Step by step ...
rmms.lbi.ro/rmm2019/index.php?id=home - задачи, результаты

1 USA117First + Trophy
2 KOR107Second
3 SRB107Second
4 ISR105Third
5 RUS104
6 CHN101

1. A и B играют в игру. Вначале A пишет на доске положительное целое число. Затем игроки ходят по очереди, B ходит первым. Делая свой ход B заменяет число $n,$ написанное в этот момент на доске, на число вида $n-a^2$, где $a$ --- положительное целое число. Делая свой ход A заменяет $n,$ написанное в этот момент на доске, на число вида $n^k$, где $k$ --- положительное целое число. B выигрывает, если ему удается написать на доске число ноль. Может ли A помешать B выиграть?

2. Дана равнобедренная трапеция $ABCD,$ $AB\parallel CD$. Пусть $E$ --- середина $AC$. Пусть $\omega$ --- описанная окружность треугольника $ABE$, $\Omega$ --- $CDE$. Пусть $P$ --- точка пересечения прямой, касающейся $\omega$ в точке $A$, и прямой, касающейся $\Omega$ в точке $D$. Докажите, что $PE$ касается $\Omega$.

3. Given any positive real number $\varepsilon$, prove that, for all but finitely many positive integers $v$, any graph on $v$ vertices with at least $(1+\varepsilon)v$ edges has two distinct simple cycles of equal lengths.
(Recall that the notion of a simple cycle does not allow repetition of vertices in a cycle.)

4. Prove that for every positive integer $n$ there exists a (not necessarily convex) polygon with no three collinear vertices, which admits exactly $n$ diffferent triangulations.
(A triangulation is a dissection of the polygon into triangles by interior diagonals which have no common interior points with each other nor with the sides of the polygon)

5. Determine all functions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfying $f(x + yf(x)) + f(xy) = f(x) + f(2019y),$ for all real numbers $x$ and $y$.

6. Find all pairs of integers $(c, d)$, both greater than 1, such that the following holds:
For any monic polynomial $Q$ of degree $d$ with integer coefficients and for any prime $p > c(2c+1)$, there exists a set $S$ of at most $\big(\tfrac{2c-1}{2c+1}\big)p$ integers, such that $\bigcup_{s \in S} \{s,\; Q(s),\; Q(Q(s)),\; Q(Q(Q(s))),\; \dots\}$ contains a complete residue system modulo $p$ (i.e., intersects with every residue class modulo $p$).

@темы: Олимпиадные задачи