Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
21:58 

Что-то гармоническое

wpoms.
Step by step ...


Найдите все такие положительные целые числа`a`, `b` и простые числа `p` такие, что
`\frac{1}{p} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}`.



@темы: Теория чисел

01:20 

Наибольшее

wpoms.
Step by step ...


Пусть $n \geq 2$ --- натуральное число. Для каждого $n$-элементного подмножества $F$ множества $\{1, \ldots, 2n\},$ определим $m(F)$ как минимум всех НОК$(x, y),$ где $x$ и $y$ --- два различных элемента $F.$ Найдите наибольшее значение, которое может принимать $m(F).$



@темы: Теория чисел

07:37 

C6, квадраты чисел

Здравствуйте всем.

Решая задачу C6 из Открытого банка заданий ЕГЭ пришел к другой задаче, которую достаточно долго ;-) не могу решить. Итак, производная задача.

Можно ли разбить квадраты последовательных натуральных чисел `1,4,9,...,(N-1)^2,N^2` на две группы так, чтобы суммы чисел в каждой группе были равными, если: а) N=49; б) N=40?

Она в принципе решается?
Откуда это взято?
Может, это какая-то известная задача?

Кроме
А. Канель, А. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи

Р. М. Федоров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко. Московские математические олимпиады
какую книгу порекомендовали бы лично Вы?

читать дальше

В общем, смотри мои вопросы выше. Спасибо.

@темы: ЕГЭ, Олимпиадные задачи, Посоветуйте литературу!, Теория чисел

19:29 

На окружности

wpoms.
Step by step ...


На окружности выбраны `2*n` различных точек. Числа от `1` до `2*n` случайным образом распределены по всем этим точкам. Каждая точка соединена отрезком ровно с одной другой точкой так, что проведенные отрезки не пересекаются. Отрезку, соединяющему числа `a` и `b`, сопоставляется значение `|a - b|`. Покажите, что возможно соединить точки описанным выше способом так, чтобы сумма значений, сопоставленных всем отрезкам, была равна `n^2`.



@темы: Комбинаторика, Теория чисел

20:35 

Множество рациональных чисел

IWannaBeTheVeryBest
Доказать, что не существует таких рациональных `a,b,c,d`, что
`(a + bsqrt(3))^4 + (c + dsqrt(3))^4 = 4 + 3sqrt(3)`
Можете подсказать литературку какую-нибудь, что могло бы натолкнуть на мысль, как тут действовать.
Сейчас буду гуглить свойства рациональных чисел. Но ощущение, что вряд ли это настолько тривиально

@темы: Теория чисел

18:13 

Интересные рядом

wpoms.
Step by step ...


Последовательность `a_n`, состоящая из натуральных чисел, определяется равенствами `a_1 = m` и `a_n = a_{n-1}^2 + 1` при `n > 1`.
Пара `(a_k, a_l)` называется интересной, если
(i) `0 < l - k < 2016`
(ii) `a_k` делит `a_l`.
Покажите, что существует такое `m`, что в последовательности `a_n` нет интересных пар.



@темы: Теория чисел

18:30 

Теория чисел. Корень многочлена и алгебраичность числа

IWannaBeTheVeryBest
Первую задачу я просто хочу проверить - прав я или нет.
"Проверить, является ли число алгебраическим?
`2sqrt(3) + 3sqrt(2)i`"
Число является алгебраическим, если оно является корнем какого-то многочлена с рациональными коэффициентами. Также, множество алгебраических чисел - поле.
Значит достаточно рассмотреть по отдельности каждое число.
1) `i` - алгебраическое: `x^2 + 1 = 0`
2) `3sqrt(2)` - алгебраическое: `x^2 - 18 = 0`
3) `2sqrt(3)` - алгебраическое: `x^2 - 12 = 0`
Значит исходное число - алгебраическое.
Вот со второй - проблемы.
"a - корень многочлена `x^3 + 2x + 7 = 0`. Корнем какого многочлена является число `a^2 + a - 3`?"
Пока из идей, только решить грубо
`(x - a)(x - b)(x - c) = (x^2 - x(a + b) + ab)(x - c) = x^3 - x^2(c + a + b) + x(ab + bc + ac) - abc`
И тупо система
`{(a + b + c = 0), (ab + bc + ac = 2), (-abc = 7):}`
Находим `a`, (хотя наверное любой другой корень тоже подойдет, но наверное имеется ввиду, что a - действительный корень, а остальные будут комплексными), подставляем в `a^2 + a - 3`, и находим простой многочлен, для которого это будет являться корнем.
А если имеется ввиду, что нужно найти такой многочлен, у которого корнями будут `a^2 + a - 3`, `b^2 + b - 3`, `c^2 + c - 3`, то это тоже будет несложно сделать.
Но наверняка это слишком грубо и сложно. Наверное можно быстрее.

@темы: Теория чисел

23:45 

Уравнение с бесконечным корнем

IWannaBeTheVeryBest
Прошу прощения за мой скудный словарный запас, но я не знал, как еще это назвать. Как эти уравнения называются
`sqrt(2 + xsqrt(2 + xsqrt(2 + \dots))) = x + 1`
Хоть найти как решаются, а то не гуглится, ибо не знаю, как точно назвать.

@темы: Теория чисел

21:25 

Не все простые

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `n`, для которых найдутся простые числа `p`, `q` такие, что выполняется равенство
`p(p+1) + q(q+1) = n(n+1)`.




@темы: Теория чисел

11:23 

Теория чисел. Интересная системка :)

IWannaBeTheVeryBest
"Решить в натуральных числах систему
`x + y = 884`
`[x,y] = 189(x,y) `"
В квадратных скобках НОК, в круглых - НОД.
Ну вообще, решением в натуральных числах первого уравнения будет система
`{(x = n),(y = 884 - n):}`, `n \in {1 \dots 883}`
или
`{(x = 884 - n),(y = n):}`
Второе уравнение домножил на `(x, y)`. Получил
`xy = 189(x, y)^2`
Можно еще преобразовать. Если `(x, y) = d`, то существуют такие целые a и b, что `ax + by = d`. Отсюда
`xy = 189(ax + by)^2`
Вообще, я здесь уперся в идею, что `xy` должно быть кратно `189`.
Из 883 чисел нам подходят те, которые, как минимум, делятся на 7.
Еще что... Ну по-сути задачу можно переписать в виде
"Найти все натуральные `n` из диапазона `1 \dots 883`, такие что `(884 - n)*n` кратно `189`"
Может еще какие идеи есть?

@темы: Теория чисел

23:03 

Простые числа

IWannaBeTheVeryBest
"Найти все простые `p`, такие, что `3p + 20` и `3p + 22` тоже простые"
Ну любое простое число представимо в виде
`p = 6k +- 1`, `k \in Z`
Подставим в наши выражения
`3(6k + 1) + 20 = 18k + 23 = 6 * 3k + 6 * 4 - 1 = 6(3k + 4) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k - 1) + 20 = 18k + 17 = 6 * 3k + 6 * 3 - 1 = 6(3k + 3) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k + 1) + 22 = 18k + 25 = 6 * 3k + 6 * 4 + 1 sim 6q + 1`
`3(6k - 1) + 22 = 18k + 19 = 6 * 3k + 6 * 3 + 1 sim 6q + 1`
Проблема только в том, что простое число лишь представимо в таком виде. Однако `6k + 1` не всегда является простым. Если `k = 4` то это составное число.
То есть я тут как бы доказал, что если мы подставим в `3p + 20` любое простое число, то мы будем получать числа вида `6k - 1`, не обязательно простые.

@темы: Теория чисел

13:23 

Теория чисел. Системы счисления.

IWannaBeTheVeryBest
"На какую цифру оканчивается число `32^101 + 35^301` в 15-чной системе счисления?"
Вроде знаю как решать. Чисто проверить верно или нет.
Изначально число дано в 10 системе счисления. Для перевода числа из десятичной в любую другую, мы делим данное число на основание системы ну и дальше составляем ответ из одного значения частного, и остальных остатков. По сути задачу можно переопределить так
"Найти остаток от деления `32^101 + 35^301` на 15"
Так как `32 = 15 * 2 + 2`, то можно сделать преобразование
`32^101 -= 2^101`
Дальше по теореме Эйлера
$a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod n)$, где `(a, n) = 1`
В таком случае, $2^{\phi(15)} \equiv 2^8 \equiv 1(mod 15)$
Тогда
`2^101 -= 2^96 * 32 -= (2^8)^12 * 32 -= 32` $\equiv 2 (mod 15)$
Второе слагаемое делится на 5, но не делится на 3. Поэтому нам надо найти остаток от деления `35^301/3`. Кстати, можно ли тут искать остаток `7^301/3`?
`35^301 -= 2^301`
Дальше по теореме Эйлера
$2^2 \equiv 1 (mod 3)$
`2^301 -= (2^2)^150 * 2 -= 2` $\equiv 2 (mod 3)$
Сумма остатков = 4. Ответ 4.

@темы: Теория чисел

20:55 

Теория чисел. Отношение сравнимости.

IWannaBeTheVeryBest
Вопрос чисто формальный. Чем отличается отрицательный остаток от положительного? Ну вот у меня задача
`f(x) = 15x^3 - 33x^2 + 7`. Найти остаток от деления `f(86)` на `11`.
Ну решение такое.
Вычисляем для коэффициентов остатки от деления на 11
$15 \equiv 4 (mod 11)$; $33 \equiv 0 (mod 11)$; $7 \equiv -4 (mod 11)$
Ну и еще $86 \equiv -2 (mod 11)$
$f(86) \equiv f(-2) (mod 11) \equiv 4 * (-2)^3 - 0 - 4 \equiv -36 \equiv -3 \equiv 8 (mod 11)$
И ответ получается 8. А почему бы нам не написать, что
$-36 \equiv -3 (mod 11)$ и не сказать, что ответ -3, а не 8? Или большой разницы нет? просто привычка еще с тригонометрии - брать меньший угол, поэтому как-то на автомате хочется взять число, меньшее по модулю :)

@темы: Теория чисел

22:56 

Теория чисел. Функция Эйлера.

IWannaBeTheVeryBest
`\phi(x) = 2`
В учебнике дано решение, но я его не могу понять никак. Просто на первой фразе встал.
"`x` обладает каноническим разложением. `x = p_1^{a_1} * \dots * p_k^{a_k}`. При этом `\phi(x) = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Пусть `\phi(x) = 2^m*l`, где `l` - нечетное. Поскольку для нечетного простого числа `p` величина `p - 1` четна, то в каноническом разложении `x` имеется не более `m` нечетных простых множителей." (дальше попробую сам понять)
Не понимаю причинно следственную связь. Как из одного вытекает другое. Все, что удалось мне выжать
`2^m * l` четное число.
`2^m * l = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Ну и понятно, что в последнем равенстве, справа не все множители нечетные.

@темы: Теория чисел

22:21 

Теория чисел. Остатки

IWannaBeTheVeryBest
"Доказать, что квадрат любого целого числа не представим в виде `4k + 2` где `k \in Z`"
Решал так. Ну предположим, что у нас есть некоторое число `a = 4q + r`. `0 <= r < 4`, `q \in Z`. Тогда `a^2 = (4q + r)^2 = 16q^2 + 8qr + r^2`.
1) `r = 0`
`a^2 = 16q^2 = |k = 4q| = 4k`
2) `r = 1`
`a^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 4q(4q + 2) + 1 = |k = q(4q + 2)| = 4k + 1`
3) `r = 2`
`a^2 = 16q^2 + 16q + 4 = 4(4q^2 + 4q + 1) = |k = 4q^2 + 4q + 1| = 4k`
4) `r = 3`
`a^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 4q(4q + 6) + 8 + 1 = 4(q(4q + 6) + 2) + 1 = |k = q(4q + 6) + 2| = 4k + 1`
Соответственно, квадрат любого числа представим либо в виде `4k` либо в виде `4k + 1`.
Верно? Если да, то меня стал мучить такой вопрос.
`a^2 \neq 4k + 2 = 2(2k + 1)`
`a \neq +- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`
То есть, по сути, здесь говорится, что так как `a` - целое и оно неравно `+- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`, то вообще говоря последнее не является целым числом.
Вопрос такой. А где-то действительно есть такая теоремка, что произведение нечетного числа на двойку есть число из которого не извлекается квадратный корень? ну или квадратный корень произведения двойки на нечетное число есть число иррациональное? Или это слишком примитивно? :D Просто я сомневаюсь, что я открыл что-то новое.
Однако с ходу не могу придумать этому доказательства.

@темы: Теория чисел

21:40 

"Давай делиться"

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `x, y` такие, что `y` делит `(x^2 + 1)` и `x^2` делит `(y^3 + 1)`.



@темы: Теория чисел

11:05 

Найти первообразный корень (mod 2*5^5)

Я посмотрела в интернете, как такое примерно делать. Но не уверена в правильности моего решения.
Итак, сначала ищу первообразный корень по модулю 5^5:
1) 2 - первообразный корень по модулю 5
2) тогда число вида (2+5t)^4 не должно быть сравнимо с 1 по модулю 25. При t=0, 2^4 не сравнимо с 1 по модулю 25
3) значит, 2 - первообразный корень по mod5^s, где s>=2 (Не уверена...можно ли так обобщать для всех случаев s>=2??)
4) пользуясь теоремой, получаю, что 2+5^5 - нечетное число. Значит, оно является первообразным корнем (mod 2*5^5).

@темы: Теория чисел

10:27 

Обратный элемент в поле вычетов

Добрый день!
Подскажите, пожалуйста, почему в поле `Z_p` обратный элемент имеет вид `a^(-1) = a^(p-2)`. Насколько я понимаю, используется МТФ, но вывести данную формулу не могу. Спасибо

@темы: Высшая алгебра, Теория чисел

21:11 

Целое и делит

wpoms.
Step by step ...


Пусть `x` - вещественное число такое, что `t = x + x^{-1}` - целое, большее `2`, число. Докажите, что `t_n = x^n + x^{-n}` является целым числом для всех положительных целых чисел `n`. Определите значения `n`, для которых `t` делит `t_n`.



@темы: Теория чисел

21:42 

Кратно и квадратно

wpoms.
Step by step ...


Положительные целые числа `p`, `a` и `b` удовлетворяют уравнению `p^2 + a^2 = b^2`. Докажите, что если `p` является простым и `p > 3`, то `a` кратно` 12` и `2*(p + a + 1)` является полным квадратом.



@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная