее возможное значение $d_{a,b}.$
Пояснение: $a$ и $b$ являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.



@темы: Теория чисел

20:05 

Минимальная сумма цифр

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим сто чисел - $199,$ $199^2,$ $199^3,$ $199^4,$ ..., $199^{100}.$ Для каждого из них вычисляется сумма цифр.
Определите минимальное из 100 вычисленных значений.



@темы: Теория чисел

20:24 

Баскетбол

wpoms.
Step by step ...



В баскетболе коэффициентом эффективности игрока называют отношение заброшенных со штрафных мячей к общему количеству выполненных штрафных бросков. В конце первой половины игры коэффициент эффективности Метью был меньше 3/4, в в конце игры больше 3/4. Можно ли с уверенностью утверждать, что в некоторый момент времени его коэффициент эффективности был равен точно 3/4? Ответьте на тот же вопрос для 3/5 вместо 3/4.




@темы: Теория чисел

22:36 

Целочисленные тройки

wpoms.
Step by step ...


Найдите все целочисленные тройки `(a,b,c)` такие, что `a > 0 > b > c` и их сумма равна 0 при условии, что
`N=2017-a^3b-b^3c-c^3a`

является квадратом целого числа.



@темы: Теория чисел

21:58 

Что-то гармоническое

wpoms.
Step by step ...


Найдите все такие положительные целые числа`a`, `b` и простые числа `p` такие, что
`\frac{1}{p} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}`.



@темы: Теория чисел

01:20 

Наибольшее

wpoms.
Step by step ...


Пусть $n \geq 2$ --- натуральное число. Для каждого $n$-элементного подмножества $F$ множества $\{1, \ldots, 2n\},$ определим $m(F)$ как минимум всех НОК$(x, y),$ где $x$ и $y$ --- два различных элемента $F.$ Найдите наибольшее значение, которое может принимать $m(F).$



@темы: Теория чисел

07:37 

C6, квадраты чисел

Здравствуйте всем.

Решая задачу C6 из Открытого банка заданий ЕГЭ пришел к другой задаче, которую достаточно долго ;-) не могу решить. Итак, производная задача.

Можно ли разбить квадраты последовательных натуральных чисел `1,4,9,...,(N-1)^2,N^2` на две группы так, чтобы суммы чисел в каждой группе были равными, если: а) N=49; б) N=40?

Она в принципе решается?
Откуда это взято?
Может, это какая-то известная задача?

Кроме
А. Канель, А. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи

Р. М. Федоров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко. Московские математические олимпиады
какую книгу порекомендовали бы лично Вы?

читать дальше

В общем, смотри мои вопросы выше. Спасибо.

@темы: ЕГЭ, Олимпиадные задачи, Посоветуйте литературу!, Теория чисел

19:29 

На окружности

wpoms.
Step by step ...


На окружности выбраны `2*n` различных точек. Числа от `1` до `2*n` случайным образом распределены по всем этим точкам. Каждая точка соединена отрезком ровно с одной другой точкой так, что проведенные отрезки не пересекаются. Отрезку, соединяющему числа `a` и `b`, сопоставляется значение `|a - b|`. Покажите, что возможно соединить точки описанным выше способом так, чтобы сумма значений, сопоставленных всем отрезкам, была равна `n^2`.



@темы: Комбинаторика, Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная