23:31 

Непрерывность функции

Прошу помочь советом.

1) Есть функция
f(x)= 1/ (x*e^x+1)
Надо доказать её непрерывность при любом х.
Это означает, что x*e^x+1 не может быть равен 0. Построив графики y=e^x, y=-1/x, убеждаешься в этом.
Сойдет ли за доказательство просто построение графиков? Ведь не факт, что где-то на минус бесконечности эти функции не пересекутся, нужно мне кажется более четкое доказательство

2) Второй вопрос

f(x) = 1/(2x-arctg(x)). Надо доказать, что только одна точка разрыва.
Очевидно, что х=0.
Но ведь arctg(x) функция периодическая и если решить уравнение 2х=arctg(x) графически, то будет видно, что таких точек бесконечное множество, при которых знаменатель обращается в ноль.

Очень был бы признателен за прояснения этих неясностей

@темы: Функции

Комментарии
2018-04-28 в 03:09 

Белый и пушистый (иногда)
Сойдет ли за доказательство просто построение графиков?
Не сойдет. Надо доказать, что знаменатель нигде не обращается в ноль.

Но ведь arctg(x) функция периодическая
Это неверно. arctg(x) - монотонно возрастающая функция, принимающая значения от -Pi/2 до +PI/2.

Up: Из вопроса непонятно, каким аппаратом Вы можете пользоваться. Что до этого было пройдено?

2018-04-28 в 09:49 

Cойдет ли за доказательство просто построение графиков?
Не сойдет. Надо доказать, что знаменатель нигде не обращается в ноль.

Правильно, но для этого нужно решить уравнение
x*e^x+1=0
Но как его можно решить, кроме как графическим путем?
Мы опять же получаем
e^x=-1/x
х<0
Можно прологарифмировать обе части

Пользоваться можно любыми доступными методами

2018-04-28 в 10:18 

Белый и пушистый (иногда)
Очевидно, что при x >= 0 знаменатель положителен. При x <=-1 отношение |x|/e^|x| строго меньше 1, что требует некоторых дополнительных пояснений (сделаете самостоятельно).
При x in (-1;0) имеем: |x|<1 и 1/e^|x| < 1, значит, их произведение по модулю меньше 1, и знаменатель положителен.

Конечно, проще показать с использованием производной, но нет уверенности в том, что этим можно пользоваться.

2018-04-28 в 22:08 

Спасибо.

Как вариант
Уравнение xe^x+1=0, можно переделать несколькими способами:

1) x>0
xe^x=-1, такого не может быть

2) x<-1
x = -e^(-x)

По знаку они совпадать будут, но не может быть такого, чтобы x=e^x при любых х по очевидным причинам.

3) x (-1;0)
e^x=-1/x

e^x < 1
-1/x > 1

Значит равенство не соблюдается

Интересно рассмотреть и через производные, если так проще

2018-04-29 в 03:35 

Белый и пушистый (иногда)
Обычно тема производная проходится после темы непрерывность, поэтому, скорее всего, ее использовать нельзя.
Но если можно, то просто исследуете функцию в знаменателе и находите ее минимум.

2018-04-30 в 16:41 

получается, что минимум в точке х=-1, при этом значении y положительный. Это означает, что функция не пересекает ось х

2018-04-30 в 19:08 

получается, что минимум в точке х=-1
:yes:

URL
     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная