Могли бы проверить моё решение. Решение пункта 1 мне кажется довольно громоздким

Последовательность `a_n` такова: что
1) все `a_n in (0;1)`
2) `a_{n+1} < (a_n+a_{n-1})/2`

Вопрос:
1) Сходится ли `a_n`?
2) Найти множество возможных пределов `a_n`

Моё решение:
1) От противного. Во-первых сразу отметим, что `a_n` не может расходиться к бесконечности, так как она ограничена. Тогда нам нужно только доказать то, что последовательность имеет один предел (то есть нельзя выделить подпоследовательность, которая бы сходилась к другому пределу). Предположим, можно выделить две подпоследовательности, сходящиеся к `a` и `b`. Не теряя общности `a<b`.
Тогда рассмотрим такие соседние члены `a_k` и `a_{k+1}`, что `a_k` лежит в бесконечно малой окрестности `b`, а `a_{k+1}` в бесконечно малой окрестности `a`. Тогда `a_{k+2} < (a+b+2 epsilon) / 2 = (a+b)/2 + epsilon`. Поскольку мы можем устремить `epsilon to 0`, то можно сделать вывод, что `a_{k+2}` лежит вне окрестности точки `b`. Тогда получили, что одновременно `a_{k+1}` и `a_{k+2}` лежат вне окрестности точки `b`. Последующие члены последовательности будут обязательно меньше, чем `max(a_{k+2}, a_{k+1})`, а значит никак не смогу попасть в окрестность `b`, значит в её окретсности не может лежать бесконечно много точек, а значит `a_n` не может иметь двух пределов.
2) Множество `(0;1)`. Построим последователньность, которая сходится к фиксированному числу `a`: `a_0 = a, a_1 = a+epsilon_1, a_2 = (a_0 + a_1)/2-epsilon_2 , a_3 = a, a_4 = (a_2 + a_3)/2-epsilon_3, a_5 = a,.`
Здесь все эпсилоны символизируют бесконечно малые величины

@темы: Математический анализ