19:58 

Задача про функцию

Пусть `f` - гладкая, вещественная функция, причем `f(0)=0, f(1)=1`. Докажите, что найдутся различные `x_1, x_2 in [0;1]`, для которых : `1/{f'(x_1)} + 1/{f'(x_2)} = 2`

По опыту решения таких задач много раз видел, как начинают рассматривать некоторую функцию. Здесь первое, что пришло в голову, рассмотреть функцию `F = x * (f(x)-1)`
Тогда получается, что `F(0)=0, F(1)=0`. Значит на промежутке `[0;1]` есть точка, в которой производная равна нулю + на этом промежутке функция достигает своего максимального и минимального значения. Пока что дальше я не продвинулся с этим.
Ещё была идея как-то с выпуклостью/вогнутостью посмотреть...

@темы: Математический анализ

Комментарии
2018-06-29 в 20:30 

Возможно, в некоторой внутренней точке отрезка производная равна 1.

URL
2018-06-29 в 20:47 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, хотя бы одна такая точка есть обязательно... это следует из теоремы Лагранжа...
Если функция пересекает хотя бы раз прямую `y = x`, то таких точки две... то есть осталось рассмотреть функции, которые `f(x) < OR > x \ \ forall \ x in (0;1)`...
Хотя может надо просто подобрать функцию, как предлагал ТС...

2018-06-30 в 12:11 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Существует`c in (0;1) \ : \ f'(c) = 1` ... Рассмотрим случай, когда эта точка единственная (иначе всё ок)...

Не уменьшая общности, пусть `f'(0) = 1 - a \ \ and \ \ f'(1) = 1 + b`, где `a > 0, \ \ b > 0`...

В силу непрерывности производной (по второй теореме Коши), существуют точки `z_1 in [0; c), \ \ z_2 in (c;1] \ : \ f'(z_1) = 1 - 1/n, \ \ f'(z_2) = 1 + 1/n`, где `n \ge max{2; 1/a; 1/b}`...

Тогда возьмём `x_2 = z_2` ... и снова по второй теореме Коши существует `x_1 in [ z_1; c) \ : \ f'(x_1) = 1 - 1/{n + 2}` ...

ну, как-то так...

2018-07-01 в 10:24 

Если функция пересекает хотя бы раз прямую , то таких точки две...Если функция пересекает хотя бы раз прямую , то таких точки две...
Вот это не совсем очевидно. Потому что теорема Лагранжа говорит просто о том, что точка `xi` существует, но не говорит где именно на отрезке она находится. Может быть, если мы пересекаем `y=x`, то эта точка `xi` попадает именно в точку пересечения с `y=x`

2018-07-01 в 10:41 

Ваше второе решение мне понятно, я бы не догадался, конечно, взять именно `1+1/n` и `1-1/(n+2)`

2018-07-01 в 11:01 

Кстати фразу Не уменьшая общности, пусть , где ... Вы писали из предположения о том, что если мы пересекли `y=x`, то условие задачи автоматически выполнено?

2018-07-01 в 11:23 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Кстати фразу Не уменьшая общности, пусть , где ...
опечатка... там равно стоит... (исправился) ...
то есть я предполагаю, что слева производная всюду меньше единицы, а справа - больше...

Вот это не совсем очевидно. Потому что теорема Лагранжа говорит просто о том, что точка `xi` существует, но не говорит где именно на отрезке она находится. Может быть, если мы пересекаем `y=x`, то эта точка `xi` попадает именно в точку пересечения с `y=x`
Если есть точка `x = x_0 \ : \ f(x_0) = x_0`, то теорема Лагранжа утверждает, что внутри каждого промежутка `(0;x_0)` и `(x_0;1)` есть точка, в которой производная равна единице...
В принципе это были первые мысли "на сон грядущий"... поэтому их можно не брать в расчёт...

2018-07-01 в 11:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh,то без вычислений на бумажке мне это было бы совсем не очевидно
дык, я считал на бумажке... :alles:

2018-07-01 в 13:03 

Если есть точка , то теорема Лагранжа утверждает, что внутри каждого промежутка и есть точка, в которой производная равна единице...
Да, точно.
Окей, то есть получается, что если мы пересекаем `y=x` => автоматически есть две точки, где `f(x) = 1`
Если же не пересекаем `y=x`, то всё равно есть точка, где `f(x)=1`, а дальше в окрестности берём `f' = 1+ 1/n`, `f' = 1-1/(n+2)`

2018-07-01 в 13:15 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
если мы пересекаем `y=x` ... Если же не пересекаем `y=x`
про это можно не говорить... важно, сколько точек с производной, равной единице есть...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная