19:13 

Задачи на сечение многогранников

Здравствуйте. Есть такое задание:
В треугольной призме `ABCA_1B_1C_1` точка `M in A A_1` `AM:MA_1=1:3`; `N in C C_1`, `CN:NC_1=5:2` ; `K in BC`, `BK:BC=1:3` Построить сечение призмы плоскостью `MNK`. Найти в каком отношении плоскость сечения делит объем призмы?

Мое решение.
1. Построил сечение. Проверьте, пожалуйста, правильно или нет?
2. А вот насчет объема не знаю вообще, что делать. Понятное дело, что можно ввести коэффициенты пропорциональности, и именно `AM=x, MA_1=3x`; `CN=5y, NC_1=2y`;`BK=z, BC=3z, KC=2z`. Но что с этим делать дальше?

Заранее спасибо за помощь!

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Стереометрия

Комментарии
2018-12-27 в 01:42 

All_ex, Вроде так и получилось. Просто ранее из подобия треугольников `GAM` и `GCN` было установлено, что
`(CM)/(CN)=(AG)/(GC)=(AM)/(CN)=x/5y`
Так как `A A_1=C C_1` то `4x=7y` и тогда
`(AG)/(GC)=7/20` или `(GC)/(GA)=20/7`
Далее, находим отношение `(KG)/(FG)` по теореме Менелая из треугольника `KGC`
`(KG)/(FG)=(AG*BC)/(AC*BK)`
`(KG)/(FG)=(AG*3z)/(AC*z)`
`(KG)/(FG)=(3*AG)/(AC)`

Пока все правильно?

2018-12-27 в 01:43 

Или здесь не нужно подставлять значения и оставить как есть?

2018-12-27 в 01:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
допустим... а дальше?...

2018-12-27 в 01:47 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Или здесь не нужно подставлять значения и оставить как есть?
нужно подставить...

2018-12-27 в 01:56 

All_ex, А теперь я что-то в тупике. Не пойму, как получил то соотношение `5200/343`
После подстановки того, что есть, выходит:
`V_(GKCN):V_(GFAM)=(60/7)*((AG*CN)/(AC*GM))`
А дальше не знаю. Что-то запутался окончательно

2018-12-27 в 14:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Дубль три ...
Вы получили отношение объёмов пирамид `V_{GKCN} : V_{GFAM} = {GN}/{GM} * {GK}/{GF} * {GC}/{GA}`, причём все отношения либо даны, либо найдены...
`V_{GKCN} : V_{GFAM} = {20}/7 * {20}/7 * {34}/{21}` у меня получилось так...

Теперь можете выразить объём части призмы под сечением через объём пирамиды `GKCN` ... `V_1 = V_{GKCN} - V_{GFAM} = ...`

Далее ... аналогично, но только быстрее, находите отношение объёмов пирамид `V_{CABC_1} : V_{CGKN}` ... теперь уже до ответ рукой подать...

2018-12-27 в 22:31 

All_ex, Собрался с мыслями, просмотрел с самого начала. Есть один нюанс.
У меня получилось немного иначе, а именно `GK:GF=13/21`. У Вас вышло `34/21`. Из треугольника `KGC` по теореме Менелая выходит, что `KG:FG=(AC*BK)/(AG*BC)=((GC-AG)/(AG))*({BK}/{BC})=(20/7-1)*1/3={13}/{21}` Или здесь я снова ошибся? Тогда выходит, что
`V_(GKCN):V_(GFAM)={20}/7*{20}/7*{13}/{21}={5200}/{1029}`
`V_(GFAM)={1029*V_(GKCN)}/{5200}`
`V_1=({4171}/{5200})*V_(GKCN)`
Пока верно?

Не понял, зачем нужно рассматривать отношение объемов пирамид `V_(CABC_1):V_(CGKN)`? Ведь у них вроде нет общих граней?

2018-12-27 в 23:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а именно `GK:GF=13/21`
такое отношение вроде у `FK : KG`... :upset:

Не понял, зачем нужно рассматривать отношение объемов пирамид `V_(CABC_1):V_(CGKN)`? Ведь у них вроде нет общих граней?
ну, Вы так и не поняли, к чему я Вас подводил... у этих пирамид три сонаправленных ребра...

2018-12-27 в 23:47 

All_ex, такое отношение вроде у ...
Точно. Сослепу в формуле Менелая вместо `FG:FK` написал `FG:GK`. Выдал желаемое за действительное. Теперь ясно, откуда`34/21`

ну, Вы так и не поняли, к чему я Вас подводил... у этих пирамид три сонаправленных ребра...

знаю, что бывают сонаправленные вектора. о сонаправленных ребрах не слышал.

2018-12-27 в 23:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
о сонаправленных ребрах не слышал.
Ну, это я тут такой термин присочинил... хотя векторы, направленные по рёбрам, выходящим из вершины `C`, будут сонаправленными...

2018-12-28 в 00:06 

All_ex, а так понимаю, что стороны `CN` и`C C_1`, `CK` и `CB`, `CG` и `AC`. Верно?
Видимо, есть какая-то теорема об отношении объемов таких пирамид, у которых три ребра сонаправлены?

2018-12-28 в 00:43 

Видимо, есть какая-то теорема об отношении объемов таких пирамид, у которых три ребра сонаправлены?
Её легко придумать, если начать с отношения площадей треугольников с равным углом: S1/S2 = absin gamma / cdsin gamma = ab/cd.

URL
2018-12-28 в 16:00 

All_ex, Так, у меня получился вот такой ответ. Ход рассуждения следующий:
1. Находим отношение объема призмы к объему пирамиды `GKCN`, пользуясь тем, что у них есть сонаправленные ребра и используем формулу площади треугольника (основания) через синус угла. Выходит:
`v_(p r i z m a)/V_(GKCN)=3*(AC*CB*C C_1)/(GC*CK*CN)=3*((GC-AG)/(GC))*(CB*C C_1)/(CK*CN)=...=(3^2*7*13)/(20*2*5)`
2. Теперь отсюда выражаем площадь пирамиды:
`V_(GKCN)=V_(p r i z m a)*({20*2*5}/{3^2*7*13})`
3. Подставляем это в объем многогранника под сечением `V_1`:
`V_1={4171}/{5200}*({20*2*5}/{3^2*7*13})*V_(p r i z m a)`
`V_1={4171}/{21294}*V_(p r i z m a)`
4. Теперь находим объем верхнего многогранника `V_2` (над сечением) через объем призмы:
`V_2=V_(p r i z m a)-V_1={17123}/{21294}*V_(p r i z m a)`
5. И осталось найти отношение `V_1:V_2` чтобы узнать, в каком отношении сечение делит призму:
`V_1:V_2=4171/17123`
Верно? Правда, ответ вышел очень неприятный визуально.

Но у меня все равно остался вопрос: зачем нужно было искать отношение объемов `V_(CABC_1):V_(CGKN)`? Это как-то бы упростило задачу?

2018-12-28 в 16:21 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но у меня все равно остался вопрос: зачем нужно было искать отношение объемов `V_(CABC_1):V_(CGKN)`? Это как-то бы упростило задачу?
для того, чтобы получить 1. Находим отношение объема призмы к объему пирамиды `GKCN`, поскольку первая пирамида имеет объём, равный трети от призмы...

2018-12-28 в 16:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Верно? Правда, ответ вышел очень неприятный визуально.
:upset: ... у меня вышел другой... хотя гарантии своих быстрых выкладок не дам, надо перепроверять....

2018-12-28 в 16:32 

All_ex, то есть, это просто другой метод решения? Спасибо большое за помощь. А какой ответ у Вас вышел? Я тогда проверю, возможно, я просто ошибся.

2018-12-29 в 17:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
то есть, это просто другой метод решения?
ну, не то чтобы совсем другой... :alles: ...
не стану ещё раз повторяться, поскольку я его описывал в первых комментариях...

мой ответ `{967}/{3317}` ...

ну, а в целом, welcome...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная