16:32 

Уравнение с параметром

Здравствуйте. Есть такое задание:
Найти все значения параметра `a`, при которых на луче `(-infty;0]` уравнение `(a-4)x^2+2(a+2)x+a+4=0` имеет единственное решение.

Моё решение. Я так понимаю, что фраза " на луче `(-infty;0]` " означает, что `x in (-infty;0]`. Тогда, если уравнение имеет единственное решение, то дискриминант должен равняться нулю, то есть:
`D=0 => D=4(a+2)^2-4(a-4)(a+4) => 16a+80=0 => a=-5`
Тогда, `x=-1/3, x in (-infty;0]`.

Верны ли мои рассуждения и правильный ли ответ? Если есть ошибка, прошу подсказать, как тогда решаются такие уравнения.
Заранее спасибо!

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

Комментарии
2018-12-03 в 16:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Кроме Вашего варианта:
1) уравнение может иметь два корня, но один из них - положительный...
2) уравнение может стать линейным, а не квадратным...

2018-12-03 в 17:15 

All_ex, 1) Выходит, что `D>0 => a > -5`, тогда `x_1=(-(2a+2)-sqrt(16a+80))/(2(a-4))` , `x_2=(-(2a+2)+sqrt(16a+80))/(2(a-4))`. Если `x in (-infty;0]` то нужно решить оба неравенства `x_1<0` и `x_2<0`?
2) Здесь тогда при `a=4` уравнение станет линейным и `x=-4/3`

Кстати, если решать неравенства из 1), то выходит, что `a` не должно равняться четырем, поэтому в ответ `x=-4/3` не пойдет?

2018-12-03 в 17:35 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Кстати, если решать неравенства из 1), то выходит, что `a` не должно равняться четырем
ну, в пункте 1) - не должно... а в пункте 2) - обязано...

Кстати, задачу можно было ещё решать графически ... построить график в плоскости `Oxa`... и посмотреть на его поведение...
правда, это немного муторнее...

2018-12-03 в 17:58 

All_ex, Немного не понял насчет 1) пункта. Например, если решать `x_2<0` при `a> -5`и `a` не равное 4, то решением будет `a in (-5;-4)U(4; +infty)`. Но тогда выходит, что у нас будет здесь не единственное решение (в условии задачи нужно единственное решение). Или я чего-то не понимаю?

2018-12-03 в 18:11 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Например, если решать `x_2<0`
ну, так первый корень ещё должен быть положителен...

хотя тут проще смотреть на отношение коэффициентов, которое равно произведению корней... `x_1*x_2 = {a + 4}/{a - 4} < 0` ... и отдельно посмотреть на случай `a = -4`, когда появляется нулевой корень...

2018-12-03 в 19:53 

All_ex, а почему первый корень будет положительным? и если он положительный, то зачем его рассматривать, если `x in (-infty; 0]` ? Что-то я немного запутался...

2018-12-03 в 19:59 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Sunline1990, если у Вас два корня `x_1 < x_2`, то есть разные варианты:
1) `x_1 < 0, \ \ x_2 <= 0` - вариант не устраивает, поскольку на полуоси `x in (-infty; 0]` решение не одно...
2) `x_1 <= 0, \ \ x_2 > 0` - вариант устраивает, поскольку на полуоси `x in (-infty; 0]` решение единственно...
3) `x_1 > 0, \ \ x_2 > 0` - вариант не устраивает, поскольку на полуоси `x in (-infty; 0]` решений нет...

2018-12-03 в 22:12 

All_ex, Получилось следующее:
1 вариант (`x_1 <= 0, x_2 > 0`)
Если `x_1<=0` то `(-2x-4-sqrt(16x+80))/(2x-8)<=0` и решением будет `a in [-5;-4]U(4;+infty)`
Если `x_2>0` то `(-2x-4+sqrt(16x+80))/(2x-8)>0` и решением будет `a in emptyset`
Тогда получается, что пересечением в данном случае будет пустое множество.
Тогда получается, что нужно рассмотреть еще один вариант.
2 вариант (`x_1 > 0, x_2 <= 0`)
Если `x_1 > 0` то `(-2x-4-sqrt(16x+80))/(2x-8)>0` и решением будет `a in (-4;4)`
Если `x_2<=0` то `(-2x-4+sqrt(16x+80))/(2x-8)<=0` и решением будет `a in [-5;-4]U(4;+infty)`
Здесь тоже выходит, что решения нет (пустое множество)

Или я где-то ошибся?

2018-12-03 в 22:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
ну, ошибки есть... в частности последнее неравенство `x_2 \le 0` решили неверно...

а, кроме того, лучше все неравенства писать строгими... а случай нулевого корня рассмотреть отдельно...

2018-12-03 в 23:10 

All_ex, Да, точно. При `x_2<=0` решением будет `a in [-5;-4)U(4;+infty)`. В любом случае, решения нет. Совет принял, буду писать везде строгое неравенство.
Рассмотрел случай нулевого корня. Выходит, что `x_1=0 => (a-4)(a+4)=0 => a=-4` (учитывая одз)
Значит, при `a=-4`
`-8x^2-4x=0 => x(2x+1)=0 => x=0, x=-1/2` - не подходит (так как два решения)
При `x_2=0` решения те же.

Значит, окончательный ответ: При `a=4`, `x=-2/3` ; при `x != 4` и `a=5` , `x=-1/3`
Верно?

2018-12-03 в 23:30 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Верно? - нет... потому что При `x_2<=0` решением будет `a in [-5;-4)U(4;+infty)` неверно...

2018-12-04 в 00:17 

All_ex, Прошу прощения, почему-то написал минус перед 4. При `x_2<=0` решением будет `a in [-5;4)U(4;+infty)`
Следовательно, общее решение будет `(-4;4)`. Но в ответ не входит, так как решение не единственное.

Окончательный ответ: При `a=4`, `x=-2/3` ; при `a !=4` и `a=5`, `x=-1/3`

Правильно или снова накосячил где-то?

2018-12-04 в 00:24 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но в ответ не входит, так как решение не единственное.
Почему?... Вас же спрашивают не про единственный корень вообще, а про единственный отрицательный корень...

2018-12-04 в 00:38 

All_ex, Вроде разобрался. Еще пропустил один корень при `a=-4`.Тогда ответ следующий:
При `a=4`, `x=-2/3` ; при `a !=4` и `a=5`, `x=-1/3` ; при`a=-4`, `x=-1/2` ; при `a in (-4;4)` , `x<0` ?

2018-12-04 в 00:43 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`a = -4` не подходит, поскольку оба корня лежат на полуоси `x \in (-oo; 0]`...

А ответ должен описывать множество значений параметра... зачем тут указание иксов?...

2018-12-04 в 00:49 

All_ex, Тогда можно объединить ответы и написать, что `a in (-4;4]U{5}` ?

2018-12-04 в 01:00 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
не просто "можно", а нужно...

2018-12-04 в 01:02 

All_ex, Все, разобрался.
Спасибо Вам большое за советы и быстрые ответы.

2018-12-04 в 01:15 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная