Снова я, снова пределы.
В задачнике натолкнулся на интересную задачку:
`lim_(x->-pi/4) sin(x+pi/4)/(tgx+1)`
Через правило Лопиталя она решается элементарно:
`lim_(x->-pi/4) sin(x+pi/4)/(tgx+1) =` (замена б.м. ф-ции на эквивалентую) `= lim_(x->-pi/4) (x+pi/4)/(tgx+1)`
`=` (правило Лопиталя) `= lim_(x->-pi/4) 1/(1/(cos^2x))= 1/2`
Меня интересует как это сделать без его применения.
В задачнике натолкнулся на интересную задачку:
`lim_(x->-pi/4) sin(x+pi/4)/(tgx+1)`
Через правило Лопиталя она решается элементарно:
`lim_(x->-pi/4) sin(x+pi/4)/(tgx+1) =` (замена б.м. ф-ции на эквивалентую) `= lim_(x->-pi/4) (x+pi/4)/(tgx+1)`
`=` (правило Лопиталя) `= lim_(x->-pi/4) 1/(1/(cos^2x))= 1/2`
Меня интересует как это сделать без его применения.
-
-
24.01.2012 в 21:53А без правила: представьте 1 в знаменателе как tg(pi/4) и воспользуйтесь формулой сумма тангенсов...
-
-
24.01.2012 в 21:59Кстати все еще ищу сложные задачи на пределы и производные, поскольку те, что есть в задачниках, слишком легкие, вроде этой.
-
-
24.01.2012 в 22:01-
-
24.01.2012 в 22:58пределов?или там слишком просты?
-
-
25.01.2012 в 00:18-
-
25.01.2012 в 00:42Не надо запоминать. Тангенс суммы вы конечно помните? Ну и выразите из нее числитель правой части. Это и будет сумма тангенсов. Возможно это не совсем та формула, я не знаю какая она должна быть, но получившаяся формула вполне сгодится — `sin(x+pi/4)` сразу сократится.
-
-
25.01.2012 в 00:58-
-
25.01.2012 в 13:41-
-
25.01.2012 в 18:10Сложные задачи такого рода обычно не требуют найти предел, а доказать/опровергнуть его существование.
Хотя, например, нахождение следующих пределов — тоже непростая задача:
`lim_(n->oo) root(n)(\frac {n^n}{n!})`
`lim_(n->oo) \frac {1}{n sin^9(n)}`
А вообще, полистайте сборники олимпиадных задач по мат. анализу за 1 курс. Там много интересного.
-
-
18.02.2012 в 22:07lim sin(x+Pi/4)/(tgx+1) as x->Pi/4 = sin(Pi/4+Pi/4)/(tg(Pi/4)+1) = sin(Pi/2)/(1+1) = 1/2
-
-
19.02.2012 в 13:45