02:08 

Метод понижения порядка

Как решить уравнение `y''+Ay=0` методом понижения порядка?
Делаем замену `y'=p(y)`, тогда `y''=p(y)p'(y)` помню что так, но не помню почему... Тогда `pp'+Ay=0`, `(pdp)/dy=-Ay`, `int pdp=-Aint ydy`, `p^2/2=y^2/2+C_1`, `p^2=y^2+2C_1=y^2+C_2`, `p=+-sqrt(y^2+C)`, `(dy)/(dx)=+-sqrt(y^2+C)`, `int (dy)/sqrt(y^2+C)=+-int dx`, `ln|y+sqrt(y^2+C)|=C_3+-x` и что с этим делать?
В общем-то решаю стационарное уравнение Шрёдингера и судя по всему ответ должен быть примерно такого вида `psi(x)=Ae^(i(p_(x))/hx)`.

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2018-02-25 в 03:04 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, справочник Камке в помощь... :alles:

2018-02-25 в 20:36 

All_ex, спасибо! Вроде со всем разобрался. Глянул справочник Камке, вот как-то красивее у него смотрится)) Если б ещё выражение для `phi(y)` было написано, то шикарно было бы. Но одно убило - двумя страницами ранее писал Решением или интегралом дифференциального уравнения `y^(n)=F(x,y,y',...,y^(n-1))` называется всякая `n` раз дифференцируемая функция `y=phi(x)`, удовлетворяющая этому уравнению , а тут написал обратную `x(y)` В чём прикол?

2018-02-25 в 20:50 

А понял, он говорит из равенства, а не то, что в левой части равенства решение)) Хитро-хитро :alles:

2018-02-25 в 20:53 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, а тут написал обратную `x(y)` В чём прикол?
Это называется "интегральная запись решения ДУ" ... не всегда же решение можно выразить в явном виде... :nope:

2018-02-25 в 21:24 

All_ex, так и понял)
И ещё там на 365 странице вот такая красивая штука написана

Это получается `Ae^(ikx)+Be^(-ikx)=A(cos(kx)-isin(kx))+B(cos(-kx)-isin(-kx))=(A+B)cos(kx)+i(B-A)sin(kx)=C_1cos(kx)+C_2sin(kx)` ?

2018-02-25 в 21:33 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, вроде не очень похоже...
в Ваших обозначениях `k = sqrt{|lambda|}` ... плюс к этому константы `A` и `B` в Вашем решении комплексные...
а у Камке написаны действительнозначные решения... в этом случае `A = \overline{B}` - комплексно сопряжённые... тогда `A + B = 2*text{Re} \ A = C_1, \ \ i(B - A) = 2*text{Im} \ A = C_2`...
Всё сходится... :)

2018-02-25 в 21:45 

All_ex, спасибо, ещё раз! Теперь всё понятно) Становится понятным даже почему физики в таком виде не записали решение, потому что `vec(k)=(vec(p))/\hbar`, а он тут везде одинаков. Хотя можно записать `C_1cos(-kx) - C_2sin(-kx)` и вообще всё нулём будет, походу чтоб так не напрягаться и пишут через сумму экспоненты и обратной экспоненты.

2018-02-25 в 22:01 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
welcome...

2018-03-01 в 23:11 

All_ex, а можете посмотреть ссылку, что кидал, формулу (7.18), они там через синус с нулевой начальной фазой написали. Не понимаю как это получить. Если учесть, что частица движется в одну сторону, то в записи через экспоненту останется одно слагаемое, но оно то все равно через сумму синуса и косинуса пишется. Причём тут штука-то какая, Asin(x)+Bcos(x) коэффициент комплексный...методом дополнительного угла?

2018-03-01 в 23:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, а можете посмотреть ссылку, что кидал, формулу (7.18),
куда кидали?... :upset:

2018-03-05 в 01:47 

All_ex, ещё один вопрос. Всё-таки коэффициенты `A` и `B` не комплексно сопряжённые вышли, нигде вроде не ошибся ?
Да и впрочем тут и предыдущий вопрос, в самом конце мне надо перейти к функции синус, то есть к формуле (7.18) Там написано Решением этого уравнения, как известно, являются гармонические функции (синус или косинус) и мнимая экспонента. Здесь нам удобнее взять функцию "синус" с нулевой начальной фазой, то есть мне эти концы интервала подставлять в синус надо, но его ещё получить надо как-то...
Причём если использовать метод дополнительного угла
`C_1cos alpha+C_2sin alpha = sqrt(C_1^2+C_2^2)(sin phi cos alpha + cos phi sin alpha) = Asin(alpha+phi)`, фаза `phi` явно не нулевая же будет!





2018-03-05 в 04:39 

All_ex, а вроде бы всё - понял и добил. Осталось граничные условия подставить. Фуф.



2018-03-05 в 18:40 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, а зачем эти мучения с понижением порядка, если решение линейного ДУ с постоянными коэффициентами выписывается сразу по решению характеристического уравнения?... :upset:

2018-03-06 в 00:06 

All_ex, я погуглил характеристическое уравнение, увидел квадратное уравнение с лямбдами, но не помню почему так можно и т.п. Что это такое вообще. А написано, что это доказывается в курсе математического анализа. Но там много чего было, а это совсем не помню. А тут вроде мне понятно всё)

2018-03-06 в 00:13 

All_ex, я правда знаете вот такую вещь интересную видел. Решение бы сжало заметно, конечно, но не понимаю почему так.
С определителем момент... Так называемый критерий существования нетривиального решения. Приходил было к такой же системе когда подставлял граничные условия, но дело не пошло что-то, в результате решил к синусу сводить через формулу Эйлера и метод вспомогательного угла...

2018-03-06 в 14:56 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, Что это такое вообще. А написано, что это доказывается в курсе математического анализа.
да, вроде в диффурах это доказывается... хотя сейчас из-за нехватки часов отдельные темы распихивают куда получится...

Если однородное линейное ДУ с постоянными коэффициентами `a_n*y^{(n)} + a_{n - 1}*y^{(n - 1)} + ... + a_1*y' + a_0 = 0` ...

Ищем решение в виде `y = e^{lambda*x}`...

После подстановки получаем `(a_n*ambda^{n} + a_{n - 1}*lambda^{n - 1} + ... + a_1*lambda+ a_0)* e^{lambda*x}= 0`...
поскольку экспонента не обращается в нуль, то указанная функция будет решением при лямбда, которое удовлетворяет алгебраическому уравнению `a_n*ambda^{n} + a_{n - 1}*lambda^{n - 1} + ... + a_1*lambda+ a_0= 0`, которое называется характеристическим уравнением ...

Ну, и так далее по типовому учебнику диффуров...

2018-03-06 в 17:52 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, я правда знаете вот такую вещь интересную видел.
загадочное занятие изучать решение диффуров по учебнику физики... :alles:

Я так понимаю, что там была краевая задача с нулевыми краевыми условиями... ну, выписали решение... подставили краевые условия и получили однородную СЛАУ... вполне естественно, что вспоминает про определитель...
В общем не совсем понял затруднений...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная