20:03 

Сравнить два числа

Задача такая: надо сравнить два числа: `S_1 = 1+1/sqrt(2) + 1/sqrt(3)+...+1/sqrt(36)` и `S_2 = 1+1/(2)^(1/3)+1/(3)^(1/3)+...+1/(27)^(1/3)`.
Я решил воспользоваться аналогичной идеей той, что когда-то воспользовался Орем для доказательства расходимости гармонического ряда. То есть, для примера, `1/sqrt(4)+1/sqrt(5)+1/sqrt(6) + 1/sqrt(7) + 1/sqrt(8) < 5*1/sqrt(4) = 5/2`. Для второй суммы я делал аналогичную оценку, только снизу. Получилось что-то примерно `S_1 < 12`, `S_2 > 11`. Не хватает буквально единички, может быть есть идеи?

@темы: Математический анализ

Комментарии
2018-03-25 в 20:44 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
возможно какие-нибудь сравнения средних подойдут... :upset:

2018-03-25 в 22:43 

Trotil
Вторую сумму можно заменить интегралом (=12), а интеграл будет заведомо меньше суммы.

2018-03-25 в 22:50 

Trotil
Картинка для понимания (Конкретная Математика, стр. 65)

uploads.ru/gKoes.png

Для ваших функций нужно нарисовать свою.

Можно подумать, и вторую сумму аккуратно тоже заменить интегралом.

|S1-S2| будет около двух.

2018-03-25 в 23:21 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Trotil, да, с интегральными суммами - красиво... я в эту сторону и не подумал...

2018-03-25 в 23:48 

Эх, вы меня опередили, я тоже дошел до этой идеи) У меня получилось, что `S_1 < 11`, `S_2 > 12.45` :)

2018-03-26 в 05:55 

Trotil
MestnyBomzh, а что за интегралы? У меня другие цифры.

2018-03-26 в 12:49 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
`S_1 < 1 + int_{1}^{36} { dx }/{ sqrt(x) } = 11` ...

`S_2 > int_{1}^{27} { dx }/{ root(3)(x) } + 1/{ root(3)(27) }= 12 1/3` ...

2018-03-26 в 13:27 

А я не так делал. Я считал

`S_1 < 1 + int_{1}^{36} { dx }/{ sqrt(x) } = 11 ... ` - да

`S_2 > 1 + int_{2}^{28} { dx }/{ root(3)(x) } = 12.45`

2018-03-26 в 13:45 

Trotil
Что-то я не уверен, что это правильно, ибо во первом случае, строго говоря, график функции должен проходить над ступеньками.
А ваш метод с прибавкой единицы (а почему 1?) мне неизвестен.

2018-03-26 в 14:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Trotil, Что-то я не уверен, что это правильно, ибо во первом случае, строго говоря, график функции должен проходить над ступеньками.
дык он и будет выше ступенек, поскольку на каждом отрезке `[n; n + 1]` берём минимум значения функции... а 1 добавляем, поскольку первое слагаемое в полученной сумме Дарбу не учтено...

MestnyBomzh, `S_2 > 1 + int_{2}^{28} { dx }/{ root(3)(x) } = 12.45`
так и считали бы интеграл от единицы до 28-и тогда...

2018-03-26 в 14:32 

Для первого случая я делал оценку для `1/sqrt(2) + 1/sqrt(3)+...+1/sqrt(36)`. Первое слагаемое - `1` я просто отдельно вынес (хотя сейчас понимаю, что можно было и её в интеграл запихнуть). Эту сумму я оценивал сверху левыми прямоугольниками, оттого и интеграл берется от единицы, см картинку:

2018-03-26 в 14:33 

так и считали бы интеграл от единицы до 28-и тогда... да, да, я вот в своем комментарии выше уже написал это)

2018-03-26 в 14:35 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, Первое слагаемое - `1` я просто отдельно вынес (хотя сейчас понимаю, что можно было и её в интеграл запихнуть).
в интеграле с квадратным корнем пришлось бы интегрировать от нуля... это не испортит неравенство, но на единицу увеличит оценку...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная