• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: доказательство неравенств (список заголовков)
20:26 

Неравенство

Доказать, что для `x, y, a in (0,1)` при `x != y` выполнено неравенство:
`1/(| x^a - y^a |) < 1/(a * | x - y |)`
Доказательство:
перепишем неравенство в виде: `| x^a - y^a | > a*| x - y |`
так как `x^a = int_0^x a*t^(a-1) dt` и `y^a = int_0^y a*t^(a-1) dt`, то `| x^a - y^a | = a*| int_0^y t^(a-1) dt - int_0^y t^(a-1) dt | = a*| int_x^y t^(a-1) dt | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) |` - в силу теоремы о среднем значении интеграла. Но `t_0^(a-1) > 1 => | x^a - y^a | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) | > a*| x - y |` ч.т.д
Всё ли верно?

@темы: Доказательство неравенств

02:10 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех `0 < a, b, c < 1` верно неравенство
`a/(1 - a) + b/(1 - b) + c/(1 - c) >= (3*root(3){a*b*c})/(1 - root(3){a*b*c})`.

Определите, в каких случаях достигается равенство.




@темы: Доказательство неравенств

20:37 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что в любом треугольнике есть две стороны a и b, длины которых удовлетворяют неравенству
`(sqrt(5)-1)/2 < a/b < (sqrt(5)+1)/2`




@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

14:35 

Углы и стороны

wpoms.
Step by step ...


Углы треугольника `A`, `B` и `C` измеряются в градусах, а длины противоположных сторон обозначены `a`, `b` и `c` соответственно. Докажите что `60 <= {a*A + b*B + c*C}/{a + b + c} < 90`.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

13:03 

Про выпуклый четырёхугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки `P, Q, R, S` - середины сторон `BC, CD, DA, AB` выпуклого четырехугольника `ABCD` соответственно. Докажите, что `4*(AP^2 + BQ^2 + CR^2 + DS^2) \le 5*(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2)`.



@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

15:51 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для действительных чисел `a`, `b` (`a*b > 0`) выполняется неравенство
`root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + 10ab + b^2)/12`.

Определите, при каких условиях достигается равенство.
Докажите, как следствие или иным образом, что для всех действительных чисел `a`, `b` верно неравенство
`root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + ab + b^2)/3`

Определите, при каких условиях достигается равенство.



@темы: Доказательство неравенств

01:12 

Неравенства

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что
(a) `(2*n)/(3*n + 1) <= sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k`,
(b) `sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k <= (3*n + 1)/(4*(n + 1))`,

для всех натуральных чисел `n`.



@темы: Доказательство неравенств

18:46 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a,b,c` не равны нулю и `x,y,z` - положительные действительные числа такие, что `x+y+z=3`. Докажите, что
`3/2 * \sqrt{1/{a^2} + 1/{b^2} + 1/{c^2}} >= x/{1+a^2} + y/{1+b^2} + z/{1+c^2}`



@темы: Доказательство неравенств

20:20 

Многочлен

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим многочлен с неотрицательными действительными коэффициентами `p(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n`. Предположим, что `p(4) = 2` и `p(16) = 8`. Докажите, что `p(8) <= 4` и найдите, с доказательством, все такие многочлены, для которых `p(8) = 4`.



@темы: Доказательство неравенств, Теория многочленов

21:34 

Геометрическое неравенство

wpoms.
Step by step ...


Четырехугольник `ABCD` вписан в окружность радиуса `R`. Обозначим длины сторон `ABCD` как `a`, `b`, `c`, `d` и пусть площадь `ABCD` равна `Q`. Докажите, что `R^2 =((a*b + c*d)*(a*c + b*d)*(a*d + b*c))/(16*Q^2)`. Докажите, что `R >= ((a*b*c*d)^(3/4))/(Q*sqrt(2))` и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `ABCD` является квадратом.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

08:19 

А.Лепес. Альтернативные доказательства 100 неравенств: метод отделяющих касательных

Доступна работа
"А.Лепес. Альтернативные доказательства 100 неравенств: метод отделяющих касательных (2013)"
по ссылкеhttp://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/works2013/lepes.pdf,
на основании которой годом позже была выпущена книга
"Ибрагим Ибатулин, Адилсултан Лепес. Альтернативные доказательства 100 неравенств. Метод отделяющих касательных (2014)"
http://www.ozon.ru/context/detail/id/29633667/

@темы: Доказательство неравенств, Литература, Олимпиадные задачи

23:14 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Сумма положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` и `d` равна `1`. Докажите, что
`(a^2)/(a + b) + (b^2)/(b + c) + (c^2)/(c + d) + (d^2)/(d + a) >= 1/2`,

и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `a = b = c = d = 1//4`.



@темы: Доказательство неравенств

18:30 

Оценка снизу

Подскажите, можно ли двоичный логарифм от факториала оценить снизу квадратной функцией, т.е. получить что-то вида `c1 * n^2 < log((n-1)!)`, где c1 - константа.

@темы: Доказательство неравенств, Математический анализ

20:46 

Метод математической индукции

Здравствуйте. Необходимо доказать, что
`n^(n+1) > (n+1)^n, n>=3`
`n = 3: 3^(3+1)>(3+1)^3`
`81>64` - верно
`forall k >=3, k in N: k^(k+1) > (k+1)^k => (k+1)^(k+2) > (k+2)^(k+1)`
Подскажите, пожалуйста, что делать дальше?

@темы: Метод математической индукции, Доказательство неравенств

20:50 

Нестрогое неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a`, `b` и `c` - неотрицательные действительные числа, для которых выполняется неравенство `a + b + c >= a*b*c`. Докажите, что `a^2 + b^2 + c^2 >= a*b*c`.



@темы: Доказательство неравенств

00:31 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим треугольники `ABC` и `EDC`, у которых, соответственно, углы `A` и `D` прямые (см. рисунок). Докажите, что если `E` является серединой стороны `AC`, то `AB < BD`.




@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

21:20 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех положительных действительных чисел `x`, `y` и `z` выполнено неравенство `4(x + y + z)^3 > 27(x^2y + y^2z + z^2x)`.



@темы: Доказательство неравенств

19:53 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Целое число `x` не меньше `3` и пусть `n = x^6 - 1`. Пусть `p` - простое число и `k` - натуральное число, такое что `p^k` является делителем `n`. Покажите, что `p^{3k} < 8n`.



@темы: Теория чисел, Доказательство неравенств

19:11 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что неравенство `2^(1/2) * 4^(1/4) * 8^(1/8) * ... * (2^n)^(1/(2^n)) < 4` выполняется для всех натуральных `n`.



@темы: Доказательство неравенств

00:31 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `K` обозначает множество всех действительных чисел `x`, принадлежащих отрезку `[0; 1]`. Функция `f` отображает множество `K` на множество действительных чисел `RR` и при этом
(a) `f (1) = 1`;
(b) `f (x) >= 0` для всех `x in K`;
(c) Если `x`, `y` и `x + y` принадлежат множеству `K`, то `f (x + y) >= f (x) + f (y)`.
Докажите, что `f (x) <= 2*x` для всех `x in K`.



@темы: Доказательство неравенств, Функции

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная