Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
11:44 

С4 вариант 7 Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010

Очередная задачка для завершения коллекции.
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.
читать дальше

Вот один из вариантов решения:
читать дальше
читать дальше

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

Комментарии
2009-11-03 в 13:04 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
aalleexx
Спасибо большое)). А то я подумала, что Вы забыли
Сейчас свой способ напишу, минут через 10

2009-11-03 в 13:15 

Что, если точка пересечения высот совпадает с одной из вершин?

URL
2009-11-03 в 13:22 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
первая конфигурация. Угол С- острый

Решение опирается на факт, где-то уже упоминаемый, а именно
Лемма. Если Н- ортоцентр треугольника, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой
Доказывается на проблемс.ру - я ссылку уже давала, но докажу и тут непосредственно
Докажем, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ВСН, равны между собой.
В четырехугольнике АЕНК углы Е и К прямые, потому сумма углов А и ЕНК равна 180 градусам. Значит уугол ЕНК и равный ему вертикальный угол ВНС равны 180 -∠А, откуда sin∠BHC=sin∠A.
Тогда по теореме синусов радиус окр-ти, описанной около треугольника ВНС, равен ВС/2sin∠BHC=BC/2∠A=R, где R - радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
Воспользуемся этим фактом для решения нашей задачи. В нашем случае СН=R (*)
Заметим, что ∠С=90-∠HВC (**)
По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника ВСН, равен СН/2sin∠НВС
По лемме и с учетом (*)
R=R/2sin∠НВС
откуда с учетом (**)
sin∠НВС=sin(90-∠C)=cosC=1/2
C=60°
==
До второго случая у меня пока руки не дошли. Но там просто будет дополнение до 180 градусов(угол С - тупой, а рассматриваться будет прямоугольный треугольник с углом 180-С). Да и надо посмотреть, проходит ли именно такое доказательство леммы.
Но я думаю, что все будет также

2009-11-03 в 13:30 

Что, если точка пересечения высот совпадает с одной из вершин? :)

URL
2009-11-03 в 13:31 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Что, если точка пересечения высот совпадает с одной из вершин?
В этом случае треугольник прямоугольный, и судя по условию задачи Н не совпадает с С, то есть С- вершина острого угла
Да, такая конфигурация проходит, там всплывет правильный треугольник и в этом случае угол С=60

2009-11-03 в 13:32 

правильный прямоугольный

URL
2009-11-03 в 13:36 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Я имею в виду вот тот верхний маленький треугольник будет правильным
Н - ортоцентр будет в этом случае вершиной прямого угла, верхний угол пусть С. Тогда СН равняется радиусу описанной окружности, то есть равен медиане и половине гипотенузы. И вот потому тот треугольник правильный.
Вы правы, такое надо рассматривать отдельно

2009-11-03 в 14:12 

zholga
aalleexx, спосибо за ваше решение. А я вчера стала набирать своё решение и нашла ошибку, так было обидно. Твоё решение разобрала, действительно как вы и говорили: Решение через довольно занудную тригонометрию. Да еще два случая. Идея очень проста, а преобразования громоздкие.

Robot, сечас внимательно посмотрю твоё решение.

2009-11-03 в 15:08 

zholga
Robot, классно :up:
Я посмотрела случай, когда С - тупой.
Там, действительно лемма проходит и доказывется всё аналогично.

Док-во леммы:
НЕСТ: углы Е и Т прямые, ∠Н+∠ЕСТ=180,
∠С=180-∠Н, sin∠C=sin∠Н
Тр-к АВС: АВ/sin∠C=2R1
Тр-к АВH: АВ/sin∠Н=2R2
Отсюда R1=R2=R
Решение: С - тупой
∠ВСТ=180-∠С
∠В=90-∠ВСТ=90-180+∠С=∠С-90
СН/sin∠СВН=2R, R/sin(∠C-90)=2R, sin(∠C-90)=1/2, ∠C-90=30, ∠C=120.

2009-11-03 в 15:35 

Вы правы, такое надо рассматривать отдельно Кстати - да :). Граждане проверяющие вполне могут срезать балл на ЕГЭ за отсутсвие этого случая

2009-11-03 в 17:57 

У "граждан прверяющих" есть инструкция за что снижать и насколько. Надо обратить внимание, что практически во всех задачах С4 два случая-для остро- и тупоугольных треугольников.

URL
2009-11-03 в 18:19 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
zholga
Спасибо большое.

Да, я, кстати, вспомнила, почему не закончила свое решение
Дело в том, что угол С может быть острым, но сам ортоцентр лежать вне треугольника (то есть сам треугольник тупоугольный)
То есть первая конфигурация она не совсем правильно у меня задана. Она для остроугольного треугольника.
И вот мне не хватило времени посмотреть для остальных случаев.
Так что выше это все-таки заготовка, в отличие от решения aalleexx.

2009-11-03 в 18:24 

"гражданам проверяющим" инструкцию составляют "граждане, составляющие, периодически, неверные условия и решения". это не говорит ни о чем (наличие инструкции).

URL
2009-11-03 в 18:26 

И вот мне не хватило времени посмотреть для остальных случаев.
Так что выше это все-таки заготовка, в отличие от решения aalleexx.


У aalleexx ситуация аналогичная.

URL
2009-11-03 в 18:55 

У aalleexx ситуация аналогичная
В моем решении добавится еще один аналогичный расчет и получится то же самое.

2010-01-11 в 20:30 

Простите, разве во втором случае окружность с центром H описанна около теугольника? На окружности лежат лишь две его вершины: A и B

URL
2010-01-11 в 20:41 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Гость Вы о чьем решении говорите?
И, по-моему, здесь нигде не рассматриваются окружности с центром в Н

2010-01-12 в 01:09 

Прошу прощения, проклятая невнимательность при чтении условия) Теперь все ясно, извините

URL
2010-03-31 в 22:30 

И ответ, помещённый в сборнике, и решения, размещённые здесь, ОШИБОЧНЫ. В треугольнике ABC, удовлетворяющем условиям задачи, не может быть угла в 120 градусов, потому что тогда треугольник --- тупоугольный, а В ТУПОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ВЫСОТЫ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ (тогда как в данном треугольнике, по условию, высоты пересекаются). Спрашивается: понимают ли то, что пишут, составители задач, и умеют ли читать те, кто эти задачи решает? Ну и, конечно, извечный вопрос: А СУДЬИ --- КТО? Кто те люди, от которых зависит, сдадут ли ЕГЭ выпускники, поступят ли они в выбранные ими вузы, если составители задач сами не понимают, о чём они пишут?

Между прочим, не знаю, кто прислал Вам решение этой задачи, которое Вы разместили, но задача решается гораздо проще и красивее. Дело в том, что ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ ОСТРОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ЯВЛЯЕТСЯ ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СЕРЕДИННЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, СТОРОНЫ КОТОРОГО ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ВЕРШИНЫ ДАННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ЕГО ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ СТОРОНАМ (а, значит, и центром окружности, описанной около этого "нового" треугольника, откуда всё легко и наглядно (!) получается. Для прямоугольного треугольника решение очевидно, а тупоугольных треугольников, удовлетворяющих условиям задачи, как мы выяснили, не существует).

2010-03-31 в 22:40 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
anaziev
Дело в том, что мы вынуждены подчиняться реалиям
Составители, написав про высоты, понимают, конечно же, прямые, содержащие высоты. И дают два ответа.
Так что мы вынуждены тоже делать такое допущение
По поводу другого способа
Вы в курсе, что на ЕГЭ все факты, которые не входят в школьные учебники, необходимо доказывать?
Поэтому прежде чем воспользоваться тем, что вы пишете, надо будет предварительно этот факт доказать
И возникает вопрос не будет ли док-во вспомогательного утверждения+собственно решение задачи другим способом длиннее, чем предложенные здесь?
И еще вопрос: а Вы читаете комменты? Ведь в них предлагаются другие способы решения.
Причем иногда порой и несколько различных.
Читайте все
А то по предыдущему Вашему замечанию насчет перпендикуляров к пл-тям я поняла, что Вы это не делаете.
У нас как раз идет все обсуждение не собственно в записи, а в комментах
Мы выбираем лучшие способы.

2010-03-31 в 22:48 

Если "составители, написав про высоты, понимают, конечно же, прямые, содержащие высоты", то пусть они скажут, как они напишут про то, что ИМЕННО ВЫСОТЫ пересекаются в одной точке!

2010-03-31 в 22:50 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
anaziev
Вопрос не к нам:)

2010-03-31 в 22:51 

По поводу другого способа. Я в курсе. И на вопрос, который у Вас возникает, отвечаю: не будет.

2010-03-31 в 22:52 

К Вам, потому что именно Вы мне возражали.

2010-03-31 в 23:18 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Я не то, чтобы возражала..
Просто если составители везде (в том числе и в диагностических работах) дают многовариантные задачи, то встретив такую задачу, придется решать ее так, как это задумано составителями. То есть фактически гадать и подстраиваться
А чтобы этого не происходило, учителя, облоно (или как оно там) должны писать письма. И делать замечания по формулировкам
А то, что мы говорим об этом на форумах, - не поможет совершенно
Руководители форумы такие не читают
А отвечаю я, потому что я как бы здесь администратор, подписываюсь на все топики. И буду рада, если Вам ответит кто-то из учителей

2010-03-31 в 23:30 

2010-03-31 в 23:18
Robot

Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Я не то, чтобы возражала..
Просто если составители везде (в том числе и в диагностических работах) дают многовариантные задачи, то встретив такую задачу, придется решать ее так, как это задумано составителями.


1) Дело здесь не в многовариантности, а в правильном употреблении языка.

2) Если мы будем решать задачи не так, как они написаны, а так, как они задуманы составителями , то это буде не математика, а телепатика.
Это, кстати, почти общее устремление всех, кому удавалось прорваться в составители: задач, учебников. И этому есть простое и понятное название: предъявлять к читателю более высокие требования, чем к себе, автору.

2010-03-31 в 23:40 

Продолжение: поэтому-то мы ДОЛЖНЫ везде и всюду тыкать составителей задач носом в их ошибки, а не соглашаться угадывать, что там они имели (а чаще всего --- и не имели) в виду. Слишком велика плата за их снисходительность к себе и нашу --- к ним!

2010-03-31 в 23:49 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
anaziev
У нас в сообществе очень много постов, в которых обсуждаются огрехи составителей, ошибки в формулировках задач и т.д.
Мне просто сейчас некогда подыскивать Вам ссылки
Все мы прекрасно все понимаем.
Но только!
Вот пришли дети на экзамен.не какие-то абстарктные дети. А скажем, родственники. Или те же La balance, Noil, с которыми мы уже сроднились на этом форуме.
Ну и как им быть?
Им нужны баллы
А вдруг они потом не оспорят на апелляции?
А вы в курсе, что иногда человек приходит на апелляционную комиссию и вместо одной спорной задачи у него просматривают всю работу, находят кучу мелочей и сбрасывают по 4 сырых балла (у нас городе такое было). А придраться доценту, кандидату наук к работе школьника всегда найдется где.
И потому и мучаются школьники вопросами - а как? Решать правильно или так, как хотят составители?


Была диагностическая работа, в которой не то, чтобы в формулировке, в решении от составителей была ошибка и соответственно в ответе. И что?

Я уже здесь неоднократно говорила: преподавательский состав, учителя, ну возмутитесь , наконец, делайте хоть что-то.
У меня лично рычагов воздействия нет.

2010-03-31 в 23:49 

Продолжение: и то, что мы говорим на форумах --- поможет, если мы будем честно и непредвзято оценивать качество предлагаемых (НА ВСЮ СТРАНУ!) материалов, а не уговаривать себя и других, что нам нужно угадывать, что там имели в виду их составители!

2010-03-31 в 23:49 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
поэтому-то мы ДОЛЖНЫ везде и всюду тыкать составителей задач носом в их ошибки
Вот об этом я и говорю.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная