02:08 

Метод понижения порядка

Как решить уравнение `y''+Ay=0` методом понижения порядка?
Делаем замену `y'=p(y)`, тогда `y''=p(y)p'(y)` помню что так, но не помню почему... Тогда `pp'+Ay=0`, `(pdp)/dy=-Ay`, `int pdp=-Aint ydy`, `p^2/2=y^2/2+C_1`, `p^2=y^2+2C_1=y^2+C_2`, `p=+-sqrt(y^2+C)`, `(dy)/(dx)=+-sqrt(y^2+C)`, `int (dy)/sqrt(y^2+C)=+-int dx`, `ln|y+sqrt(y^2+C)|=C_3+-x` и что с этим делать?
В общем-то решаю стационарное уравнение Шрёдингера и судя по всему ответ должен быть примерно такого вида `psi(x)=Ae^(i(p_(x))/hx)`.

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2018-02-23 в 09:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
помню что так, но не помню почему...
это применение формулы производной сложной функции...

и что с этим делать?
ну, слева (с точностью постоянного слагаемого) стоит гиперболический арксинус от `y/C`...

и судя по всему ответ должен быть примерно такого вида
вообще-то, если забыть про понижение, а вспомнить про характеристическое уравнение, то получится `y = C_1 * e^{sqrt{A}*x} + C_2 * e^{-sqrt{A}*x}`...

2018-02-23 в 16:31 

All_ex, спасибо! `-A` проворонил, тогда отсюда `p^2/2=-A(y^2/2+C_1)`, `p^2=-Ay^2-2AC_1`, `p^2=-Ay^2+AC_2`... Попозже досчитаю.

2018-02-23 в 19:06 

All_ex, чуть по-другому решил переписать `p^2=-Ay^2-2AC_1`, `p^2=isqrt(A)sqrt(y^2+2C_1)`, тогда `int (dy)/sqrt(y^2+sqrt(2C_1)^2) = +-isqrt(A) int dx`, `ln|y+sqrt(y^2+2C_1)|=+-isqrt(A)(x+C_2)`... Опять то же самое. Нет, я, конечно, понимаю, что можно записать `|y+sqrt(y^2+2C_1)|=e^(+-isqrt(A)(x+C_2))`, но это явно не `y=C_1e^(sqrt(a)x)+C_2e^(-sqrt(A)x)`...
вообще-то, если забыть про понижение, а вспомнить про характеристическое уравнение а у меня с точностью до наоборот :alles: Но как привести к этому виду? Если я Вас правильно понимаю, то вот эта штука `ln|y+sqrt(y^2+2C_1)|` и есть гиперболический арксинус от `y/C` только не пойму почему... Из тфкп формула?

2018-02-23 в 21:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, Из тфкп формула?
Ну, как бы типовое вычисление интеграла `int {dx}/{sqrt{x^2 + a^2}` связано с использованием замены `x = a*sh(z)`... получаем `int dz = z + C`... и делая обратную замену получаем, что `z = ln(z + sqrt{z^2 + a^2})` ... то есть это и есть пресно памятный гиперболический арксинус...

но это явно не
Попробую целиком...
`y'' + A*y = 0`
`y' = p(y), \ \ y'' = p*p'`
`p*p' = - A*y`
`2*p*p' = - 2*A*y`
`p^2 = -A*y^2 - A*C`
`{y'}/{sqrt{y^2 + C}} = \pm sqrt{-A}`
`ln(y + sqrt{y^2 + C}) = \pm sqrt{-A}*x + \ln C_1`
`y + sqrt{y^2 + C} = C_1* e^{\pm sqrt{-A}*x} = w`
Тогда
`w^2 -2*y*w - C = 0`
или
`y= w + C*w^{-1} = C_1* e^{\pm sqrt{-A}*x} + C*C_1* e^{\mp sqrt{-A}*x}`
после переобозначения констант получаем типовой ответ, использующий характеристическое уравнение ...

2018-02-23 в 23:39 

All_ex, перепишу Ваше решение прямо лобовым методом, то есть везде после интегрирования буду подписывать просто константу `C` без упрощающих преобразований до тех пор, пока это будет получатся и так до конечного выражения `y`, затем переобозначу. Собственно делаю это потому, что хочу узнать правильно ли всё понимаю, дело в том, что диффуры 2 года назад решали и даже типовые вещи забыл...
То есть доходим до момента `2*p*p'=-2*A*y`,
далее `2*(p^2/2)=-2A(y^2/2+C_1)`,
для того, чтоб двойки сокращались переобозначим `C_{1.1}/2=C_1`, тогда `p^2=-A*y^2 - A*C_{1.1}`,
`(y')/(sqrt(y^2+C_{1.1}))=+-sqrt(-A)`
`ln(y+sqrt(y^2+C_{1.1}))=+-sqrt(-A)(x+C_2)`
для того, чтобы удобно использовать логарифмическое тождество переобозначим `lnC_{2.1}=+-sqrt(-A)*C_2`,
`ln(y+sqrt(y^2+C_{1.1}))=+-sqrt(-A)*x+lnC_{2.1}`
`y+sqrt(y^2+C_{1.1})=C_{2.1}*e^(+-sqrt(-A)*x)=w`
`w^2-2*y*w-C_{1.1}=0`
`y=(w^2-C_{1.1})/(2w)=w/2 - C_{1.1}/2*w^(-1)=C_{2.1}/2*e^(+-sqrt(-A)*x) - 1/2*C_{1.1}/C_{2.1}*e^(\ mp sqrt(-A)*x)`,
`y=C_{1.2}*e^(+-sqrt(-A)*x)+C_{2.2}*e^(\mp sqrt(-A)*x)`,
где
`{(C_{1.2}=1/2*C_{2.1}=1/2*e^(+-sqrt(-A)*C_2)), (C_{2.2}=-C_{1.1}/2*1/C_{2.1}=-C_1*e^(+-sqrt(-A)*C_2)):}`
Всё так?

2018-02-24 в 03:10 

All_ex, кстати с ответом всё прекрасно сходится. Изначально было такое уравнение `(d^2psi(x))/(dx^2) + (2mE)/\hbar^2 psi(x) = 0`, `(d^2psi(x))/(dx^2) +p_{x}^2/\hbar^2 psi(x) = 0` - дифференциальное уравнение для координатной волновой функции свободно движущейся частицы (то есть в отсутствии внешних полей) в направлении оси икс. Поначалу думал что полученные в решении слагаемые `psi(x)=Ae^(+-sqrt(-p_{x}^2/\hbar^2)x)+Be^( \mp sqrt(-p_{x}^2/\hbar^2)x)` надо как-то сложить, но сейчас понял, что у свободной частицы импульс сохраняется, следовательно, сохраняется и направление движения, так как по иксу рассматриваем, то надо выкинуть слагаемое где `e^(-xp_{x})` есть, но оно в обоих есть, но если в первом выбрать +, то во втором будет -, и наоборот, а значит при любых раскладах слагаемое будет одно, поэтому можно занулить любую константу, например `B=0`, тогда `psi(x)=Ae^(ip_x/\hbarx)` как и в ответе :)

2018-02-24 в 08:58 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
есть, но оно в обоих есть, но если в первом выбрать +, то во втором будет -, и наоборот
А зачем вообще писали `\pm` и `\mp`?... :upset:

но сейчас понял, что у свободной частицы импульс сохраняется, следовательно, сохраняется и направление движения
тут я не подскажу, поскольку физику процесса не помню... и обозначения тоже... :nope:

2018-02-24 в 16:55 

All_ex, А зачем вообще писали `\pm` и `\mp`?... ну мы же когда `p` выражали, то так и тянулся ` \pm` вплоть до `y=Ae^{\pm kx}+Be^{\mp kx}`, хотя это не что иное как `y=Ae^{kx}+Be^{-kx}` или нет? Физики тут особо нет, вместо `k` подставляем импульс `vec(p)`, так как частица движется в одном направлении (т.к. она свободная и импульс сохраняется), то обратное движение, т.е. где импульс `-vec(p)` не рассматриваем, следовательно, необходимо занулить это слагаемое. И тогда всё совпадёт с формулой (7.11) lib.ssga.ru/fulltext/UMK/170101/2%20%D1%81%D0%B...

2018-02-24 в 17:20 

All_ex, Ну, как бы типовое вычисление интеграла `int {dx}/{sqrt{x^2 + a^2}` связано с использованием замены `x = a*sh(z)`... получаем `int dz = z + C`...
у нас как походу было, таблица основных давалась сразу, а все остальные на основе основных решали, сами же основные судя по всему доказывали на лекции.

"Задачник по высшей математике для ВУЗов" Земсков, Кальней, Лесин, Поспелов и Прокофьев (чёрная обложка с додекаэдром, может видели)
p.s. главы 3-6 прямо каждую задачу решали на первом курсе, а потом уже по другим учебникам занимались

2018-02-24 в 21:10 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, И тогда всё совпадёт с формулой (7.11) lib.ssga.ru/fulltext/UMK/170101/2%20%D1%81%D0%B...
физики как всегда на высоте... :alles:

нас как походу было, таблица основных давалась сразу, а все остальные на основе основных решали, сами же основные судя по всему доказывали на лекции.
Эта формула могла просто проверяться дифференцированием... но если Вы отдельно рассматривали замены, избавляющие от квадратного корня от квадратичного выражения, то это первый пример на гиперболические замены...

2018-02-24 в 22:22 

All_ex, просто дифференцированием не интересно) Когда замену на шинус сделал, то вспомнил, что было такое и не раз :)
С производной `p(y)` тоже разобрался... `y''=(dp(y))/(dx)=(dp)/(dx)*(dy)/(dy)=p(dp(y))/dy=pp'` правда не помню, в таких случаях частные производные надо писать или полный дифференциал можно.
Один момент правда так и не понял, по интегралу, после интегрирования мы получили `z+C`, но делая обратную замену получим ведь не логарифм, а `arcsh(x/a)+C`
физики как всегда на высоте... это точно :alles:
p.s. вообще у меня задача и там формула `psi(x)` уже дана, и как решать её знаю, там тривиально совсем, но суть в том, что... сейчас процитирую задача считается решённой, если верно представлены все исходные соотношения, необходимые для решения, пояснено их происхождение, среди этих соотношений нет лишних, ни одно соотношение не пропущено собственно этим происхождением и занимаюсь, но там случай что частица свободна на определенном отрезке `[a,b]` только (так называемая потенциальная яма), то есть из системы `{(psi(a)=Ae^(ika)+Be^(-ika)=0), (psi(b)=Ae^(ikb)+Be^(-ikb)=0):}` константы `A` и `B` найдутся, дело техники)

2018-02-24 в 22:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
но делая обратную замену получим ведь не логарифм, а `arcsh(x/a)+C`
дык, он выражается как "длинный логарифм"... :nope:
`x = {e^z - e^{-z}}/2` ... и далее по тексту...

2018-02-24 в 22:29 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
в таких случаях частные производные надо писать или полный дифференциал можно.
зачем частные производные, если у Вас функция одной переменной?...

2018-02-24 в 22:31 

All_ex, а почему длинный логарифм?
Из равенства `arsh(x/a)=arcsh((e^(arcsh(x/a)) - e^(-arcsh(x/a)) )/2)` длинного логарифма не видно

2018-02-24 в 22:36 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, Из равенства `arsh(x/a)=arcsh((e^(arcsh(x/a)) - e^(-arcsh(x/a)) )/2)` длинного логарифма не видно
Вроде не в то равенство смотрите...
`x = {e^z - e^{-z}}/2`

`e^{2z} - 2*x*e^z - 1 = 0`

`e^z = x + sqrt{x^2 + 1}`

`z = ln(x + sqrt{x^2 + 1})`

2018-02-24 в 22:36 

All_ex, ну там композиция функций `dp(y)=dp(f(x))` и потому не знаю, вроде переменная то одна, но вроде как и композиция...

2018-02-24 в 22:39 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
но вроде как и композиция...
так всё равно функция одной переменной... тут хоть десять композиций....

2018-02-24 в 22:42 

All_ex, понял теперь, по-моему я так когда-то делал, уж больно знакомо)

2018-02-24 в 22:43 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, это школьный пример на нахождение обратной функции... :nope:

2018-02-24 в 23:02 

All_ex, так всё равно функция одной переменной... тут хоть десять композиций.... тоже усвоил. Я правильно понимаю, что основная задумка этого метода (понижение порядка) именно и основана на том, что производную да и вообще любую функцию хоть энную производную можно представить в виде эн композиций эн функций? То есть мы могли бы сразу сказать пусть `y''=p(y')=p(q(y))=p(q(f(x)))` , хотя тут сложно это записать, вначале так `(dp(dq(f(x))))/(dx^2)` и тут не уверен, но может быть так можно это ещё записать `(d^2(p(q(f(x)))))/(dx^2)` ну и пробовать решать... А не, нельзя так записать, порядок-то не понизится и сама идея пропадает
Вроде `(d(p(pq)))/(dx)` будет...

2018-02-24 в 23:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Основная идея - замена приводит к уравнению меньшего порядка... :alles:

что производную да и вообще любую функцию хоть энную производную можно представить в виде эн композиций эн функций?
там нет композиций, а есть новая функция и новая переменная... про композицию вспоминаем только для замены производных более высокого порядка... :nope:

`(dp(dq(f(x))))/(dx^2)` и тут не уверен, но может быть так можно это ещё записать `(d^2(p(q(f(x)))))/(dx^2)`
А тут, простите, ересь написана... кто же Вас таким действиям с дифференциалами обучил?... :upset:

2018-02-24 в 23:39 

All_ex, да я в курсе по поводу ереси, это, условно говоря типичный черновой подход - написать, понять, что не то, а потом думать почему)

2018-02-24 в 23:46 

All_ex, там нет композиций, а есть новая функция и новая переменная... `y'=p(y)` новая переменная `y`, но это же по сути значения функции `f(x)`, и вот от этих значений мы составляем новую функцию, причём такую, что её производная совпадает с производной `f(x)`... Связь между ними налицо. Встаёт вообще вопрос - существует ли такая функция?

2018-02-24 в 23:47 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, это, условно говоря типичный черновой подход - написать, понять, что не то, а потом думать почему)
я могу понять, когда Вы решаете сложную задачу... потом проверяете и находите ошибку...
но писать заведомую ересь в "школьных" преобразования... по-моему, это слишком...

2018-02-25 в 00:07 

All_ex, но писать заведомую ересь на момент написания плохо понимал, что вообще пишу, а потом понял, что фактически пытался написать как бы третью производную `y'''` поэтому дифференциал по внешней `p` брал, а хотел изначально не третью производную брать, а переписать выражение `y''=p(q(f(x)))` в виде дифференциалов, так как вторая производная равна функции `p`, то над этой функцией мы никаких операций не производим, ну и аналогичная ситуация с её аргументом - над ним тоже никаких операций не производим, так как извне нет никаких операций - и резюмирая получаем, что операция то нам нужна внешняя, а именно дифференцирование (так как именно это и хотел прогнать над всей этой композицией), а я эту операцию сам же и уничтожил заменой `y''=p(z)`, а посему заключаю, что внешнюю, т.е. вторую производную (в общем случае энную) трогать не надо, тогда задача сводится к уже разобранной. Получается, что для того, чтобы это всё проверить ручками, то надо решить уравнение `y'''+Ay=0` двумя способами, классическим `y'=p(y)`, и скорее всего тоже самое, что и классическим через замену `y''=p(z)`, `z=q(y)`, `y=f(x)`. Но я так подумал и решил пока этого не делать. Но сходу этого не осознал, потому и дребедень такая вышла)

p.s. то есть мне бы следовало написать просто `y''=p((dy)/(dx))`

2018-02-25 в 00:12 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Встаёт вообще вопрос - существует ли такая функция?
ответ даёт решение ДУ... :alles:
ну, или такое соображение `y = y(x)`, `y' = y'(x)` ... получили параметрическую функцию `y' = p(y)` ...

`y'=p(y)` новая переменная `y`, но это же по сути значения функции `f(x)`, и вот от этих значений мы составляем новую функцию, причём такую, что её производная совпадает с производной `f(x)`... Связь между ними налицо.
Вы слишком цепляетесь за композицию...
Если по всем преобразованиям тянуть связи с исходной задачи, то получается слишком большое нагромождение...
Проще надо быть... есть уравнение ... сделали замену - забыли пока про старое уравнение, а смотрим только на новое... решили новое уравнение, а потом уже рефлексируйте... :alles:

Формально любое ДУ вида `F(x;y;y';y'') = 0` описывает некую поверхность в системе координат `Oxypq`, где `p = y'`, `q = y''` ...
Далее говорим, что если уравнение не содержит икса, то это цилиндрическая поверхность, и можно рассматривать уравнение для направляющей, которая лежит в пространстве меньшей размерности...
То есть в уравнении `F(y;y';y'') = 0` надо что-то рассмотреть как переменную... игрек для этого самый подходящий кандидат... :)

2018-02-25 в 00:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, то надо решить уравнение `y'''+Ay=0` двумя способами
а одного не хватает?... :upset:

что и классическим через замену `y''=p(z)`, `z=q(y)`, `y=f(x)`.
загадочная замена... и на кой Вам сдалось столько неизвестных функций сразу?... :upset:

Если уравнение на содержит икса, то делаем замену `y' = p(y)`... тогда `y'' = p*p', \ \ y''' = (p*p'' + (p')^2)*p, \ \ y^{IV} = (p^2*p''' + 4p*p'*p'' + (p')^3)*p, \ \ ...`

2018-02-25 в 01:17 

All_ex, ответ даёт решение ДУ... ну тут действительно не поспоришь)) Хотя можно заключить следующее - если такой функции не существует, то и не существует решения дифференциального уравнения такого вида) С параметрической функцией интересно, но я последнюю всегда и воспринимал как композицию функций) Но в целом понятно.
Далее говорим, что если уравнение не содержит икса, то это цилиндрическая поверхность а почему цилиндрическая? А с иксом когда, то мы изначально находимся в четырёхмерном пространстве?
и можно рассматривать уравнение для направляющей, которая лежит в пространстве меньшей размерности что лежит в меньшей размерности понятно - прямая, а она по сути будет задавать направление образующей да? В целом общий подход ясен, но как изначально придумали, что эти уравнения решаются через такую замену?
загадочная замена... и на кой Вам сдалось столько неизвестных функций сразу?... думал, что возможно так решится и придёт понимание откуда вообще этот метод взялся)
А почему общее решение уравнения не пишут? Они же все разрешимы...

2018-02-25 в 01:57 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Груша Вильямс, но как изначально придумали, что эти уравнения решаются через такую замену?
Я не силён в истории математики, но думаю, что методом пристального всматривания... :alles:

придёт понимание откуда вообще этот метод взялся)
Ну, дифференцировать замену можно... а порядок производной у строй и новой функции всё время меньше на единицу... вот Вам и понижение порядка...

А почему общее решение уравнения не пишут? Они же все разрешимы...
Эммм... это Вы про что?...

2018-02-25 в 02:35 

All_ex, Эммм... это Вы про что?... не точно выразился, не само общее решение имел ввиду, а набор интегралов и дифференциалов, необязательно только их, набор операций какой-то, в который мы бы подставляли сразу неизвестные и известные величины, проводили все эти операции и получали общее решение.
Что-то типа такого `ln(y+sqrt(y^2+C))=+-sqrt(-A)*x+lnC`, походу потому, что тогда не очень ясно будет происхождение этого выражения да?

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная