13:50 

Оценить с помощью неравенства Чебышева_2

IWannaBeTheVeryBest
Оценить сверху `P{|\eta_n/n - p^2| > \epsilon}`
если `\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n + 1}` - результаты n + 1 испытаний схемы Бернулли (`P{\xi_i = 1} = p, P{\xi_i = 0} = 1 - p`)
а `\eta_n` - случайная величина, равная числу таких `i`, что `\xi_i = \xi_{i + 1} = 1`
Ну я так понимаю, что для начала надо рассмотреть хотя бы первые два испытания схемы Бернулли. Вероятность того, что обе величины будут равны 1 = `p^2`.
`\eta_n = \eta_{1,2} + \eta_{2,3} + \dots + \eta_{n,n+1}`
Так как все `\eta_{i, i+1}` распределены одинаково, то получается, что
`E[\eta_n] = E[\eta_{1,2}] + E[\eta_{2,3}] + \dots = np^2`
`E[\eta_n/n] = p^2`
Я думаю, что так как в исходной задаче вычитаемое под модулем как раз `p^2`, то я вроде как иду по верному пути.
Дальше
`D[\eta_n] = D[\eta_{1,2}] + D[\eta_{2,3}] + \dots = n * (E[\eta_{1,2}^2] - E^2[\eta_{1,2}]) = n(p^2 - p^4)`
`D[\eta_n/n] = (p^2(1 - p)(1 + p))/n`
`P{|\eta_n/n - p^2| > \epsilon} <= (p^2(1 - p)(1 + p))/(n\epsilon^2)`
Вроде так должно быть. Но в ответе
`(p^2(1 - p)(1 + 3p))/(n\epsilon^2)`
В принципе без разницы какой ответ в задачнике. Главное, чтобы решение было верное.

@темы: Теория вероятностей

Комментарии
2018-04-08 в 14:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Случайные величины `eta_{k-1,k}` и `eta_{k,k+1}` зависимы... поэтому дисперсия `eta_n` не будет просто равна сумме дисперсий...

2018-04-08 в 15:03 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Ааа да. Там вроде еще удвоенные корреляционные моменты добавятся.
Получается, что две соседние случайные величины связаны между собой так что, вероятность того, что обе величины равны 0 = `q^2`, равны 1 = `p^2` и если они обе между собой неравны = `2pq`.
`K_{xy} = sum_{i}sum_{j} (x_i - m_x)(y_j - m_y) p_{ij} = (0 - p^2)(0 - p^2) q^2 + (1 - p^2)(1 - p^2) p^2 + (0 - p^2)(1 - p^2)2pq = `
`= p^4 q^2 + (1 - 2p^2 + p^4)p^2 + (p^4 - p^2)2pq = p^4(1 - p)^2 + p^6 - 2p^4 + p^2 + 2p^5(1 - p) - 2p^3(1 - p) = `
`= p^4(1 - 2p + p^2) + p^6 - 2p^4 + p^2 + 2p^5 - 2p^6 = -p^4 + p^2`
Вообще `D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2K_{XY}`
В задаче же зависимы только соседние случайные величины? Ну я имею ввиду, что связаны не каждые пары. Все верно?

2018-04-08 в 15:54 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Получается, что две соседние случайные величины связаны между собой так что, вероятность того, что обе величины равны 0 = `q^2`, равны 1 = `p^2` и если они обе между собой неравны = `2pq`.
вроде не всё так линейно... при этом не понятно, откуда такие вероятности, если две соседние СВ соответствуют трём последовательным испытаниям в схеме Бернулли...

2018-04-08 в 16:03 

IWannaBeTheVeryBest
Ну я вообще думал, что две соседние случайные величины `xi` - это два испытания в схеме Бернулли. Возможны 4 варианта
`xi_{i - 1} = 0` и `xi_i = 0`
`xi_{i - 1} = 1` и `xi_i = 1`
`xi_{i - 1} = 0` и `xi_i = 1`
`xi_{i - 1} = 1` и `xi_i = 0`
У первых двух вероятности `q^2` и `p^2` соответственно. У последних `2pq`
Ну то есть
`P_2(0)` - это вероятность того, что соседние случайные величины будут равны 0
`P_2(1)` - это вероятность того, что соседние св будут отличны
`P_2(2)` - это вероятность того, что соседние св будут равны 1
Это неверно?

2018-04-08 в 17:14 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Так Вы же рассматриваете корреляцию `eta_{1,2}` и `eta_{2,3}`... а это соответствует трём испытаниям `xi_1, xi_2, xi_3`...

2018-04-08 в 17:38 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Что-то я в какой-то ступор попал. То есть как получается, нужно рассмотреть 8 вариантов?
`\xi_1 = 0, \xi_2 = 0, \xi_3 = 0 | P = P_{3}(0)`
`\xi_1 = 0, \xi_2 = 0, \xi_3 = 1 | P = (P_{3}(1))/3`
`\xi_1 = 0, \xi_2 = 1, \xi_3 = 0 | P = (P_{3}(1))/3`
`\xi_1 = 1, \xi_2 = 0, \xi_3 = 0 | P = (P_{3}(1))/3`
`\xi_1 = 1, \xi_2 = 1, \xi_3 = 0 | P = (P_{3}(2))/3`
`\xi_1 = 0, \xi_2 = 1, \xi_3 = 1 | P = (P_{3}(2))/3`
`\xi_1 = 1, \xi_2 = 0, \xi_3 = 1 | P = (P_{3}(2))/3`
`\xi_1 = 1, \xi_2 = 1, \xi_3 = 1 | P = P_{3}(3)`

Получается, что `\eta_1 = 1` только в 5 и 8 случаях. Получается вероятность такого события `P_{3}(3) + (P_{3}(2))/3`
`\eta_1 = 0` с вероятностью `1 - (P_{3}(3) + (P_{3}(2))/3)`
`\eta_2` - аналогично. Так что-ли получается?

2018-04-08 в 19:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
видимо как-то так... но выводы не совсем верные...

Получается вероятность такого события `P_{3}(3) + (P_{3}(2))/3`
Это конечно касается СВ `eta_{1,2}`, то тут ещё и СВ `xi_3` в вероятности затесалась...
Вам эти вероятности нужны, чтобы составить совместный закон распределения СВ `eta_{1,2}` и `eta_{2,3}`... и вычислить их ковариацию...

2018-04-08 в 20:15 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Там по ходу дела ещё что-то оценивают сверху...
у меня получается нечто похожее на ответ... но последняя скобка получается не `(1 + 3*p)`, а `(5/4 + 3*p)` ...

2018-04-08 в 21:16 

IWannaBeTheVeryBest
Вам эти вероятности нужны, чтобы составить совместный закон распределения СВ
Ну она будет получается в форме таблицы.
`\eta_{1,2}` и `\eta_{2,3}` могут принимать только по 2 значения. 0 или 1 в зависимости от того, выполнилось ли условие.
То есть получается, что обе случайные величины примут значение 0, в случаях c суммарной вероятностью `P_{3}(0) + P_{3}(1) + (P_{3}(2))/3`. Значение 1 они примут только в 1 случае с вероятностью `P_{3}(3)`. Во всех остальных случаях они примут попеременные значения с вероятностью `1 - (P_{3}(0) + P_{3}(1) + (P_{3}(2))/3 + P_{3}(3))`.
Так?

2018-04-09 в 00:07 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Как у Вас всё сложно... :upset:
Зачем Вам лишние обозначения в этой задаче... проще же не становится от них...

Есть стандартные обозначения для схмы Бернулли... `p` - вероятность единичного успеха, `q = 1 - p` - вероятность единичной неудачи... ну. и пользуйтесь ими...
Получите, что `P(eta_1 = 1, \ eta_2 = 1) = p^3, \ \ P(eta_1 = 1, \ eta_2 = 0) = P(eta_1 = 0, \ eta_2 = 1) = p^2*q, \ \ P(eta_1 = 0, \ eta_2 = 0) = q^3 + 3*p*q^2+p^2*q` ... ну, и считайте дальше...

2018-04-09 в 00:21 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Нашёл косяк с своих предыдущих выкладках ... там действительно в последней скобке получается `(1 + 3*p)`...

2018-04-09 в 00:32 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Аа я их вводил, так как есть же формула
`P_{n}(k) = C_{n}^k p^k * q^{n - k}`
А какие там ответы получались я просто не просчитывал. Поэтому не писал, что там будет `p^{3}` или что-то еще, хотя действительно можно было бы сразу просчитать, что там выйдет)

2018-04-09 в 00:35 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
А какие там ответы получались я просто не просчитывал.
хм... а мне казалось, что Вам надо как раз посчитать... :alles:

2018-04-09 в 01:01 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex,
Так а в итоге формула будет какая?
Если сделать замену
`X_i = \eta_{i, i + 1}`
`D[\eta_n] = sum_{i = 1}^n D[X_i] + 2sum_{i < j} K_{i,j}`?
У нас же получается, что зависимы только соседние случайные величины. Ну в плане зависимы только
`\eta_{k - 1, k}` и `\eta_{k, k + 1}`
Получается, что некоторые корреляционные моменты должны обнулиться, верно?

2018-04-09 в 02:03 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Получается, что некоторые корреляционные моменты должны обнулиться, верно?
разумеется...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная