17:03 

Решить систему уравнений

Требуется найти `U_c`
`{(U_(i) - U_(a) = L(dI_L) / (dt)), (I_(C_2) = C_2(d(U_a - U_b)) / (dt)), (I_(C_1) = C_1(d(U_b - U_c)) / (dt)), (I_(SRC) = gU_a), (I_(R_2) = (U_b) / (R_2)), (I_(R_1) = (U_c) / (R_1)), (I_L + I_(C_2) = 0), (I_(C_2) + I_(SRC) + I_(R_2) + I_(C_1) = 0), (I_(C_1) + I_(R_1) = 0) :}`
Токи `I_L, I_(SRC), I_(C_1), I_(C_2), I_(R_1), I_(R_2)` неизвестны и потенциалы `U_a, U_b, U_c` тоже неизвестны.


@темы: Математический анализ

Комментарии
2019-10-20 в 19:44 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А что такое `U_i`?

2019-10-20 в 21:48 

All_ex, это входное напряжение, U_{in}, просто скрипт отображает знак принадлежности, это напряжение дано, `1 \text{V}`. У меня решить эту систему не получается, дошел только до
`{(I_L = g(U_(i) - L(dI_L) / (dt)) + (U_b) / (R_2) + (U_c) / (R_1)), (I_(C_2) = C_2(d(U_a - U_b)) / (dt)), (I_(C_1) = C_1(d(U_b - U_c)) / (dt)) :}`
На выходе должны получить зависимость от времени.
`I_(C_1), I_(C_2)` — токи через конденсаторы `C_1` и `C_2` соответственно,
`I_(SRC)` — ток через источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) `U_a`
`g=3,1 \cdot 10^(-3)` — крутизна итуна.

2019-10-21 в 05:35 

All_ex, кажется имеется некоторый прогресс.

Почему-то не отобразилось

Исходная задача


2019-10-21 в 08:52 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Вроде как можно исключить лишние переменные за счёт алгебраических равенств... и получится система линейных дифференциальных уравнений и даже с постоянными коэффициентами...
Матрично она должна решаться...

Сейчас писать не удобно... ближе к ночеру могу что-нибудь написать с домашнего компьютера...

2019-10-21 в 17:48 

All_ex, спасибо, буду ждать!

2019-10-21 в 19:57 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Насколько я понимаю, Вы тут выписали что-то типа законов Кирхгофа ... я не помню как они выписываются, поэтому пишу только про полученную Вами систему...

Тут слишком громоздкие обозначения... поэтому я их упрощу...
Обозначим `U_a = X, \ \ U_b = Y, \ \ U_c = Z` ... `I_L = A, \ \ I_{SRC} = B, \ \ I_{C_1} = F, \ \ I_{C_2} = G, \ \ I_{R_1} = M, \ \ I_{R_2} = N`...
Насколько я понимаю, `U_i, \ g, \ C_{1,2}, \ R_{1,2}` - известные константы...

В этих обозначениях уравнения запишутся как
`U_i - X = L * A'`
`G = C_2 * (X - Y)'`
`F = C_1 * (Y - Z)'`

`B = g * X`
`M = Y/{R_2}`
`N = Z/{R_1}`

`A + F = 0`
`G + B + N + F = 0`
`F + M = 0`

Оставляем первое уравнение ... и подставляем из уравнений 2-5 в последние три алгебраических равенства... получим систему:
`U_i - X = L * A'`
`A + C_1 * (Y - Z)' = 0`
`C_2 * (X - Y)' + g * X + Z/{R_1} - A = 0`
` -A + Y/{R_2} = 0`

за счёт последнего равенства избавимся от `A`...

`Y' = - {R_2 * X}/L + {R_2 * U_i}/L`
`Y' - Z' = - Y/{R_2 * C_1}`
`X' - Y' = - {g * X}/{C_2} - Y/{R_2} - Z/{C_2 * R_1}`

Можно оставшиеся уравнения преобразовать, чтобы они слева имели производную от одной функции... а можно характеристическое уравнение выписывать для этой системы...

Надеюсь не накосячил...

2019-10-21 в 21:45 

All_ex, огромное спасибо! Да, последние три уравнения это первый закон Кирхгофа для трех узлов, сколько тока втекает в узел, столько и вытекает, т.е. сумма токов равна нулю. Все остальные уравнения это уже из физики (или электротехники). С константами тоже всё верно, L ещё константа. Пойду разбирать решение :)

2019-10-21 в 22:14 

All_ex, Надеюсь не накосячил... есть немного
`N = Y / R_2`
`M = Z / R_1`
`A + G = 0`
`G + B + N + F = 0`
`F + M = 0`
Тогда
`{(U_i - X = L*A'), (A + C_2 * (X - Y)' = 0), (- A + g * X + Y / R_2 - Z / R_1 = 0), (C_1 * (Y - Z)' + Z / R_1 = 0):}`
совсем другая система. Как лучше упростить?

2019-10-21 в 22:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
есть немного
Вы походу тоже опечатались в последнем слагаемом последнего уравнения... :alles:

совсем другая система. Как лучше упростить?
Суть всё равно та же самая...
Ну, подставьте `A` их третьего уравнения в первое... получите систему ДУ относительно `X,Y,Z` ...

2019-10-21 в 23:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
При желании можно ДУ 3-го порядка относительно `Z` получить, раз Вам надо только эту величину найти... а можно и систему решать...

2019-10-21 в 23:10 

All_ex, в последнем слагаемом последнего уравнения... это слагаемое `M` ? Вроде бы всё верно - ток первого резистора.

Ну, подставьте их третьего уравнения в первое
Так и сделал кстати -- во второе подставил из третьего, а в третье подставил из первого, четвертое таким же оставил.
Итого получилась система
`{(X' - Y' = Z / (R_1 * C_2) - Y / (R_2 * C_2) - (g * X) / C_2), (g * X' + (Y') / R_2 - (Z') / R_1 = - X / L + U_i / L), (Y' - Z' = - Z / (R_1 * C_1)):}`

Если хочется решить всю систему, то как дальше поступать?

2019-10-21 в 23:19 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Если хочется решить всю систему, то как дальше поступать?
Писать характеристическое уравнение...
При этом можно сначала получить запись в нормальной форме (чтобы в каждом уравнении стояла производная только от одной функции) - так более стандартно ... и в учебниках про такие системы пишут...
Либо писать для этой формы записи...

2019-10-21 в 23:25 

All_ex, чтобы в каждом уравнении стояла производная только от одной функции по идее так и надо на мой взгляд, а как это сделать? Я вчера весь день колдовал, а сегодня понял благодаря Вашему решению, что упустил из вида ещё пару уравнений - третье подставил во второе, второе в первое, получил уравнение, а про другие и забыл.

2019-10-21 в 23:43 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
по идее так и надо на мой взгляд
это более типично, но совсем не обязательно... хотя, если опыта во всяких "извращения" не много, то лучше идти по проторенному пути... :alles:

а как это сделать?
ну, метод исключения Вам в помощь... это же типовое преобразование системы алгебраических уравнений...
если Гаусс Вас не устраивает, то можете обратной матрицей жахнуть... :alles:

формально Ваша система ДУ имеет вид `P*x' = Q*x + f`, где `x = (X,Y,Z)^T` - столбец неизвестных...
Вам надо переписать систему в виде `x' = P^{-1}*Q*x + P^{-1}*f`... а дальше по учебнику....

2019-10-21 в 23:47 

All_ex, понял, да в последнее время прогал просто и тут хоп такое задание, а я уж и забыл как и что делать. Сейчас вот смотрю и удивляюсь своей тупости :kto: А ведь решал и не такое...

2019-10-22 в 00:07 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
вспоминать проще, чем учить заново... справитесь... :pozit:

2019-10-22 в 01:59 

All_ex, если не ошибся, то после Гаусса так

`X' - Y' = - g / C_2 * X - 1 / (R_2 * C_2) * Y + 1 / (R_1 * C_2) * Z`
`Y' - Z' = - 1 / (R_1 * C_1) * Z`
`(g / R_1 + 1 / R_2 - 1) * Z' = (g^2 / C_2 - 1 / L) * X + g / (R_2 * C_2) * Y + (g / (R_1 * C_1) - g / (R_2 * C_2) + 1 / R_2) * Z + U_i / L`

2019-10-22 в 03:04 

Ой, две ошибки в преобразованиях сделал

`X' - Y' = - g / C_2 * X - 1 / (R_2C_2) * Y + 1 / (R_1C_2) * Z`
`Y' - Z' = - 1 / (R_1C_1) * Z`
`(g + 1 / R_2 - 1 / R_1) * Z' = (g^2 / C_2 - 1 / L) * X + g / (R_2C_2) * Y + 1 / (R_1) (g / C_1 - g / C_2 + 1 / (R_2C_1)) * Z + (U_i) / L`

или так

`X' - Y' = - g / C_2 * X - 1 / (R_2C_2) * Y + 1 / (R_1C_2) * Z`
`Y' - Z' = - 1 / (R_1C_1) * Z`
`(gR_1R_2 + R_1 - R_2) * Z' = R_1R_2(g^2 / C_2 - 1 / L) * X + (gR_1) / (C_2) * Y + R_2 (g / C_1 - g / C_2 + 1 / (R_2C_1)) * Z + (R_1R_2U_i) / L`

Коэффициенты, однако, брутальные :alles:

2019-10-22 в 07:13 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
:alles: ... дык, это ещё не всё... Теперь надо избавиться от `Z'` во втором уравнении, а затем от `Y'` в первом... вот где брутальность получится... :lol:

2019-10-22 в 23:36 

All_ex, ага, когда писал у меня уже была готовая система вида
X' = a1X+b1Y+c1Z+d1
Y' = a2X+b2Y+c2Z+d2
Z' = a3X+b3Y+c3Z+d3
Только набирать её лениво было и пошел спать. Причем d=d1=d2=d3 вышло.
Как такую систему привести к виду
X' = f(X)
Y' = f(Y)
Z' = f(Z)
?
Насколько понял Вас в курсе дифуров имеются такие методы, но честно не помню вообще... Система вида X' = f(X) выглядит естественно, а потому с такой работать и хочется. Насколько понимаю Гаусс не поможет здесь.

p.s. думал днем сегодня посижу с этими преобразованиями, но сел только сейчас

2019-10-22 в 23:46 

All_ex, ой, так это и называется нормальной формой www.math24.ru/%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0...
Супер, тогда система готова)) По ссылке указаны три метода. Понимаю, что это точно не все, а также чувствую, что именно с этого места я и должен кодить начинать. Не подскажите какие-нибудь методы ? Что-то уже путаться начинаю, явно тесная связь дифуров с числаками.

2019-10-23 в 02:48 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Как такую систему привести к виду
ну, честно говоря одно другому не равносильно, если только в новой системе на стоят линейные комбинации старых искомых функций...

Не подскажите какие-нибудь методы
ну, я бы решил всё это через собственные числа и векторы... программа для них должна быть не сложной...


Система у Вас имеет вид `x' = Ax + f`, причём вектор `f` - постоянный (то есть не зависит от времени). Это значит, что частное решение можно пытаться подбирать тоже постоянное, то есть как решение СЛУ `Ax_1 + f = 0`...

Если найдёте собственные числа `lambda_k` и собственные векторы `H_k` матрицы `A`, то общее решение однородной системы выписывается по формуле из учебника... `x_0 = C_1*e^{lambda_1*t}*H_1 + C_2*e^{lambda_2*t}*H_2 + C_3*e^{lambda_3*t}*H_3`

Есть конечно тонкие моменты... например, `A` может оказаться вырожденной, тогда `x_1` надо подбирать в другом виде... или матрица имеет кратные собственные числа, тогда могут возникнуть присоединённые собственные векторы...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная