• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
10:27 

Обратный элемент в поле вычетов

Добрый день!
Подскажите, пожалуйста, почему в поле `Z_p` обратный элемент имеет вид `a^(-1) = a^(p-2)`. Насколько я понимаю, используется МТФ, но вывести данную формулу не могу. Спасибо

@темы: Высшая алгебра, Теория чисел

21:11 

Целое и делит

wpoms.
Step by step ...


Пусть `x` - вещественное число такое, что `t = x + x^{-1}` - целое, большее `2`, число. Докажите, что `t_n = x^n + x^{-n}` является целым числом для всех положительных целых чисел `n`. Определите значения `n`, для которых `t` делит `t_n`.



@темы: Теория чисел

21:42 

Кратно и квадратно

wpoms.
Step by step ...


Положительные целые числа `p`, `a` и `b` удовлетворяют уравнению `p^2 + a^2 = b^2`. Докажите, что если `p` является простым и `p > 3`, то `a` кратно` 12` и `2*(p + a + 1)` является полным квадратом.



@темы: Теория чисел

01:18 

Непредставительные числа

wpoms.
Step by step ...


Число `1000` может быть записано как сумма `16` последовательных натуральных чисел: `1000 = 55 + 56 + ... + 70`. Найдите все натуральные числа, которые не могут быть записаны как сумма двух или более последовательных натуральных чисел.



@темы: Теория чисел

22:54 

Целая часть числа

wpoms.
Step by step ...


Обозначим для всех действительных чисел `x` наибольшее целое число, меньшее или равное `x` как `lfloor x rfloor`. Пусть `alpha = 2 + sqrt(3)`. Докажите, что `alpha^n - lfloor alpha^n rfloor = 1 - alpha^{-n}`, для `n = 0,1, 2, .. .`



@темы: Теория чисел

17:05 

Произведение простых чисел

wpoms.
Step by step ...


Предположим, что `n` равно произведению различных простых чисел `a`, `b`, `c`, `d` таких, что:
(a) `a + c = d`;
(b) `a*(a + b + c + d) = c*(d - b)`;
(c) `1 + b*c + d = b*d`.
Найдите `n`.



@темы: Теория чисел

10:17 

wpoms.
Step by step ...


Таблица размером `3 times n` заполняется следующим образом: в первой строке записаны числа от `1` до `n`, упорядоченные по возрастанию слева направо. Вторая строка получена из первой циклическим сдвигом, то есть в этом ряду записаны числа `i, i + 1, . . . , n - 1, n, 1, 2, . . . , i - 1` для некоторого `i`. В третьей строке записаны в некотором порядке числа от `1` до `n`, при этом сумма чисел в каждой из `n` колонок одна и та же.
Для каких значений `n` возможно заполнение таблицы по указанным выше правилам? Для тех `n`, для которых это возможно сделать, определите количество различных способов заполнить таблицу.



@темы: Теория чисел

18:07 

Натуральные числа. Прошу любить и жаловать

wpoms.
Step by step ...


Последовательность `a_1, a_2, a_3, a_4,...` определяется соотношениями `a_1 = 1`, `a_2 = 1`, `a_3 = 1` и `a_{n+1}*a_{n-2} - a_{n}*a_{n-1} = 2`, для всех `n >= 3`. Докажите, что `a_n` является натуральным числом для всех `n >= 1`.



@темы: Теория чисел

22:36 

Тройки

wpoms.
Step by step ...


Найдите все тройки натуральных чисел `(p, q, n)` (`p` и `q` простые), удовлетворяющие равенству
`p*(p + 3) + q*(q + 3) = n*(n + 3)`.




@темы: Теория чисел

21:58 

НОК

wpoms.
Step by step ...


Giraldo написал пять различных натуральных чисел в вершинах пятиугольника. Затем он написал на каждой стороне наименьшее общее кратное чисел, которые записаны в концах этих сторон, после чего он заметил, что все пять чисел, написанных на сторонах равны. Какое наименьшее число могло быть написано на стороне пятиугольника?



@темы: Теория чисел

20:28 

Делимость числа

Добрый вечер!

Есть задача: доказать, что произведение трёх последовательных натуральных чисел, среднее из которых является кубом натурального числа, делится на `504`.

Идей как-то совсем нет, разве что само условие переписал как: `(b^3-1)*b^3*(b^3+1)`. Ну и `504` это`2*2*2*3*3*7`.
Но вот что делать дальше? Использовать какие-нибудь теоремы о НОД? Или может у кубов есть какие-то особенные свойства делимости?

Помогите, пожалуйста.

@темы: Теория чисел

08:35 

Число в степени

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что существует положительное целое `N` такое, что десятичное представление числа `2000^N` начинается с `200120012001`.



@темы: Теория чисел

21:31 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a_0 = 4`, а последующие члены последовательности вычисляются по формуле `a_n = a_{n - 1}^2 - a_{n - 1}` для всех натуральных чисел `n`.
а) Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, которые являются делителем хотя бы одного члена последовательности;
б) Существует ли бесконечно много простых чисел, которые не являются делителем ни одного члена последовательности?



@темы: Теория чисел

23:36 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Число `A` в десятичной системе записывается `3^{2013}` цифрами `3`. Другие цифры в десятичной записи числа `A` не используются. Найдите самое большое натуральное число `n` такое, что `3^n` делит число `A`.



@темы: Теория чисел

14:47 

Что больше?

Что больше `100^(300)` или `300!`?
Пытаюсь написать дробь: `(300*299*298....*100*99*...*1)/(100*...*100)`
Вообще пытаюсь доказать, что дробь больше единицы. Понятно, что со множителями `300,299,...,100` проблем нет, а вот дальше проблема возникает с оставшимися `99,98...1`. Я сначала подумал, что у нас все равно 200 превосходящих множителей, так что они перебьют, но как бы не так. Как оказалось: `(100+m)(100-m)<100^2` То есть если взять `99` в паре с `101`, то даже их произведение, деленное на 100^2 будет меньше единицы.
Подскажите как это решить. Задачка то простая, но никак не могу довести решение

@темы: Теория чисел

10:16 

Подмножества

wpoms.
Step by step ...


Из множества `F={1,2,...,100}` выбрано произвольное `10`-ти элементное подмножество `G`. Докажите, что существуют два непустых непересекающихся подмножества `S` и `T` множества `G` суммы элементов которых равны.



@темы: Множества, Теория чисел

14:58 

Делимость

Нужно доказать, что число `y^2/(y-1)` не является целым для любого положительного целого игрек, кроме случая `y=2`.
Я как доказывал: есть `y` нечетное, то, очевидно, делится не будет.
Теперь пусть `y` четное. Тогда пусть `y^2/(y-1)=x`, отсюда `y^2-xy+x=0` => `D=x^2-4x`. Дискриминант должен быть целом, то есть `x^2-4x=k^2` => `x^2-4x-k^2=0`, снова дискриминант: `sqrt(D)=2*sqrt(4+k^2)`. А этот корень нельзя вычислить, так как расстояние между двумя квадратами не может быть равно 4 (кроме случая 0 и 4)
Но мне кажется это слишком сложным док-вом. Можно ли что-то проще?

@темы: Теория чисел

18:28 

Сумма произведений

wpoms.
Step by step ...


João вычислил произведение ненулевых цифр каждого целого числа от 1 до 10^2009. После этого он сложил эти 10^2009 произведений. Какое число получил João?



@темы: Теория чисел

18:57 

Встаньте числа, встаньте в круг

wpoms.
Step by step ...


Окружность разделена на `n` равных частей. В каждой из этих частей было записано одно из чисел от `1` до `n` так, что расстояния между соседними по величине числами одинаковы. Числа `11`, `4` и `17` записаны в последовательных частях окружности. На сколько частей разделена окружность?



@темы: Теория чисел

09:06 

Множество

wpoms
Step by step ...
Множество A состоит из натуральных чисел, причем 1) 1 принадлежит A, 2) если a принадлежит A, то и 2a + 1 принадлежит A; 3) если 3a + 1 принадлежит A, то a принадлежит A. Верно ли, что множеству A принадлежит
а) число 42;
б) число 8;
в) произвольное натуральное число?
% Р.П. Ушаков

@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная