16:50 

Площади

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбраны точки $E$ и $F$ так, что $\angle BAE = \angle FAC.$ Точка $E$ расположена ближе к точке $B,$ чем точка $F.$ Из точки $F$ на стороны $AB$ и $AC$ опущены перпендикуляры с основаниями $M$ и $N$ соответственно. Прямая $AE$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $Q$ ($A\neq Q$). Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна площади четырёхугольника $MANQ.$



@темы: Планиметрия

Комментарии
2018-04-23 в 07:15 

Белый и пушистый (иногда)
Приятная задача. Дать такую на муниципальный тур - угробить половину участников, если не больше.

Четырехугольник AMFN – вписанный, поэтому углы FMN, FAN, МAQ равны. Значит, MN перпендикулярно AQ и `S_(AMQN)=1/2 MN*AQ`.
По теореме синусов MN=AF*sin⁡(A). Треугольники ABQ и AFC подобны, поэтому AF:AC=AB:AQ, откуда AF=(AB*AC)/AQ.
Далее получаем `S_(AMQN)=1/2 AF*AQ*sin(A)=S_(ABC)`.

2018-04-23 в 09:12 

Добавлю рисунок


URL
     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная