Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
20:35 

Делится на семь

wpoms.
Step by step ...


Дано ненулевое целое число $k.$ Докажите, что равенству $k = (x^2 - xy + 2y^2)/(x + y)$ удовлетворяет нечётное количество упорядоченных пар целых чисел $(x, y),$ только когда $k$ делится на семь.



@темы: Теория чисел

23:46 

Как бы про треугольник

wpoms.
Step by step ...


Найдите все пары действительных чисел $k, l$ такие, что неравенство
$ka^2 + lb^2 > c^2$
выполняется для длин сторон $a, b, c$ произвольного треугольника.



@темы: Теория чисел, Планиметрия

19:08 

Хорошее число

wpoms.
Step by step ...


Целое число $n$ назовём хорошим, если оно может быть представлено в виде $n=a_1+a_2+\cdots+a_k$, где $a_1,a_2, \ldots, a_k$ являются положительными (не обязательно различными) целыми числами, удовлетворяющими равенству
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} = 1.$
Известно, что целые числа от 33 до 73 являются хорошими. Докажите, что каждое целое число $\ge 33$ хорошее.




@темы: Теория чисел

20:43 

Иррациональное число

wpoms.
Step by step ...


Пусть $p$ и $q$ --- два целых положительных числа таких, что $1 \leq q \leq p$ и $a = ( p + \sqrt{p^2 + q} )^2.$
a) Докажите, что число $a$ иррационально.
b) Покажите, что ${a} > 0,75.$



@темы: Теория чисел

20:23 

Сумма цифр

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что не существует натурального числа $n$ такого, что сумма всех цифр числа $m,$ где $m = n(2n-1)$, равна 2000.



@темы: Теория чисел

15:13 

Квадраты чисел

wpoms.
Step by step ...


Пусть $n$ --- целое положительное число.

a) Докажите, что $(2n+1)^3 - (2n-1)^3$ можно представить в виде суммы трёх квадратов целых чисел.

b) Докажите, что $(2n+1)^3-2$ можно представить в виде суммы $3n-1$ квадратов целых чисел больших 1.



@темы: Теория чисел

22:11 

Числа в таблице

wpoms.
Step by step ...


В каждой ячейке таблицы $3 \times 3$ записано действительное число. Число в стоящей на пересечении $i$-ой строки и $j$-го столбца клетке равно модулю разности суммы чисел в столбце $j$ и суммы чисел в строке $i.$ Докажите, все числа в таблице равны сумме или разности двух других чисел таблицы.



@темы: Теория чисел

21:13 

Пары чисел

wpoms.
Step by step ...


Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $2a^b = ab + 3.$



@темы: Теория чисел, Рациональные уравнения (неравенства)

22:16 

Дробь

wpoms.
Step by step ...


Для какого количества положительных целых чисел $n,$ $n \leq 2015,$ дробь $\dfrac{3n - 1}{2n^2 + 1}$ несократима?



@темы: Теория чисел

19:42 

Пары чисел

wpoms.
Step by step ...


Найдите все пары положительных целых чисел $a$ и $b$ таких, что $a - b = 101$ и $ab$ является квадратом целого числа.



@темы: Теория чисел

19:01 

Скажи квадратам "нет"

wpoms.
Step by step ...


Дана последовательность $(a_n)_{n \geq 0}$ рациональных чисел такая, что $a_0 = 2016$ и $a_{n+1} = a_n + \frac{2}{a_n}$ для всех $n \geq 0.$
Покажите, что последовательность не содержит квадратов рациональных чисел.



@темы: Теория чисел

17:40 

Неравенство и факториалы

wpoms.
Step by step ...


(a) Докажите, что $[5x]+[5y]\ge [3x+y]+[3y+x],$ где $x,y\ge 0$, а $[u]$ обозначает наибольшее целое число, которое не превосходит $u$ (например, $[\sqrt{2}]=1$).

(b) Используя (a) или что-либо другое, докажите, что $\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$ является целым для любых натуральных $m$ и $n$.



@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел

01:41 

Факториалы

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `m` такие, что `1! * 3! * 5! * ldots * (2m-1)! = (\frac{m(m+1)}{2})!`.



@темы: Теория чисел

22:41 

Пятёрочка

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что множество положительных целых чисел `ZZ^+ = \{1,2,3,...\}` можно представить в виде суммы пяти попарно различных подмножеств таких, что каждая пятерка чисел `(n, \ 2n, \ 3n, \ 4n, \ 5n)`, где `n \in ZZ^+`, содержит ровно по одному числу из каждого из этих пяти подмножеств.



@темы: Теория чисел, Множества

04:02 

Про числа

wpoms.
Step by step ...


Даны простое число `p > 2` и числа `x,y \in \{ 1, 2, \ldots , {p - 1}/{2} \}`. Докажите, что если число `x*( p - x)*y*( p - y)` является квадратом целого числа, то `x = y`.



@темы: Теория чисел

12:42 

Квадрат числа

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех простых чисел $p>2$ существует ровно одно положительное целое число $n$ такое, что $n^2+np$ является квадратом целого числа.



@темы: Теория чисел

17:52 

Не прогрессия

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что кубические корни из трех различных простых чисел не могут быть членами (не обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии.



@темы: Прогрессии, Теория чисел

14:06 

Последовательности

wpoms.
Step by step ...


Пусть `{X_n}` и `{Y_n}` — две целочисленные последовательности, такие, что:
`X_0=1`, `X_1=1`, `X_{n+1}=X_n+2X_{n-1}` `(n=1,2,3,...),`
`Y_0=1`, `Y_1=7`, `Y_{n+1}=2Y_n+3Y_{n-1}` `(n=1,2,3,...)`.
То есть, первые несколько их членов таковы:
`X:1, 1, 3, 5, 11, 21, ...`,
`Y:1, 7, 17, 55, 161, 487, ...`.
Докажите, что эти последовательности не имеют общих членов, кроме 1.




@темы: Теория чисел

11:31 

день добрый

прошу помочь понять. не доходит. как образуются классы вычетов по модулю 19. и как определить есть ли кольцо и поле?

@темы: Теория чисел

08:50 

НОД и НОК

wpoms.
Step by step ...


Записи вида `(a,b,...,g)` и `[a,b,...,g]` обозначают соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное положительных целых чисел `a,b,...,g`. Например, `(3,6,18)=3` и `[6,15]=30`. Докажите, что

`([a,b,c]^2)/([a,b][b,c][c,a]) = ((a,b,c)^2)/((a,b)(b,c)(c,a)).`





@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная