[wpoms.]

Для неотрицательных действительных чисел `a, b, c` выполняется равенство `a + b + c = 3`. Докажите, что `{a}/{b^2+1} + {b}/{c^2+1} + {c}/{a^2+1} \geq 3/2`.

@темы: Доказательство неравенств

---

[wpoms.]

В треугольнике `ABC`, у которого `BC = CA + 1/2 * AB`, точка `P` расположена на стороне `AB` так, что `BP : PA = 1 : 3`. Докажите, что `\angle CAP = 2 \angle CPA`.

@темы: Планиметрия

---

[alligator76]

Задача следующая:

Найдите математическое ожидание числа бросков монетки до выпадения первого орла.

Прошу проверить, верны ли мои рассуждения.

Если орел выпал при первом бросании монетки, то получим:

`x_1=1`, `p_1=1/2`

Если орел выпал при втором бросании монетки, то получим:

`x_2=2`, `p_2=1/2*1/2=1/2^2`

Если орел выпал при третьем бросании монетки, то получим:

`x_3=3`, `p_3=1/2*1/2*1/2=1/2^3`

И так далее...

Математическое ожидание равно:

`sum_(k=1)^infty k/2^k =2`

Это правильно? Заранее спасибо!

@темы: Теория вероятностей

---

[гульшат]

Добрый вечер! Не посмотрите, верно ли начато решение.
log2(x^2+2x)>1
log2(x^2+2x)>log2(2)


Cистема: x^2+2x>0
x^2+2x-2>0



x^2+2x-2>0
решаем кв. уравнение x^2+2x-2=0 и находим корни: -1±√3

@темы: Логарифмические уравнения (неравенства)

---

[wpoms.]

Докажите, что `x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 1` не имеет рациональных решений.

@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

---

[wpoms.]

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ не является вписанным и у него нет параллельных сторон. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в $E$. Пусть $M \neq E$ будет точкой пересечения описанных окружностей треугольников $ADE$ и $BCE$. Биссектрисы внутренних углов $ABCD$ определяют выпуклый, вписанный четырехугольник с центром описанной окружности $I$. Биссектрисы внешних углов $ABCD$ определяют выпуклый, вписанный четырех угольник с центром описанной окружности $J$. Докажите, что $I,J,M$ лежат на одной прямой.

@темы: Планиметрия

---

[wpoms.]

Какое наибольшее количество положительных целых чисел меньших или равных 2016 можно выбрать так, чтобы никакие два из них не отличались на 1, 2 или 6?

@темы: Теория чисел

---

[Дилетант]

@темы: Про самолеты

---

[вейко]

всякое ли транс число можно разложить ряд?
выразить путем бесконечного числа операций над алгебраическими?(вроде можно начать в бесконечную цепную дробь раскладывать?)

@темы: Теория чисел

---

[Холщовый мешок]

...

Пара бонусных вопросов. Сколько литров молока испортил Джимми? Зачем Джимми испортил молоко?

@темы: Про самолеты, Головоломки и занимательные задачи

---

[wpoms.]

Рассмотрим многочлен второй степени $P(x) = 4x^2+12x-3015$. Определим последовательность многочленов $P_1(x) = P(x)/2016$ и $P_{n+1}(x) = P(P_n(x))/2016$ для всех $n \geq 1$. (a) Докажите, что есть действительное число $r$ такое, что $P_n(r) < 0$ для всех положительных целых чисел $n$. (b) Определите количество целых чисел $m$ таких, что $P_n(m) < 0$ для бесконечного количества положительных целых чисел $n$.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Теория многочленов

---

[Холщовый мешок]

Пишет "Максимилиан I (Волчкевич)":

У меня два вопроса.

Первый. Каким образом из левой фотографии получены расположенные рядом с ней изображения?

@темы: Планиметрия

---

[Sunline1990]

Здравствуйте. Есть два задания:
Даны функции `p(x)=|x^2-3*|x-6|-1|` и `g(x)=sqrt(|x|-3)`
1. Решить неравенство `p(x-1)<=2*p(x+1)`
2. Найти область определения функции `g(sqrt(x+sqrt(x)))`
Мои попытки.
1.Я так понимаю, что подстановка в функцию `p(x)` аргументов `x-1` и `x+1` намного усложнит решение задачи. Не знаю, какой алгоритм решения здесь применить.
2. Здесь область определения после подстановки аргумента `sqrt(x+sqrt(x))` в функцию `g(x)=sqrt(|x|-3)` следующая:
`|sqrt(x+sqrt(x))|-3>=0`
`|sqrt(x+sqrt(x))|>=3`

a) `sqrt(x+sqrt(x))>=3 `
`x+sqrt(x)>=9 `
`sqrt(x)>=9-x ` ,причем `9-x>=0` или `x<=9`
`x>=81-18x+x^2` ,причем `(9-x)^2>=0`, что верно для любого x
`x^2-19x+81<=0`
`x in ((19-sqrt(37))/2 ; 9) uu (9 ; (19+sqrt(37))/2)` (с учетом `x<=9`)
b) `sqrt(x+sqrt(x))<=-3` не имеет смысл.
Тогда, ответ: `x in ((19-sqrt(37))/2 ; 9)`

Правильное ли рассуждение во втором примере? Также, прошу подсказать, что нужно делать в первом задании.
Заранее спасибо за помощь!

P.S. проверил второе на вольфрам альфа, там вышло, что `x >= (19-sqrt(37))/2` Как так получилось, не знаю.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Функции

---

[ponochcka]

В треугольнике ABC, BD-высота, AM- медиана, CK-биссектриса. Найти:
a)длину стороны AB, медианы AM, биссектрисы CK
b)углы трегольника
если A(3,-1), B(4,2), C(-4,0)

длину стороны AB нашла, получилось корень из 10
длина медианы получилась корень из 13
проблемы с нахождением биссектрисы и углами треугольника
биссектрису пыталась найти чрез отношение BK/AK= CB/CA, но ничего не получается

@темы: Аналитическая геометрия

---

[Sunline1990]

Здравствуйте. Есть две задачи:
1. Дана арифметическая прогрессия `a_1,a_2,...,a_316`у которой `a_1=5, a_316=21`.Найдите сумму `1/(a_1*a_2)+1/(a_2*a_3)+...+1/(a_315*a_316)`
Мои попытки: используя формулу `a_n=a_1+(n-1)d`, `21=5+315*d=21`, `d=16/315`
Найдем первые четыре элемента прогрессии `a_2=5+16/315=1591/315`, `a_3=1607/315`, `a_4=1623/315`
Введем новую последовательность `b_k=b_1+(k-1)*d_1` , где `b_1=1/(a_1*a_2)`, `b_2=1/(a_2*a_3)`, а `d_1=b_2-b_1`
Тогда, `b_1=63/1591`, `b_2=315^2/(1591*1607)`, `d_1=(315^2-1607^2*1591)/(1591*1607*315)`
Но в итоге получается очень специфический ответ с большими числами, если искать `S_k=k*(2*b_1+d_1*(k-1))/2`, где `k=315`, что вызывает у меня подозрения, что я что-то делаю неправильно.

2. Найдите `f(1000)` если `f(x+3)=f(x)+x-7` для всех действительных `x`, и `f(1)=1`.
Мои попытки: `f(x)=f(x+3)-x+7 => f(1)=f(4)-1+7=1 => f(4)=-5`
Дальше не понятно, что делать.

Прошу подсказать, что нужно в этих задачах делать дальше. Заранее спасибо за помощь.

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Прогрессии

---

[alligator76]

Здравствуйте!
Задача такая:

Пять человек случайным образом (независимо друг от друга) выбирают любой из 7 вагонов поезда. Известно, что некоторые 2 вагона остались пустыми. Какова вероятность при этом условии, что все сели в различные вагоны, в том числе в первый и во второй?

Я решаю следующим образом:
Так как из семи вагонов поезда при рассадке в них пяти человек осталось пустыми два вагона, то это означает, что в каждый вагон сел один человек.

Общее число способов входа пяти людей в один из семи вагонов: `n=7^5`.
Число размещений по одному человеку из пяти в пяти вагонах: `m=A_5^5=5!`.
Вероятность того, что пять человек сели в разные вагоны, равна:
`P=m/n=(5!)/7^5`

Но каким образом можно учесть, что первый и второй вагоны окажутся заняты?

@темы: Теория вероятностей

---

[wpoms.]

Пусть $k$ --- фиксированное положительное целое число. Альберто и Беральдо играют в следующую игру: дано начальное число $N_0$ и начинает Альберто, они по очереди выполняют такую операцию: заменяют число $n$ на число $m$ так, что $m < n$ и $m$ и $n$ отличаются, в их представлении по модулю 2, точно в $\ell$ последовательных цифрах для некоторого $\ell$ такого, что $1 \leq \ell \leq k$. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Назовем неотрицательное число $t$ победителем, если игрок получивший число $t$ имеет выигрышную стратегию, он может выбрать следующее число так, чтобы обеспечить свою победу вне зависимости от действий другого игрока. Иначе назовем число неудачником. Докажите, что для каждого положительного целого числа $N$, общее количество неотрицательных чисел-неудачников, меньших чем $2^N$, равно $2^{N-\lfloor \log_2(min\{N,k\}) \rfloor}$. Пояснение: запись вида $\lfloor x \rfloor$ означает наибольшее целое число меньшее или равное $x.$ Например, $\lfloor 3{,}14 \rfloor = 3$, $\lfloor 2 \rfloor = 2$, $\lfloor -4{,}6 \rfloor = -5$.

@темы: Теория чисел

---

[wpoms.]

Найдите наименьшее `n` такое, что любое множество из `n` точек координатной плоскости с целочисленными координатами содержит две точки такие, что квадрат расстояния между ними кратен 2016.

@темы: Планиметрия, Теория чисел

---

[Холщовый мешок]

Мисс Милдред Болц всплеснула руками и воскликнула: "Какая прелестная школа!"

@темы: Литература, Образование

---

[Sunline1990]

Здравствуйте! Есть такое задание: Известно, что `-7*x^3+18*x^2-12*x=(a*x+b)^3+(c*x+d)^3`, (`a`, `b`, `c`, `d` – некоторые числа). Найдите `a+b+c+d`.

Моё решение: Раскрыть скобки в выражении справа, после чего приравнять коэффициенты уравнения слева к коэффициентам уравнения справа. Тогда
`-7*x^3+18*x^2-12*x=a^3*x^3+3*a^2*x^2*b+3*a*x*b^2+b^3+c^3*x^3+3*c^2*x^2*d+3*c*x*d^2+d^3`

Тогда, коэффициент при `x^3` будет `a^3+c^3`, при `x^2` - `3*a^2*b+3*c^2*d`, при `x` - `3*a*b^2+3*c*d^2`, возле свободного члена - `b^3+d^3`

Получается система:
`{(a^3+c^3=-7),(3*a^2*b+3*c^2*d=18),(3*a*b^2+3*c*d^2=-12),(b^3+d^3=0):}`
Понятно, что во втором и третьем уравнениях модно сократить на 3, а также из последнего уравнения получить `d=-b`так как `b^3+d^3=(b+d)*(b+bd+d^2)=0`в пространстве `R`.(Комплексные корни в решении данной задачи не нужны)
Возникает вопрос: каким методом можно решить данную систему уравнений? Выражал `b` из второго уравнения, и `a+c`из третьего, потом подставлял в первое, но ничего толкового не получилось.

Заранее спасибо за ответы!

@темы: ЕГЭ, Системы НЕлинейных уравнений