• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
18:06 

В пятиугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с центром `M`. Точка `P \neq M` лежит на отрезке `MD`. Окружность, описанная около `ABP`, пересекает отрезок `AE` в точках `A` и `Q`, а так же пересекает прямую, проходящую через `P` перпендикулярно `CD`, в точках `P` и `R`. Докажите, что длины отрезков `AR` и `QR` равны.



@темы: Планиметрия

07:37 

wpoms
Step by step ...
С Днём рождения, aalleexx, и всего наилучшего!!!





P.S. На форуме alexlarin.com начался 5 6 сезон популярного вариала.

Вариант 201.

1. Шоколадка стоит 40 рублей. В воскресенье в супермаркете действует
специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три
(одну – в подарок). Какое наибольшее количество шоколадок можно получить,
потратив не более 320 рублей в воскресенье?

читать дальше

Вариант в виде pdf: alexlarin.net/ege/2018/trvar201.html

@темы: Праздники, Порешаем?!, ЕГЭ

17:25 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Дорогие сообщники, коллеги и примкнувшие к ним!
Поздравляю всех с Днём Знаний!
Желаю бесконечного здоровья, безмерного счастья и прочих прелестей в неограниченном количестве








.....

@темы: Праздники

20:13 

wpoms.
Step by step ...


5519.
Даны три различных натуральных числа. Разрешается к любому из них прибавить наибольший общий делитель двух других. Можно ли за несколько таких операций сделать все числа равными?
%Ю.А. Игнатов (Тула)

читать дальше



@темы: Порешаем?!

12:45 

wpoms.
Step by step ...
Бураго А. Г. Дневник математического кружка: первый год занятий / Перевод с английского А. В. Абакумова. –– М.: МЦНМО, 2017. –– 368 с.

Книга содержит весь необходимый материал для проведения математического кружка в 5––7 классах в течение всего учебного года.
Приводятся подробно изложенные темы для обсуждения в классе, наборы задач с решениями, математические игры и конкурсы. Автор –– преподаватель математических кружков с многолетним стажем –– делится профессиональными навыками ведения кружка. Читатель найдёт в книге советы, как организовать занятие, преподнести материал и избежать типичных ошибок.
Книга адресована учителям и руководителям математических кружков. Также она будет интересна школьникам, увлекающимся математикой, и их родителям.

biblio.mccme.ru/node/5764 (265 руб.)

О новой книге

@темы: Литература

12:33 

wpoms.
Step by step ...
Игнатов Ю.А., Шулюпов В.А., Реброва И.Ю., Устян А.Е., Эвнин А.Ю. Всероссийские студенческие турниры математических боев. Тула, 2002-2015 гг. Часть 1 — Тула: ТГПУ, 2017. — 146 с.
Сборник задач проводившихся в Туле в 2002-2015 студенческих математических боёв. Включает также правила проведения, регламент турниров, сводку результатов.
Предназначен в помощь студентам и преподавателям для подготовки к математическим соревнованиям.

Игнатов Ю.А., Шулюпов В.А., Реброва И.Ю., Устян А.Е., Эвнин А.Ю. Всероссийские студенческие турниры математических боев. Тула, 2002-2015 гг.. Ч.2 — Тула: ТГПУ, 2017. — 148 с.
Сборник задач проводившихся в Туле в 2002-2015 студенческих математических боёв. Включает также правила проведения, регламент турниров, сводку результатов.
Предназначен в помощь студентам и преподавателям для подготовки к математическим соревнованиям.

Полистать можно на www.twirpx.com или либгене.

@темы: Литература

20:54 

Демоверсии 2018

ФИПИ опубликовал:

Демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ 2018 г.
www.fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikaci...

Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017 года
www.fipi.ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metod...

Демоверсии, спецификации, кодификаторы ОГЭ 2018 год
www.fipi.ru/oge-i-gve-9/demoversii-specifikacii...

@темы: ГИА (9 класс), ЕГЭ

19:06 

И снова многочлены

wpoms.
Step by step ...


Найдите все многочлены $P(x) \in \R[x]$, удовлетворяющие двум условиям:
(a) $P(2017) = 2016$ и
(b) $(P(x) + 1)^2 = P(x^2 + 1)$ для всех действительных $x.$



@темы: Теория многочленов

06:02 

Что-то про многочлены

wpoms.
Step by step ...


Пусть `u` является положительным корнем уравнения `x^2 + x - 4 = 0`. Многочлен
`P(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + \ldots + a_0,`

где `n` - положительное целое число, имеет неотрицательные целые коэффициенты и `P(u) = 2017`.
1) Докажите, что `a_0 + a_1 + \ldots + a_n \equiv 1 text{mod} 2 `.
2) Найдите максимально возможное значение выражения `a_0+a_1+\ldots+a_n`.



@темы: Теория многочленов

22:36 

Целочисленные тройки

wpoms.
Step by step ...


Найдите все целочисленные тройки `(a,b,c)` такие, что `a > 0 > b > c` и их сумма равна 0 при условии, что
`N=2017-a^3b-b^3c-c^3a`

является квадратом целого числа.



@темы: Теория чисел

11:03 

Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля

Доброго времени суток!

Я пытаюсь изучать аксиоматическую теорию множеств. Решил начать с ZF как наиболее популярной. Вопросов значительно больше, чем ответов. Да и вопросы сформулировать, увы, здесь не всегда просто. Просто сплошная непонятность! Попытаюсь наиболее ясно сформулировать непонятные мне моменты.

I) В любой аксиоматической теории вводятся неопределяемые объекты и отношения между ними. Например, в евклидовой геометрии такими неопределяемыми объектами являются "точка", "прямая", "плоскость", "движение", а неопределяемыми отношениями - бинарное отношение "инцидентность" и тернарное отношение "лежит между" (согласно немного видоизмененной аксиоматике Гильберта, приведенной в книге Костина "Основания геометрии" () . В теории Пеано натуральных чисел неопределяемым объектом является "натуральное число", а неопределяемым отношением - бинарное отношение "следовать за". В связи с этим возникает вопрос. Какие неопределяемые понятия и отношения используются в аксиоматике ZF? С моей точки зрения, неопределяемыми понятиями должны быть "множества", "элементы", неопределяемыми отношениями - бинарное отношение "принадлежит" (∈ (), "равно" (=). Но если я прав (хотя, не похоже), почему тогда во всех аксиомах ZF используются только малые латинские буквы? Иначе говоря, почему на уровне букв не делается различия между "множествами" и "элементами"? В книге Н. И. Казимирова "Введение в аксиоматическую теорию множеств" на стр. 4 в первом абзаце утверждается: " В теории множеств (как в наивной, так и в формальной) мы любой объект считаем множеством, т. к., во-первых, это ничуть не мешает нам моделировать при помощи теории множеств реальные объекты, а во-вторых, это упрощает построение самой теории". Т. е. нет понятия "элемент" в аксиоматике ZF? Выходит, что элементами любого множества в ZF являются элементы, сами являющиеся множествами. Но тогда получается, например, следующее. Возьмем, к примеру, множество A, состоящее из числа 1: A={1}. Верным будет утверждение 1 ∈ A. Но 1 - само множество! Что ему тогда принадлежит? 1? Т. е. 1 ∈ 1? Так что ли поступают в аксиоматической теории множеств? (Напомню, что во многих учебниках по наивной теории множеств запись 1 ∈ 1 признается не имеющей смысла; верно лишь, что 1 {1}). Я заранее прошу прощения за большую выдержку из упомянутой книги Казимирова, но вот что он сам пишет по поводу такого странного положения дел:

"С самого начала мы предположили, что все множества, какие мы рассматриваем в наивной (канторовской) теории множеств представляют из себя произвольные наборы множеств, никаких других ограничений на понятие множества мы не накладывали. Покажем, что такое достаточно произвольное определение множества не может быть корректным с точки зрения логики, ибо приводит к противоречию. Следующий парадокс, который мы получим здесь, называется парадоксом Расселла.
Поскольку атомарная формула х у, выражающая принадлежность множества х к множеству у, имеет смысл для любых множеств х и у, ничто не мешает нам рассмотреть такой ее вид: х х. С точки зрения здравого смысла формула х х должна быть ложной для любого множества х, ибо мы считаем, что часть некоего объекта (в данном случае множества) не может совпадать с самим этим объектом. Поэтому мы вводим следующее определение: множество х такое, что х x, называется регулярным, а множество х, для которого хх, назовем сингулярным.
Снова нам ничто не мешает собрать все регулярные множества в одно множество R, точнее, R={x|x x}. Попытаемся теперь ответить на следующий вопрос: регулярно или сингулярно множество R?
Предположим, что множество R регулярно, т.е. R R. Но тогда R удовлетворяет тому свойству, которым оно само определено, значит, R R. Противоречие. Предположим тогда, что R сингулярно, т. е. R R. Но тогда R не удовлетворяет тому свойству, которым определены его элементы, следовательно, R R. Противоречие.
Итак, множество R не регулярно и не сингулярно, чего быть не может, если мы принимаем закон исключенного третьего (либо А, либо не А). Так может быть, R — не множество?
Полученный парадокс, как может показаться, доказывает несостоятельность самой идеи множества, как высшей точки абстракции в математических науках. На самом же деле весь тот путь, который мы прошли при построении множеств и при рассмотрении парадокса Расселла, уже дает предпосылки к решению этого парадокса. Мы с самого начала считали, что множество есть произвольная совокупность (множеств), что привело к построению парадоксального множества R. Насколько велико это множество, мы также не знаем, ибо мы предположили существование сингулярных множеств. С другой стороны, если предположить, что все множества регулярны, то R будет просто множеством всех множеств. Конечно, это не избавляет нас от противоречия, но зато дает повод попытаться исключить из рассмотрения сингулярные множества, а также «слишком
большие» совокупности множеств путем навязывания множествам некоторых условий или, как принято говорить, аксиом".

Но в нашем случае речь идет не о "больших множествах", а всего лишь о множестве, состоящем из одного элемента. И, по определению Казимирова, оно сингулярно! Итак, есть ли в теории ZF различие между "множествами" и "элементами"? Что-то уже много написал... Если кто-то поможет ответить, буду искренне признателен. Остальные вопросы в ходе дискуссии. Спасибо!




@темы: Математическая логика

12:01 

Много треугольников

wpoms.
Step by step ...


Через точку `A` на плоскости проходят 3 прямые, которые разбивают плоскость на 6 областей.
Внутри каждой области выбраны 5 точек. Известно, что никакие три из выбранных 30 точек не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее 1000 треугольников с вершинами в выбранных точках таких, что точка `A` находится внутри или на границе треугольников.



@темы: Планиметрия

20:18 

Пятизначные числа

Уважаемое сообщество , не могу найти решение задачи - доказательство:
Существует ли такое пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на те же пять цифр, что и исходное число, притом в том же порядке?
Ответы нашел - например 90625, 890625. Но не могу этого доказать

@темы: Головоломки и занимательные задачи

09:43 

Переходим к старшим

wpoms.
Step by step ...


Остроугольный треугольник `ABC` с `AB < AC < BC` вписан в окружность `c(O,R)`. Окружность `c_1(A,AC)` пересекает окружность `c` в точке `D` и пересекает продолжение стороны `CB` в `E`. Прямая `AE` пересекает `c` в `F` и точка `G` симметрична `E` относительно точки `B`. Докажите, что около четырёхугольника `FEDG` можно описать окружность.



@темы: Планиметрия

20:58 

Игра по правилам

wpoms.
Step by step ...


Компания из `n` игроков играет в настольную игру по следующим правилам.
а) В каждом раунде играют ровно `3` игрока
б) Игра заканчивается через `n` раундов
в) Каждая пара игроков играет вместе по крайней мере в одном раунде.
Найдите наибольшее возможное значение `n`.



@темы: Комбинаторика

21:58 

Что-то гармоническое

wpoms.
Step by step ...


Найдите все такие положительные целые числа`a`, `b` и простые числа `p` такие, что
`\frac{1}{p} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}`.



@темы: Теория чисел

20:10 

Боремся с системой

wpoms.
Step by step ...


Решите систему в положительных действительных числах:
`{(x*(6 - y) = 9), ( y*(6 - z) = 9), (z*(6 - x) = 9):}`.



@темы: Системы НЕлинейных уравнений

14:09 

Пишет Гость:
Добрый день!

Не могу вспомнить название и автора книги, которую читал в детстве. В ней было изложение теории вероятностей для школьников. Мне запомнилась одна задачка о ките и китобое: известно место последнего всплытия кита, но направление его движения неизвестно, через некоторое время кит всплывет снова за воздухом; китобойное судно имеет большую скорость, но не знает в каком направлении искать кита; как должно двигать судно?
Помню картину с уплывающим китом и спиральной траектории корабля...

Уже много старых книг для детей по теории вероятности просмотрел, но нигде не могу найти эту.
Возможно, кто-то встречался с такой книгой?

@темы: Поиск книг, Теория вероятностей

13:58 

Площадь как функция

wpoms.
Step by step ...


Дан квадрат `ABGD` с длиной стороны `\alpha`. На стороне `AD` отметили точки `E` и `Z` такие, что `DE = \dfrac{\alpha}{3}` и `AZ = \dfrac{\alpha}{4}`. Прямые `BZ` и`GE` пересекаются в точке `H`. Выразите площадь треугольника `BGH` как функцию от `\alpha`.



@темы: Планиметрия

19:00 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
С Днем рождения, All_ex!
:red::red::red:
От всей души желаем здоровья, счастья, творческих успехов, всего самого наилучшего!
Отличных студентов! И будьте всегда таким добрым и отзывчивым :)
изображение

@темы: Люди, Праздники

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная