wpoms.
Step by step ...
55 Монгольская математическая олимпиада: Задания для учителей



1. $p \ge 2$ анхны тоо ба $p$ тоотой харилцан анхны $a,$ $b$ натурал тоонууд өгөгдөв. $(a^{p-1}-1)+55(b^{p-1}-1)$ нийлбэр $p^2$-д хуваагддаг бол $(a^{p(p-1)}-1)+55(b^{p(p-1)}-1)$ нийлбэр $p^3$-д хуваагдана гэж харуул.

2. $0 < x_0 < 1$ ба $n \ge 1$ үед
$x^{2n-1}_n = x_{n-1}\cos x_n$
байдаг $\{x_n\}$ дарааллын хувьд $\{n(1-x_n)\}$ дараалал зааглагдсан гэж харуул.

3. $I$ төвтэй $\omega$ тойргийг багтаасан, $O$ төвтэй $\Omega$ тойрогт багтсан $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AC,$ $BD$ диагнолиуд $E$ цэгт огтлолцоно. $\omega$ тойрог $AD,$ $AB$ талуудыг харгалзан $P,$ $Q$ цэгүүдэд шүргэх ба $E$ цэгээс $PQ$ шулуунд буулгасан перпендикулярын суурь $T$ бол $AO$ ба $IT$ шулуунууд $\Omega$ тойрог дээр огтлолцоно гэж батал.



4. $a^2_1+ \dots + a^2_n$ нийлбэр $(a_1 + \dots + a_n)^2 - 1$ тоог хуваадаг байх $a_1,\dots, a_n$ натурал тоонууд олддог чанартай хамгийн бага натурал $n$ тоог ол.

5. Огторгуйд өгөгдсөн тэг биш 7 вектороос хоорондох өнцөг нь хурц байх хоёр вектор сонгож чадна гэж харуул.

6. Сондгой тоо $k$ ба бүхэл коэффициенттэй $k$ зэргийн $Q(X)$ олон гишүүнт өгөгдөв. Дурын бүхэл $n$ тооны хувьд $P(n) = Q(m)$ байх бүхэл $m$ тоо олддог чанартай бүх бодит коэффициенттэй $k$ зэргийн $P(X)$ олон гишүүнтийг ол.



@темы: Олимпиадные задачи