• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: дифференциальные уравнения (список заголовков)
22:56 

Решение волнового уравнения

IWannaBeTheVeryBest
Не могу найти, как решить уравнение с условиями
`9u_{t t} = u_{x x}`
`u_x(0, t) = u_x(2, t) = 0`
`u(x, 0) = x, 0<=x<=1; u(x, 0) = 1, 1<=x<=2`
`u_t(x, 0) = 0`
Везде, что я только не смотрел, везде рассматриваются примеры, где во втором условии данной системы фигурируют сами функции `u`, а не их производные. Вообще не знаю, что с ними делать.

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

21:22 

Привести к каноническому виду ДУ

IWannaBeTheVeryBest
Привести к каноническому виду ДУ в каждой из областей, где его тип сохраняется.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Думал сам смогу, но что-то запоролся.
Рассматриваем 2 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`u_{x x} - 2u_{xy} - u_{yy} = 0`
Составляем характеристическое уравнение.
`dy^2 + 2dxdy - dx^2 = 0`
Решаем относительно `dy`
`D/4 = dx^2 + dx^2 = 2dx^2`
`dy = -dx(1 + sqrt(2))`
`y = -(1 + sqrt(2))x + C`
`dy = -dx(1 - sqrt(2))`
`y = (sqrt(2) - 1)*x + C`
Делаем замену `\xi = y + (1 - sqrt(2))x`; `\eta = y + (1 + sqrt(2))x`
`u_{x x} = u_{\xi \xi} * \xi_x^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_x * \eta_x + u_{\eta \eta} * \eta_x^2 + u_{\xi} * \xi_{x x} + u_{\eta} * \eta_{x x} = `
`= u_{\xi \xi} * (1 - sqrt(2))^2 - 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))^2`
`u_{y y} = u_{\xi \xi} * \xi_y^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_y * \eta_y + u_{\eta \eta} * \eta_y^2 + u_{\xi} * \xi_{y y} + u_{\eta} * \eta_{y y} = `
`= u_{\xi \xi} + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta}`
`u_{x y} = u_{\xi \xi} * \xi_x * \xi_y + u_{\xi \eta}(\xi_x * \eta_y + \xi_y * \eta_x) + y_{eta \eta} * \eta_x * \eta_y + u_{xi} * \xi_{x y} + u_{\eta} * \eta_{x y} = `
`= u_{\xi \xi}(1 - sqrt(2)) + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))`
Подставляя в уравнение я получил
`8u_{\xi \eta} = 0`
Это норма?
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет параболично.
`u_{x x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
Хар. ур-е
`dy^2 - 2dxdy + dx^2 = 0`
`(dy - dx)^2 = 0`
`y = x + C` (кр. 2)
Дело в том, что если я делаю замену `\xi = \eta = y - x`, то я получу равенство `0 = 0` в конце. Поэтому я думаю, что замену надо наверное какую-то другую делать.

@темы: Уравнения мат. физики, Дифференциальные уравнения

18:35 

Привести к каноническому виду ДУ

IWannaBeTheVeryBest
Привести к каноническому виду ДУ в каждой из областей, где его тип сохраняется.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Ну тут 3 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет эллиптично.
А что со случаем `sgn(y) = 0`? Ведь тогда у нас останется уравнение `2u_{xy} + u_{yy} = 0`. Или оно тоже будет гиперболично?
Если да, то можно приводить к каноническому виду не 3 раза, а 2. Просто в одном случае я буду писать `sgn(y)`, а в другом конкретно рассмотрю случай `sgn(y) = 1`

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

18:32 

Решить дифференциальное уравнение

Здравствуйте! Имеется дифф. уравнение `dy/dx=-y*(x+y)/(x-y)`
Можете подсказать как его решить? Пытался делать замену `y=tx`,но ни к чему хорошему (например, к уравнению с разделяющимися переменными) это не привело...

@темы: Дифференциальные уравнения

18:43 

К теореме Пикара-Линделёфа

На экзамене сегодня попалась эта теорема. Хотелось бы разобраться хотя бы с условием.

Вопросов пока три

@темы: Дифференциальные уравнения

19:03 

Ассимптотическая устойчивость системы ДУ

IWannaBeTheVeryBest
При каких альфа нулевое решение данной системы
`{(x' = -3x + \alpha y),(y' = -\alpha x + y):}`
ассимтотически устойчиво?
Вообще, насколько я понимаю, надо составить матрицу из производных по икс и по игрек обоих уравнений (Якобиан вроде называется), и составить характеристическое уравнение `det(J - \lambda E) = 0`. Дальше наша задача определить, при каких альфа действительная часть корней этого уравнения будет отрицательной.
Поехали.
`J = ` $\left(\begin{array}{c c}-3 & \alpha \\ -\alpha & 1\end{array}\right)$
`J - \lambda E = ` $\left(\begin{array}{c c}-(3 + \lambda) & \alpha \\ -\alpha & 1 - \lambda \end{array}\right)$
`det(J - \lambda E) = (\lambda - 1)(\lambda + 3) + \alpha^2 = \lambda^2 + 2\lambda - 3 + \alpha^2`
`\lambda^2 + 2\lambda - 3 + \alpha^2 = 0`
Ну, я для комплексных чисел не стал проверять, но для действительных проверил. Где-то видел правило, что если все коэффициенты уравнения >0, то условие на отрицательные действительные части будет выполнено.
`- 3 + \alpha^2 > 0`
`\alpha^2 > 3`
`\alpha \in (-\infty; -sqrt(3))\cup(sqrt(3); +\infty)`
Верно? Просто я не понял, зачем здесь тогда указывать про нулевое решение, когда тут для любого решения получается это выполняется. Производные уравнения не содержат в себе функции, зависящие от икс или игрек. А соответственно любое решение такой системы должно быть ассимптотически устойчивым.

@темы: Дифференциальные уравнения

11:31 

Доказать устойчивость нулевого решения по определению

IWannaBeTheVeryBest
Не люблю, когда прилетают нестандартные задачи, о которых в интернете мало что сказано.
Доказать по определению, что нулевое решение ДУ `x' = -3x` ассимптотически устойчиво.
Все, что я находил про устойчивость касалось исключительно систем. Я так понимаю, что передо мною стоит задача опустить условия для систем на одиночное ДУ.
Не хочу доказывать асс. уст-ть, пока не докажу обычную. Хотя может этого и не требуется делать.
Определение должно быть таким
Решение `y = \varphi(x)` является устойчивым по Ляпунову, если для любого `\epsilon > 0` существует такая `\delta(\epsilon) > 0`, что как только `|y(x_0) - \varphi(x_0)| < \delta` сразу же выполняется `|y(x) - \varphi(x)| < \epsilon` (для `x > x_0`).
Предположим, что в нашем случае `x' = dx/dt`, хотя как мне кажется, без разницы по какой букве выбирать дифференцирование.
Для начала я найду общее решение.
`dx/x = -3dt`
`lnx = -3t + C`
`x = C*e^{-3t}`
Нулевое решение, как я понимаю, это `x(0) = 0`. Решением такой задачи Коши является просто 0. А решением задачи `x(0) = x_0`, является функция `x = x_0*e^{-3t}`
Неравенства должны принимать такой вид
`|x_0 - 0| = |x_0| < \delta`
`|x_0*e^{-3t}| < \epsilon` для `t > t_0`
Положим `\delta = \epsilon`. Дальше можно сделать преобразования
`|x_0*e^{-3t}| = |x_0|*e^{-3t} < |x_0| < \delta = \epsilon` для `t > 0`
Для ассимптотической устойчивости достаточно сказать, что `|x(t) - \varphi(t)| -> 0`, при `t -> \infty`
То есть `lim_{t -> \infty} x_0*e^{-3t} = 0`. Это очевидно для положительных t, что нам и надо.
Все верно? Просто само выражение "нулевое решение" меня как-то смущает.

@темы: Дифференциальные уравнения

22:57 

Дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

IWannaBeTheVeryBest
Еще один вопрос по диффурам сегодня.
`(2x + 3)^3 y''' + 3(2x + 3)y' - 6y = 0`
`2x + 3 = t`
`dx = 1/2dt`
`y' = dy/dx = 2dy/dt`
`y''' = 2(d^3y)/dt^3`
`2t^3 y''' + 6ty' - 6y = 0`
Это уравнение Эйлера. Сводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой
`t = e^z;dt = e^zdz`
`y' = dy/dt = e^{-z}dy/dz`
Ну и так далее. Чтобы не отнимать большое количество времени, хотел спросить. В конце у нас же получится функция `y(z)`, если не ошибаюсь. А изначально у нас игрек зависел от икса. Мне придется обратно как-то приходить к зависимости от икс?

@темы: Дифференциальные уравнения

19:15 

Последовательные приближения Пикара.

IWannaBeTheVeryBest
Система
`{(x' = y^2),(y' = x^2):}`
`{(x(0) = 1),(y(0) = 1):}`
Как строить приближения для системы уравнений? Условия написал примерно. Не помню точно какие были. Но думаю эти пойдут.
Для простого уравнения это будет так
`y_n = y_0 + int_{x_0}^{x} f(x,y_{n - 1}) dx`
В моем случае уже будет не `y_0`, а вектор `T_0 = ((1),(1))`
Дальше идет интеграл. Рассуждаю логически. В случае одного уравнения пределы интегрирования являются точка `x_0` и `x`. В нашем случае это точка `t_0` и `t`, так как в системах и икс и игрек зависят от t.
Потом составляется функция - правая часть `y' = f(x, y)`, но вместо игрек мы подставляем на первом приближении `y_0`, затем `y_1` и так далее. В нашем случае это будет вектор-функция. Но тут я никак не могу сообразить, что будет. Справа нет ничего связанного с t. Что будет с первым приближением? Если в случае одного уравнения аргумент икс оставался без изменения, то логично предположить, что все аргументы должны оставаться без изменений, кроме t. Тогда, под интегралом, должен быть вектор
`((y^2),(x^2))`
Все вместе должно выглядеть так
`T_{n} = T_0 + int_{t_0}^{t} F(t_{n - 1}, x, y) dt`
Первое приближение такое
`T_{1} = ((1),(1)) + int_{0}^{t} ((y^2),(x^2)) dt`
Пределы интегрирования наверное тоже надо было в векторном виде записать. Хотя я в векторной форме записи не очень силен. Подскажите, если что не так.

@темы: Дифференциальные уравнения

13:10 

Решение дифференциального уравнения, с постоянными коэффициентами.

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Такое дифференциальное уравнение мне было дано.
`y'' + y = 2x - pi`
`y(0) = 0, y(pi) = 0`
Решаю так
`y = y_0 + y_1`
Характеристическое уравнение, решение однородного уравнения
`\lambda^2 + 1 = 0`
`\lambda = +-i`
`y_0 = C_1cost + C_2sint`
Ну правая часть простого вида. Можно подбирать частное решение в виде `y_1 = Ax + B`. В корни хар. ур-я не входит нуль. Значит на икс домножать не надо.
Двойная производная равна 0. Поэтому `A = 2, B = -pi`
`y = C_1cost + C_2sint + 2x - pi`
Вроде все гладко, но вот с начальными условиями как-то странно.
`y(0) = C_1 - pi = 0`
`y(pi) = -C_1 + pi = 0`
`C_1 = pi`
Но `C_2` не входит в нашу систему. Как-то подозрительно. Получается, что `C_2 \in R`
Все верно? Или я где-то ошибся?

@темы: Дифференциальные уравнения

23:07 

Дифференциальные уравнения

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Что-то залипаю, уже вечер. Такие условия.
`x^2y'' - 2y = 0`
`\lim_{x \to 0} y(x) = 0; y'(1) = 1`
Решаю так.
1. Подбираю частное решение. Очевидно это `x^2`.
2. Замена `y = x^2*z`
`y' = 2xz + x^2z'`
`y'' = 2z + 2xz' + 2xz' + x^2z'' = 2z + 4xz' + x^2z''`
3. Подставим
`x^4z'' + 4x^3z' = 0`
`xz'' = -4z'`
4. Замена `z' = p`
`xp' = -4p`
`(dp)/p = -4dx/x`
`ln|p| = -4(ln|x| + ln|c|) = -4(ln|cx|)`
`p = (c_1*x)^{-4}`
`z = 1/(c_1)^4 * (-1/(3x^3) + c_2)`
5. Кидаю все в подстановки пункта 2
`y = x^2*c_2/(c_1)^4 - 1/(3(c_1)^4*x)`
`\lim_{x \to 0} x^2*c_2/(c_1)^4 - 1/(3(c_1)^4*x) = 0`
Где я ошибся? Потому что этот предел я не могу разрешить. Константы никак не влияют на то, что предел равен минус бесконечности. Если даже z и z' кину в y' и у меня получится система на две константы это ничего не изменит. Хелп плиз.

@темы: Дифференциальные уравнения

18:08 

Дифференциальная геометрия

Линии даны своими дифференциальными уравнениями P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, нужно найти их кривизны
помогите пожалуйста

@темы: Дифференциальные уравнения, Аналитическая геометрия

09:07 

Дифференциальное уравнение

kanoChan
Здравствуйте! При решении задачи к приведению к каноническому виду получилось уравнение `dy/dx= (-xy \pm sqrt(x^2+y^2-1))/(1-x^2)`. Простой метод разделения переменных применить здесь не получится... Можете подсказать как можно здесь провести интегрирование?

@темы: Дифференциальные уравнения

16:27 

Устойчивость

исследовать на устойчивость по определению `x' - 2x = t`, `x(1/2) = -1/2`
помогите пожалуйста решить

@темы: Дифференциальные уравнения

14:33 

Дифференциальное уравнение

исследовать на устойчивость нулевое решение системы :
`x'=-2x+8sin^2y`
`y'=2-3y-4x^3-exp(x)`
как лучше исследовать на устойчивость? каким методом

@темы: Дифференциальные уравнения

18:37 

Дифференциальное уравнение в симметрической форме

`(dx)/(x(z-y)) = (dy)/(y(y-z)) = (dz)/(y^2-xz)`
нашел первый интеграл `x*y = C_1` от сюда `(dx)/(x(z-y)) = (dy)/(y(y-z))` вроде правильно
пытаюсь подставить его в уравнение `(dx)/(x(z-y)) = (dz)/(y^2-xz)`, но ничего не выходит
может я изначально не тот метод применил, помогите пожалуйста

@темы: Дифференциальные уравнения

18:31 

Устойчивость

всем привет!
исследовать на устойчивость линейную однородную дифференциальную систему
x`=-x-9y
y`=x-y
x(0)=y(0)=0
подскажите пожалуйста с чего начать
всем спасибо)

@темы: Дифференциальные уравнения

09:11 

Метод вариации произвольных постоянных

Решить задачу Коши, применив метод вариации произвольных постоянных `y''+y'-2y=1/(e^x+1)`, начальные условия `y(0)=1`, `y'(0)=(1-ln2)/3`.

`{(y_1=cos(x)), (y_2=sin(x)):}` и тогда `y_0=C_1y_1+C_2y_2=C_1cos(x)+C_2sin(x)`
`{(C_1'cos(x)+C_2'sin(x)=0), (-C_1'sin(x)+C_2'cos(x)=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_1'=-C_2'(sin(x))/(cos(x))), (C_2'((sin^2(x))/(cos(x))+cos(x))=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_1'=(sin(x))/(e^x+1)=phi_1(x)),(C_2'=(cos(x))/(e^x+1)=phi_2(x)):}`
`{(C_1 int phi_1(x)dx=int (sin(x))/(e^x+1)dx), (C_2=int phi_2(x)dx=int (cos(x))/(e^x+1)):}`
Проблема с интегралами. Вообще вспоминается такая формула `z=|z|(cos(phi)+isin(phi))=|z|e^(iphi)`, то есть `e^(iphi)=cos(phi)+isin(phi)`, `z=x+iy` и если `x` выражать то `z` с `y` появятся :nope:

@темы: Дифференциальные уравнения

22:32 

Что за вид дифференциальных уравнений.

IWannaBeTheVeryBest
`y'' + y = 2x - pi; y(0) = 0, y(pi) = 0`
Тут вроде похоже на неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, но меня смущают данные начальные условия. Вроде как всегда давалось начальное условие на y', а потом на y. Но тут как-то странно. Два игрека дано. Может это вовсе не то? Подскажите, что это за зверь такой. Инфу могу сам найти и разобраться как решается.
`y' = 1 + xsin(y); y(pi) = 2pi`
Тоже не могу сообразить что за вид. Может и не знаю вовсе.

@темы: Дифференциальные уравнения

14:04 

дифференциальная геометрия

1.Найдите, под каким углом пересекаются линии u+v=0, u-v=0 на прямом геликоиде x=ucosv, y=usinv, z=av
Пытаюсь найти угол с помощью коэффициентов первой квадратичной формы, но что то не выходит, кажется нужно определить чему равны u и v.

@темы: Дифференциальные уравнения, Высшая геометрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная