К "про любовный квадрат"...

[Resonanz]

Необходимо найти ашипку.
Наша с Cara-ой попытка разрешить задачу "про любовный квадрат" "ВОТ ТАК"
Предел, вроде, взяли...
Но в результате с ответом не совпадает (вроде бы).

Нужны замечания, указания на ошибки.

Нужны замечания, указания на ошибки.

@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Пределы, Головоломки и занимательные задачи

Comments

[Cara]

Имеются два слабых места, на которые следует обратить внимание в первую очередь: взятие интеграла и предела )))

[Robot]

Я вообще-то не очень во всем этом разбираюсь, может кто-то более квалифицированно посмотрит.
Откуда установлено, что уравнение кривой такое?
Учитывая
,
можно сказать, что интеграл составлен правильно (но необходимости во всей первой странице нет совсем).
Не знаю, нужно ли перебрасываться к r и так понятно, что в каких пределах изменяется фи.
Единственное, что при движении по часовой стрелке угол считается отрицательным (это к тому, что м.б. за счет этого знак минус не нужен??)(ну или надо считать от + беск до 0)
Еще sqrt(b^2)=|b|.
Правда, если фи положительно, то здесь все нормально

Неопределенный интеграл на уровне на уровне обозначения к вычислен вроде верно.
Вот знак только при переходе к определенному меня смущает.
И вообще я видела использование такой формулы только при изменении фи в конечных пределах. Но может просто не встречала.
Дальше не проверяла.
==
Повторяю, я в этом не особо смыслю
P.S.
А не пробовали перейти к интегралу по r?
Вот еще как можно записать интеграл (это одно и тоже, я проверила, но может попроще будет выглядеть)(логарифм натуральный)

Кстати, написано, что «предел вроде взяли.» Но я этого не вижу

[Resonanz]

Robot
Я тоже не очень в этом разбираюсь (не математик я), но рад, что, вроде бы правильно уловил смысл криволинейного интеграла.
Таким образом, решение стопорится на стадии поиска предела?..

Не знаю, нужно ли перебрасываться к r и так понятно,

Это ж все поток сознания (дилетанта) 8), было "ничего не ясно, ничего не очевидно" ...

Единственное, что при движении по часовой стрелке угол считается отрицательным

Не совсем понял смысл. Почему по часовой? Против, вроде...

А не пробовали перейти к интегралу по r?

Совсем не понял. Где?
Т.е. изначально идтить от функции фи от r, а не наоборот (как мы сделали)? И интегрировать потом от r до 0?

Кстати, написано, что «предел вроде взяли.» Но я этого не вижу
Cara что-то нашаманил, но я пока не взял. Т.о. решение предела пока не согласовано и мы решили его (решение) не выкладывать.

P.S. Уравнение (1) для меня тоже было "неочевидным", поэтому пришлось идтить сначала...

[Robot]

Просто здесь и здесь описываются левые и правые спирали
Вот если бы по r интегрировалось, то при изменении от 0 до a/sqrt(2) было бы понятно, что идем от центра.
(это все тоже поток мыслей просто - не нравится мне что-то в этом интегрировании по ф, несобственный интеграл этот). (Можно, кстати, взять проинтегрировать не до бесконечности, а до какого-то значения, скажем Пи/3 и посмотреть будет ли интеграл положительным).
А по r? - ну, скажем, выразить фи через r, dф выразить через dr. А интегрировать от 0 до а/sqrt(2) (или от a/sqrt(2) до 0)
Но это опять же вольные мысли..

[Robot]

Я почему про уравнение спросила
Вот тут rusproject.narod.ru/article/archspiral.htm#log три муравья гуляют так же - и там логарифмическая спираль
А про четырех я не слышала.

[Resonanz]

Robot

А по r? - ну, скажем, выразить фи через r, dф выразить через dr. А интегрировать от 0 до а/sqrt(2) (или от a/sqrt(2) до 0)

Значит правильно понял. Попробуем.

Можно, кстати, взять проинтегрировать не до бесконечности а до какого-то значения, скажем Пи/3

Угу. Тоже попробуем.

[Robot]

Со знаками вроде все в порядке
Если ф изменяется от 0 до1, то k изменяется от 1 до 1/2 и
(здесь вместо х - читай k)
Учитывая, что а>0 и знак минус перед интегралом, получаем, что значение определенного интеграла будет положительным.

[Robot]

Сейчас подумалось, - а почему бы не оставить интеграл от k? Зачем переходить к ф? По k тоже будет несобственным, но хоть выглядит не столь страшно

[Resonanz]

Критически подойдя к вопросу установления зависимости r(ф), мы установили, что спираль действительно будет логарифмической. 8))

[Robot]

Значит, все ваши муки по предыдущему решению напрасны?
Но в логарифмической - там три муравья. А здесь четыре.

[Robot]

Только здесь ничего не удаляйте
Нужно будет - сделайте новый пост.

[Resonanz]

Resonanz
Да, мы с cara обнаружили ошибку в рассуждении. Она сокрыта в самом начале, в зависимости r(ф).
По Вашей наводке, конечно. Ибо именно она заставила подвергнуть критике самое начало.
Все остальное - правильно.
И рассуждения о сведении криволинейного интеграла к "простому" определенному, и взятие этого интеграла, и взятие предела. Все это сделано, насколько мне пока видится, правильно.
Но не для той кривой!

Ошибка была "идеологической".
Если W - угловая скорость, то нам надо было брать ее не среднее значение, а мгновенное. Т.е. не W = ф/t надо было рассматривать, а W=dф/dt.
Получается логарифмическая спираль вида r=a*exp(-bф)
Однако, этот момент с мгновенной угловой скоростью мы проскочили быстро, и основной удар направили на сведение интеграла от криволинейного, его взятие и взятие предела.
А ошибка была в начале.

Все уже прорешали, ответ совпадает. Интегралы берутся вообще в уме, простые поскольку. Предел простой.
Удалять мы не будем (если cara не будет против), а корректное, надеюсь, решение поместим тут же. Только подготовим отчет.

[Cara]

Resonanz

Удалять мы не будем (если cara не будет против)

Разумеется, я не против.

[Robot]

Спасибо)
И на мой взгляд, лучше все же отчет о правильном решении дать в отдельной записи. Во-первых, она будет наверху, во-вторых, людям не придется прочитывать лишний материал перед тем, как познакомиться с решением.
Можно записи снабдить перекрестными ссылками.

[Resonanz]

Корректное, надеюсь, решение тут.

[Robot]

Resonanz
Спасибо, а то я все хотела-хотела это сделать - и забыла!..