[diyno4ka]

подскажите пожалуйста, как найти вероятность того, что при броске двух одинаковых кубиков на одном из них выпадет число меньше 3, а на другом не более 3.
у меня получается 8/36 или 2/9, а Ященко в своих ответах дает 4/9

@темы: ГИА (9 класс)

---

[IWannaBeTheVeryBest]

Вопрос чисто формальный. Чем отличается отрицательный остаток от положительного? Ну вот у меня задача
`f(x) = 15x^3 - 33x^2 + 7`. Найти остаток от деления `f(86)` на `11`.
Ну решение такое.
Вычисляем для коэффициентов остатки от деления на 11
$15 \equiv 4 (mod 11)$; $33 \equiv 0 (mod 11)$; $7 \equiv -4 (mod 11)$
Ну и еще $86 \equiv -2 (mod 11)$
$f(86) \equiv f(-2) (mod 11) \equiv 4 * (-2)^3 - 0 - 4 \equiv -36 \equiv -3 \equiv 8 (mod 11)$
И ответ получается 8. А почему бы нам не написать, что
$-36 \equiv -3 (mod 11)$ и не сказать, что ответ -3, а не 8? Или большой разницы нет? просто привычка еще с тригонометрии - брать меньший угол, поэтому как-то на автомате хочется взять число, меньшее по модулю

@темы: Теория чисел

---

[IWannaBeTheVeryBest]

`\phi(x) = 2`
В учебнике дано решение, но я его не могу понять никак. Просто на первой фразе встал.
"`x` обладает каноническим разложением. `x = p_1^{a_1} * \dots * p_k^{a_k}`. При этом `\phi(x) = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Пусть `\phi(x) = 2^m*l`, где `l` - нечетное. Поскольку для нечетного простого числа `p` величина `p - 1` четна, то в каноническом разложении `x` имеется не более `m` нечетных простых множителей." (дальше попробую сам понять)
Не понимаю причинно следственную связь. Как из одного вытекает другое. Все, что удалось мне выжать
`2^m * l` четное число.
`2^m * l = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Ну и понятно, что в последнем равенстве, справа не все множители нечетные.

@темы: Теория чисел

---

[diyno4ka]

подскажите пожалуйста, как найти вероятность того, что при броске двух одинаковых кубиков на одном из них выпадет число меньше 3, а на другом не более 3.
у меня получается 8/36 или 2/9, а Ященко в своих ответах дает 4/9

@темы: ГИА (9 класс)

---

[skifalan]

Из множества чисел `{1, 2, 3,..., 16}` случайно последовательно без возвращения выбирают два числа – `x` и `y`. Какова вероятность того, что тройка чисел `{x, y, 12}` является сторонами прямоугольного треугольника?

Проверьте пожалуйста моё решение.

Мои мысли:

@темы: Теория вероятностей, Комбинаторика

---

[IWannaBeTheVeryBest]

"Доказать, что квадрат любого целого числа не представим в виде `4k + 2` где `k \in Z`"
Решал так. Ну предположим, что у нас есть некоторое число `a = 4q + r`. `0 <= r < 4`, `q \in Z`. Тогда `a^2 = (4q + r)^2 = 16q^2 + 8qr + r^2`.
1) `r = 0`
`a^2 = 16q^2 = |k = 4q| = 4k`
2) `r = 1`
`a^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 4q(4q + 2) + 1 = |k = q(4q + 2)| = 4k + 1`
3) `r = 2`
`a^2 = 16q^2 + 16q + 4 = 4(4q^2 + 4q + 1) = |k = 4q^2 + 4q + 1| = 4k`
4) `r = 3`
`a^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 4q(4q + 6) + 8 + 1 = 4(q(4q + 6) + 2) + 1 = |k = q(4q + 6) + 2| = 4k + 1`
Соответственно, квадрат любого числа представим либо в виде `4k` либо в виде `4k + 1`.
Верно? Если да, то меня стал мучить такой вопрос.
`a^2 \neq 4k + 2 = 2(2k + 1)`
`a \neq +- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`
То есть, по сути, здесь говорится, что так как `a` - целое и оно неравно `+- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`, то вообще говоря последнее не является целым числом.
Вопрос такой. А где-то действительно есть такая теоремка, что произведение нечетного числа на двойку есть число из которого не извлекается квадратный корень? ну или квадратный корень произведения двойки на нечетное число есть число иррациональное? Или это слишком примитивно? Просто я сомневаюсь, что я открыл что-то новое.
Однако с ходу не могу придумать этому доказательства.

@темы: Теория чисел

---

[wpoms.]

Математическая олимпиада в Албании

Олимпиада проводится в три этапа для учащихся 9-12 классов средних школ. Первый этап проходит в школьных округах, в декабре. Второй этап происходится на региональном или районном уровне в феврале. В нем участвуют учащиеся, набравшие не менее 70% баллов на первом этапе. Третий этап является заключительным этапом и проводится в Тиране или другом городе, выбранном Министерством образования и науки, как правило, в марте. В этом этапе участвуют учащиеся, которые набрали более чем 50% баллов на втором этапе. В третьем этапе участвуют, как правило, около 50-60 учащихся из каждой параллели, то есть всего около 200-250 учащихся. После завершения Национальной олимпиады (как правило, в середине марта), по шесть лучших учащихся трех категорий (классы 10, 11 и 12) и 1-3 лучших учащихся 9 класса, всего около 20 учащихся принимаю участие в отборочном соревновании, на основе которого формируется команда, которая принимает участие в Балканской олимпиаде по математике. В этом соревновании, в отличии от предыдущих этапов, задания общие для всех категорий учащихся. После Балканской олимпиады проводится еще одно отборочное соревнование, на основе которого формируется команда, которая принимает участие в IMO. Задания олимпиад можно посмотреть тут.

@темы: Олимпиадные задачи

---

[v-sofie]

Доброго времени суток!

Простая задача по теории вероятности. У светофора фазы: 20 секунд красный, 10 зеленый. Вопрос: сколько времени в среднем человек ждет на таком светофоре?
Решение: вероятность того, что человек попал на красный: 20/(20+10) = 2/3, что на зеленый: 1/3. И тогда время ожидания = 20sec*2/3 - 10sec*1/3 ?

@темы: Теория вероятностей

---

[IWannaBeTheVeryBest]

Есть ли какой-нибудь задачник по теории вероятностей, где разобраны задачи из данной темы? Ну к примеру
"Случайный процесс `x(t)` `t >= 0` определяется формулой `x(t) = a * sin(t + b) + \epsilon`, где `a,b,\epsilon` - независимые случайные величины, причем случайные величины распределены по законам...
Найти `P(X(t_1) <= X(t_2) | a <= 0)`, где `0 <= t_1 <= t_2 <= pi/2`"

@темы: Теория вероятностей

---

[wpoms.]

Неотрицательные действительные числа `a, b, c` удовлетворяют равенству `a^2 + b^2 + c^2 = 1`. Докажите, что `{a}/{b^2 + 1} + {b}/{c^2 + 1} + {c}/{a^2 + 1} \geq {3}/{4}*(a\sqrt {a} + b\sqrt {b} + c\sqrt {c})^2`.

@темы: Доказательство неравенств

---

[B44567E]

Может кто-то выложить с lib.mexmat.ru/books/104486 Курс математического анализа: часть пятая. Диференциальная геометрия
Автор: Фиников С.П.
Редкая книга, нигде больше нет. Скачать можно только из локальной сети мехмата. Заранее спасибо за помощь.

---

[zodiyelite]

Здравствуйте!
Такая вот задача:
Найти фокусы эллипса, получающегося при пересечении цилиндра `x^2+y^2=36` плоскостью `3x+4y+12z=0`.
Что пытался сделать я.
Выразил переменную(`x` или `y`) из второго уравнения и подставил в первое. Получил уравнение эллипса. Однако привести его к каноническому виду не удается(получается слишком "некрасивые" собственные числа, собственные векторы тем более).
При этом ответ вполне красивый. Первый фокус - `(18/13;24/16;-25/26)`, второй симметричен относительно нуля.
В ответе фигурирует число 13, а это длина вектора нормали к плоскости.
Может быть есть какое-то красивое решение этой задачи?
Спасибо.

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка

---

[lexa30071993]

А еще можно подсказку к этой задаче. В трапеции ABCD АD = 6, DС = 5, CВ = 8, ∠А+∠В=90. Найдите площадь трапеции

@темы: ЕГЭ

---

[lexa30071993]

Здравствуйте. Подскажите как решить задачу.
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбраны соответственно точки Р и Q так, что ВР : РА = 1 : 2 и BQ : QC = 4 : 1. Найдите отношение площади четырёхугольника ACQP к площади треугольника РBQ.

@темы: ЕГЭ

---

[MisteryS]

Составить уравнение равносторонней гиперболы с центром в точке А(5, -2) если известно, что она проходит через точку В(7,-1), а одна из её асимптот - через точку С(-1,2)

Решение:
уравнение имеет вид `(x-5)^2-(y+2)^2=a^2`
подставим точку А. Тогда а^2=3
Ну....и всё.
Зачем тогда говорится про асимптоту и точку С...не понятно

@темы: Аналитическая геометрия

---

[wpoms.]

В остроугольном треугольнике `ABC` точки `M` и `N` лежат на сторонах `AC` и `BC` соответственно, точка `K` - середина `MN`. Описанные окружности треугольников `ACN` и `BCM` пересекаются повторно в точке `D`. Докажите, что прямая `CD` проходит через центр описанной окружности `O` треугольника `ABC` тогда и только тогда, когда `K` лежит на срединном перпендикуляре отрезка `AB`.

@темы: Планиметрия

---

[IWannaBeTheVeryBest]

"`X_1, X_2 ... X_n` - случайные независимые величины, каждая из которых имеет плотность распределения `f(x) = {(ax; x \in [0; 1]), (0; x \notin [0; 1]):}`. Найти плотность распределения случайной величины `X = min{X_1, X_2, ... , X_n}`"
Как я понял, найти сначала функцию распределения. Для каждой случайной величины она будет выглядеть так.
`F(x) = int_{-\infty}^{x} ax dx = {(0; x < 0), ((ax^2)/2; x >= 0):}`
Теперь можно найти функцию распределения случайной величины `X = min{X_1, X_2, ... , X_n}`. То есть
`F_X(x) = P{X < x} = P{min{X_1, X_2, ... , X_n} < x}`
А вот что дальше - не соображу. Вроде как если по определению, то
`F_X(x) = {(0; x < 0),(P{min{X_1; X_2; ... ; X_n} < x}; x \in [0;1]),(1; x > 1):}`
Если бы я ее нашел, то дальше оставалось бы просто найти производную и плотность найдена. Может я не в том направлении утопал? Ну я вроде как понимаю, что плотность должна быть равна нулю, если `x < 0`, так как вероятность того, что минимум из этих величин будет меньше икса, который итак меньше 0, равна 0 (ну как бы сами величины не могут принять значение < 0, исходя из функции распределения каждой из величин.). Тогда будем искать эту вероятность только для `x >= 0`. Мне пока кажется, что надо перемножить все вероятности `P{X_1 < x} * P{X_2 < x} * ... * P{X_n < x}`, хотя не могу этого логически объяснить. Может это и неверно вовсе)

@темы: Теория вероятностей

---

[mkutubi]

Виктор Прасолов

Я получил из издательства файлы некоторых недавно переизданных с исправлениями моих книг и обновил их на своём сайте для скачивания: sites.google.com/site/prasolovskacatmoiknigi/
Там теперь есть новые издания книг "Азбука римановых поверхностей", "Задачи и теоремы линейной алгебры", "Многочлены", "Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии" и "Элементы теории гомологий". Ещё я нашёл в интернете московские олимпиады 1958-1967 и тоже их туда добавил. Скоро должны выйти и олимпиады 1968-1980 и 2006-2016.

@темы: Топология, Стереометрия, Ссылки, Олимпиадные задачи, Литература

---

[IWannaBeTheVeryBest]

"Случайная величина `X` имеет строго возрастающую функцию распределения `F(x)`. Найти распределение случайной величины `Y = F(X)`"
Вообще с первого взгляда просто очень мало данных. Ну то есть в задачнике разобран пример с похожим заданием, но там было дано $X \mathtt{\sim} Exp(\mu)$. Там еще была дана функция `Y = F(X)` в явном виде, но это не важно. Ощущение, что я чего-то не понимаю. Мне что-то должно дать то, что `F(x)` - строго возрастающая функция. А что именно? Я же не знаю ни плотности распределения, ни закона распределения. А ответ-таки очень однозначный
$Y \mathtt{\sim} R(0; 1)$

@темы: Теория вероятностей

---

[IWannaBeTheVeryBest]

ТФКП у меня уже прошло, но вообще задумался по поводу возведения в комплексную степень (да, да, плохо что так поздно задумался, бла бла бла ). Получается оно определено неоднозначно, ведь мы в ходе решения применяем комплексный логарифм. Возьмем общий пример
`a^b` и степень и основание - комплексные
`a^b = e^(b * Ln(a)) = e^(b * (ln|a| + i(arg(a) + 2pi*k))) = e^((Re(b) + i*Im(b)) * (ln|a| + i(arg(a) + 2pi*k))) = `
` = e^(Re(b) * ln|a| - Im(b) * (arg(a) + 2pi*k)) * e^(i*(Im(b) * ln|a| + Re(b) * (arg(a) + 2pi*k)))`
Верно ли будет написать, что
`a^b = e^(Re(b) * ln|a| - Im(b) * arg(a)) * (cos(Im(b) * ln|a| + Re(b) * arg(a)) + isin(Im(b) * ln|a| + Re(b) * arg(a)))`?
Ну или короче вопрос. Корректно ли опускать обороты `2pi*k` при записи конечного ответа? Или это будет неполный ответ? Или вообще некорректный? Просто например вольфрам спокойно пишет однозначный ответ и лишь снизу дописывает еще множество верных решений. В отличие от, скажем, того же тригонометрического уравнения в `R`, ну например `sin(x) = 0`, где он все-таки указывает обороты в ответе, а не просто пишет 0

@темы: ТФКП