12:58 

Уравнение с параметром

Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение:

sqrt(x^4+(a-2)^4)=abs(x+a-2)+abs(x-a+2)



Заметим, что для f(x)=g(x)
f(x)=f(-x) и g(x)=g(-x)
Тогда единственное решение будет при x=0.

sqrt((a-2)^2)=abs(a-2)+abs(-(a-2))
(a-2)=t
abs(t^2)=abs(t)+abs(-t)
Рассмотрим два промежутка:
1. t>0 знаки ++- t^2+2t=0 t(t+2)=0 t1=0 t2=-2
2. t<0 знаки +-+ t^2-2t=0 t(t-2)=0 t1=0 t2=2

Тогда (a-2)=0
(a-2)=2
(a-2)=-2

a=0, a=2, a=4

Верно?

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

Комментарии
2018-05-29 в 15:01 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
мудрёно как-то преобразуете...
при `x = 0` уравнение переписывается в виде `|t|^2 = 2*|t|`... оно сначала решается, а уж потом раскрываете модули...

НО ... Тогда единственное решение будет при x=0. - в этом случае будет нечётное количество корней... дальше надо проверить, что при найденных значениях параметра решение действительно единственное...

2018-05-29 в 15:14 

All_ex, abs(t)+abs(-t)=2*|t| ?
При всех, кроме a=2 .Получается, он посторонний.

2018-05-29 в 18:06 

Корни уравнения симметричны относительно 0, поэтому с необходимостью единственный корень уравнения равен 0, что выполянется только при а=0 или а=2 или а=4.
Проверим достаточность (т.е., установим при каких найденных значения а уравнение обладает единственным корнем).
При а=2 уравнение имеет всего 3 различных корня: x=0 или x=2 или x=-2. Следовательно, это значение параметра не подходит.
При а=0 или а=4 уравнение примет вид sqrt(x^4+16)=|x=2|+|x+2|. Решим его.
На отрезке [-2; 2] его левая часть тождественно равна 4, и оно имеет единственное решение x=0.
Вне отрезка [-2; 2] оно сводится к уравнению x^4+16=4x^2, которое не имеет решения, т.к. после выделения полного квадрата оно равносильно уравнению (x^2-2)^2=-12, левая часть которого неотрицательна при любом вещественном значении x, а правая - отрицательна.
Таким образом, убедились, что sqrt(x^4+16)=|x=2|+|x+2| имеет единственное решение x=0.
Стало быть, а=0 или а=4 и являются ответом к задаче.

URL
2018-05-29 в 20:05 

Гость, Спасибо!

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная