23:08 

Задача про оператор

Линейный оператор `A`: `RR^n to RR^n` таков, что `A^3` - проектор.
1) Какие собственные значения может иметь `A`?
2) Верно ли, что `A` будет иметь диагнональную матрицу в каком-либо базисе `RR^n`

Моя попытка решения п.1
По определению, проектора: `A^6 = A^3`. В то же время по определению союственного числа: `A x = lambda x` => `A^6 x = lambda^6 x` и `A^3 x= lambda^3 x => lambda^6-lambda^3 = 0 Leftrightarrow lambda = 0, lambda = 1`, кратность корней 3
Моя попытка решения п.2
Здесь, к сожалению, не все лямбды различны, значит возможна ситуация, когда собсвтенных векторов может быть недостаточно и собственный базис не будет существовать. Тут как-то надо найти собсветнные вектора?

@темы: Линейная алгебра

Комментарии
2018-07-04 в 00:19 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
хм... ну, вроде у проекторов собственные числа могут быть только 0 и 1...
тогда, если `lambda` - сч оператора `A`, то `lambda^3 = 0` или `lambda^3 = 1`... то есть тут тоже могут быть только 0 и 1...
про кратность ничего сказать нельзя... то уравнение, которое Вы получили не является характеристическим...
кроме того, например, для операторов `A = E` или `A = 0`, то Ваши условия выполнены, но в первом случае сч только 1, а во втором - только 0, кратности `n` ...

2018-07-04 в 08:20 

ну, вроде у проекторов собственные числа могут быть только 0 и 1...
тогда, если - сч оператора , то или ..
Я так понимаю, я просто доказал это свойство
Ну хорошо, получили мы `lambda^3 = 1`, значит собственное число может быть `1`, а ещё два комплексных корня нужны? Я правильно понимаю, что мы их отбрасываем, так как оператор действует в `RR^n -> RR^n`, то есть вектор до применения оператора вещественен и после тоже?

2018-07-04 в 09:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а ещё два комплексных корня нужны?
что-то про них я забыл... :pom:

Я правильно понимаю, что мы их отбрасываем, так как оператор действует в `RR^n -> RR^n`,
нет не отбрасываем... ничего не мешает действительнозначной матрице иметь комплексные собственные числа...

2018-07-04 в 12:37 

Итого ответ на первый пункт: `A` может иметь собтсвенные значения: 0, 1, `e^(2*i*pi/3), e^(-2*i*pi/3)`?
Немного отойдя от темы хочется узнать, а как вообще оператор, действующий `RR^n -> RR^n` может иметь комплексные собственные значения? Я себе могу представить такую ситуацию только в том случае, если числа в матрице оператора комплексные

2018-07-04 в 13:31 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Итого ответ на первый пункт:
да, видимо так...

а как вообще оператор, действующий `RR^n -> RR^n` может иметь комплексные собственные значения?
таких операторов можно придумать пруд пруди....

Например, `A = ((1, 0, 0), (0, -1/2, {sqrt{3}}/2), (0, -{sqrt{3}}/2, -1/2))` имеет характеристическое уравнение `-lambda^3+1 = 0`... и `A^3 = E` - то есть удовлетворяет условию задачи...

При этом не обязательно брать матрицу поворота... например, `A = ((1, 0, 0), (0, -2, 1), (0, -3, 1))` обладает теми же свойствами...

2018-07-04 в 21:53 

All_ex, так если для соответствующих комплексных собственных чисел найти собственные вектора, то вектора тоже содержат комплексные числа: `v_1 = (0, -i, 1)`, `v_2=(0,i,1)`. А у нас оператор действует `RR^n -> RR^n`

2018-07-04 в 22:52 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, так если для соответствующих комплексных собственных чисел найти собственные вектора, то вектора тоже содержат комплексные числа:
Я не понимаю, что Вас смущает?... :upset:
Есть матрица с действительными элементами... очевидно, что она задаёт отображение `RR^n to RR^n`... и наличие комплексных СЧ и СВ на это никак не повлияет...

2018-07-04 в 23:05 

Я понимаю запись `RR^n to RR^n` вот так ''оператор на вход принимает вектор из пространства `RR^n` и переводит его в другой вектор из пространства `RR^n`". Соответственно, вектор `v_1=(0,-i,1)` не лежит в `RR^n`. Поправьте меня, что неверно

2018-07-04 в 23:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, ''оператор на вход принимает вектор из пространства
ну, так и берите вектор произвольный из `RR^n`... что же Вы собственные векторы цепляете... они то тут при чём?... :nope:

2018-07-04 в 23:13 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, если Вы рассматриваете отображение `y = x^2 + p*x + q \ : \ RR to RR`, где `p,q in RR`, то Вы же не привязываетесь к тому, что многочлен должен иметь действительные корни...
То есть "мухи отдельно, а котлеты - отдельно"(с)....

2018-07-05 в 19:45 

Окей, понял
А насчет п.2? я слышал, что оператор поворота подходит как контрпример, это верно?

2018-07-05 в 20:32 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А насчет п.2? я слышал, что оператор поворота подходит как контрпример, это верно?
вроде так... как и любой оператор с комплексными корнями не диагонализуем над `RR`...

2018-07-05 в 23:30 

Почему если `A` - оператор поворота, то `A^3` - проектор? Тут интуитивно хочется взять `A` - оператор поворота на 120 градусов, тогда `A^3` будет переводить вектор в себя, но будет ли это проектор - неочевидно

2018-07-06 в 01:18 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Почему если `A` - оператор поворота, то `A^3` - проектор?
ну, понятно, что не любой поворот даст пи возведении в куб проектор...

Тут интуитивно хочется взять `A` - оператор поворота на 120 градусов
ну, его я выше и написал...

тогда `A^3` будет переводить вектор в себя, но будет ли это проектор - неочевидно
почему неочевидно?...:upset: ... `A^3 = E` ... `E^2 = E`, что соответствует определению проектора... :nope:

2018-07-06 в 08:39 

Да, понял, спасибо

2018-07-06 в 12:04 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная