Записи с темой: доказательство неравенств (список заголовков)
17:40 

Неравенство и факториалы

wpoms.
Step by step ...


(a) Докажите, что $[5x]+[5y]\ge [3x+y]+[3y+x],$ где $x,y\ge 0$, а $[u]$ обозначает наибольшее целое число, которое не превосходит $u$ (например, $[\sqrt{2}]=1$).

(b) Используя (a) или что-либо другое, докажите, что $\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$ является целым для любых натуральных $m$ и $n$.



@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел

22:08 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a,b,c > 0` и `a*b + b*c + c*a + 2*a*b*c = 1`. Докажите, что `2*(a + b + c) + 1 \geq 32*a*b*c`.



@темы: Доказательство неравенств

00:11 

Последовательности и суммы

wpoms.
Step by step ...


Даны три последовательности неотрицательных действительных чисел `(a_0, a_1, \ldots, a_n)`, `(b_0, b_1, \ldots, b_{n})`, `(c_0, c_1, \ldots, c_{2n})` такие, что для всех `$0 \leq i,j \leq n` выполняется неравенство `a_i*b_j \leq (c_{i+j})^2`. Докажите, что
`\sum_{i=0}^n a_i \cdot \sum_{j=0}^n b_j \leq \left( \sum_{k=0}^{2n} c_k\right)^2`



@темы: Доказательство неравенств

21:31 

Целые числа

wpoms.
Step by step ...


Целые числа `a_1, a_2, \ldots, a_n` удовлетворяют неравенству `1 < a_1 < a_2 < \ldots < a_n < 2a_1`.
Докажите, что если `m` --- количество различных простых делителей `a_1 * a_2 * \cdots * a_n`, то `(a_1 * a_2 * \cdots * a_n)^{m-1} \geq (n!)^m`



@темы: Доказательство неравенств

03:29 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b` и `c` верно неравенство `a^a*b^b*c^c >= (a*b*c)^{(a+b+c)/3}`.



@темы: Доказательство неравенств

20:21 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Даны действительные числа $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{2n-1}$, среднее арифметическое которых равно $A$. Докажите, что $2\sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right)^2 \ge \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-x_{n}\right)^2$



@темы: Доказательство неравенств

19:20 

pqr метод доказательства неравенств

Здравствуйте! Помогите пожалуйста понять в чем состоит основная идея метода pqr для доказательства неравенств. Спасибо за ранее!

@темы: Доказательство неравенств

22:39 

Неравенство

Кто намекнет? Сначала напрашивается добавить 3 к обеим частям. А потом не могу сообразить.
Ходят слухи, что и методом замені можно - заменить знаменатели

Доказать, что при всех положительных `a, b, с` справедливо неравенство
`a/(b + c) + b/(a + c) + c/(b + a) >= 3/2`


@темы: Доказательство неравенств

11:23 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Для неотрицательных действительных чисел `a, b, c` выполняется равенство `a + b + c = 3`. Докажите, что `{a}/{b^2+1} + {b}/{c^2+1} + {c}/{a^2+1} \geq 3/2`.



@темы: Доказательство неравенств

19:35 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что $\sqrt{x^2 + y^2} + (2 - \sqrt{2})\sqrt{xy} \geq x + y,$ если $x$ и $y$ --- положительные действительные числа.



@темы: Доказательство неравенств

15:57 

Решить неравенство

Наткнулся в своих старых записях на неравенство: `3^(log_x 2) + 4^(log_x 3) <= 40`
Попытался решить - привести логарифм в степени к привычному `ln(x)`, после замена на `y` - дальше пусто. Более содержательных идей не было. Я бы и бросил это задачу, если бы не вольфрам, который выдал в ответе точный ответ (именно точный, выраженный через корни, логарифмы и тд!). Подскажите как такое можно решить?

@темы: Доказательство неравенств

20:21 

pqr метод

Здравствуйте! Помогите пожалуйста в чем состоит суть pqr метода доказательства неравенств. Спасибо за понимание.

@темы: Доказательство неравенств, Олимпиадные задачи

20:05 

Для сторон треугольника

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a`, `b` и `c` - длины сторон треугольника. Докажите, что `\frac{ab+1}{a^2+ca+1} + \frac{bc+1}{b^2+ab+1} + \frac{ca+1}{c^2+bc+1} > \frac{3}{2}`.



@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

21:36 

Неравенство "на шару"

wpoms.
Step by step ...


Неотрицательные действительные числа `a, b, c` удовлетворяют равенству `a^2 + b^2 + c^2 = 1`. Докажите, что
`{a}/{b^2 + 1} + {b}/{c^2 + 1} + {c}/{a^2 + 1} \geq {3}/{4}*(a\sqrt {a} + b\sqrt {b} + c\sqrt {c})^2`.



@темы: Доказательство неравенств

20:26 

Неравенство

Доказать, что для `x, y, a in (0,1)` при `x != y` выполнено неравенство:
`1/(| x^a - y^a |) < 1/(a * | x - y |)`
Доказательство:
перепишем неравенство в виде: `| x^a - y^a | > a*| x - y |`
так как `x^a = int_0^x a*t^(a-1) dt` и `y^a = int_0^y a*t^(a-1) dt`, то `| x^a - y^a | = a*| int_0^y t^(a-1) dt - int_0^y t^(a-1) dt | = a*| int_x^y t^(a-1) dt | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) |` - в силу теоремы о среднем значении интеграла. Но `t_0^(a-1) > 1 => | x^a - y^a | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) | > a*| x - y |` ч.т.д
Всё ли верно?

@темы: Доказательство неравенств

02:10 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех `0 < a, b, c < 1` верно неравенство
`a/(1 - a) + b/(1 - b) + c/(1 - c) >= (3*root(3){a*b*c})/(1 - root(3){a*b*c})`.

Определите, в каких случаях достигается равенство.




@темы: Доказательство неравенств

20:37 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что в любом треугольнике есть две стороны a и b, длины которых удовлетворяют неравенству
`(sqrt(5)-1)/2 < a/b < (sqrt(5)+1)/2`




@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

14:35 

Углы и стороны

wpoms.
Step by step ...


Углы треугольника `A`, `B` и `C` измеряются в градусах, а длины противоположных сторон обозначены `a`, `b` и `c` соответственно. Докажите что `60 <= {a*A + b*B + c*C}/{a + b + c} < 90`.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

13:03 

Про выпуклый четырёхугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки `P, Q, R, S` - середины сторон `BC, CD, DA, AB` выпуклого четырехугольника `ABCD` соответственно. Докажите, что `4*(AP^2 + BQ^2 + CR^2 + DS^2) \le 5*(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2)`.



@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

15:51 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для действительных чисел `a`, `b` (`a*b > 0`) выполняется неравенство
`root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + 10ab + b^2)/12`.

Определите, при каких условиях достигается равенство.
Докажите, как следствие или иным образом, что для всех действительных чисел `a`, `b` верно неравенство
`root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + ab + b^2)/3`

Определите, при каких условиях достигается равенство.



@темы: Доказательство неравенств

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная