13:37 

Нахождение стационарных точек в рекуррентных уравнениях

Наткнулся на рекуррентное уравнение: `a_(n+1) = (n+1)(a_n - 1), a(1) > 0` В нем надо найти стационарные точки. То есть надо найти такое `a(1)`, что решение не уходит на бесконечность. Путем подбора чисел я выяснил, что устойчивое решение находится где-то в промежутке `1.7`, `1.8`. У меня вопрос: как можно аналитически найти число? Я помню из курса диффуров, что в линейных случаях всё просто - характеристическое уравнение и вперед, а в нелинейных мы обычно линеаризовали ( то есть находили производную `{d a_(n+1)}/{d a_n}`), а потом уже искали собственные значения. Здесь же производная зависит от `n` и я попал в тупик

@темы: Дифференциальные уравнения

Комментарии
2018-02-12 в 17:11 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
а при чём тут производная, если параметр является натуральным?.... :upset:
да, и к диффурам это вроде не относится...

2018-02-12 в 17:28 

Trotil
Небось (e-1). Растёт хвост вида 1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)+...

2018-02-12 в 23:05 

Ну, у нас просто часть про рекуррентные уравнения была на диффурах..То есть общего метода как найти стационарную точку нет?

2018-02-12 в 23:29 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ну, у нас просто часть про рекуррентные уравнения была на диффурах..
А в связи с чём у Вас возникали такие задачи на диффурах?...

2018-02-13 в 00:17 

All_ex, на диффурах много речи шло про устойчивость решений обычных диффуров + мы небольшой кусок захватили с рекуррентными уравнениями, где тоже есть аналогичный вопрос с устойчивостью. И дело то в том, что линейные рекуррентные решаются идентично линейным обычным диффурам. Просто там решение ищется в виде `lambda^n` вместо `e^(lambda x)`, а после этого применяется критерий, что `|lambda| < 1`. Короче говоря, я думаю, что часть с рекуррентными была на диффурах просто из-за сходства решения задача

2018-02-13 в 00:47 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, Если проводить аналогии с диффурами, то там нет одного универсального метода решения... видимо тут тоже для определённых классов соотношений используют свои приёмы...

2018-02-13 в 01:04 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Попалось такое Z-преобразование для рекуррентных уравнений... (аналог преобразования Лапласа) ...
www.mgup.by/sites/default/files/userfiles/EF/VM...
тут и диффур можно получить... :)

2018-02-13 в 15:40 

Trotil
Вольфрам говорит, что растёт всегда: www.wolframalpha.com/input/?i=g(0)%3Da,g(n%2B1)%3D(n%2B1)*(g(n)-1)

2018-02-13 в 16:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Trotil, как-то криво вставилась ссылка... :upset:

2018-02-13 в 19:48 

All_ex, по ссылке нашел только линейные уравнения, или я что-то не нашел?
Trotil, Вы вбивали такой запрос `g(0)=a,g(n+1)=(n+1)*(g(n)-1)` ? Вольфрам даже полностью решает это рекуррентное соотношение: `g(n) = a * Gamma(n+1) - e* n* Gamma(n,1)`. Если `Gamma` - гамма функция, то что означает `Gamma(n,1)`?

2018-02-14 в 00:56 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, по ссылке нашел только линейные уравнения
а у Вас оно нелинейное что ли?... :upset:
а образ произведения `n*f_n` там описан...

то что означает `Gamma(n,1)`?
неполная гамма-функция... там интеграл от единицы до бесконечности берётся...

2018-02-14 в 02:04 

Trotil
Да, ответ по мнению вольфрама такой.

Gamma(n,1) = Gamma(n)-IncompleteGamma(n,1)
G(n+1)=n*G(n)
ответ можно немного упростить.

en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function

(но я лично ничего толкового для задачи по ссылке не вынес. Там есть асимптотика по x, нас же интересует асимптотика по s)

На бумаге вроде (e-1) - действительно, какое-то необычное начальное значение, но что будет у последовательности в области бесконечности, так до конца и не понял. По вольфраму даже в этой точке последовательность уходит в бесконечность, на бумаге у меня это вроде не так...

2018-02-14 в 10:14 

Trotil
На бумаге (при условии, что начальное значение = e-1), решение сводится к такому пределу

limit (sum(n!/k!,k=(n+1)..infinity),n=infinity)

Очевидно, что он сходится, а вот вольфрам еще говорит, что он равен нулю.
Как это доказать, я не помню.

2018-02-14 в 11:45 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Trotil, а вот вольфрам еще говорит, что он равен нулю.
ну, его можно оценить сверху геометрической прогрессией...

но я лично ничего толкового для задачи по ссылке не вынес
там есть рекуррентная формула, которая в этом случае будет выглядеть, как `Gamma(n+1;1) = n*Gamma(n; 1) + e^{-1}`... видимо её можно использовать...

2018-02-14 в 16:13 

мб вольфрам берет приближение `e-1`, а из-за неустойчивости стационарной точки, то всё расходится у него

2018-02-14 в 19:55 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Примем решение от вольфрама за верное :alles:... и попробуем его исследовать...

`a_n = a*G(n+1) - e*n*g(n)`, где для кратности `G(n+1) = Gamma(n+1) = n!` - гамма-функция при `n in NN`, а `g(n) = Gamma(n;1)` - неполная гамма-функция...

Интегрируем по частям
`g(n) = int_{1}^{+ oo} z^{n-1} * e^{-z} * dz = e^{-1} + int_{1}^{+ oo} (n-1)*z^{n-2} * e^{-z} * dz = e^{-1} + (n-1)*e^{-1} + int_{1}^{+ oo} (n-1)*(n-2)*z^{n-3} * e^{-z} * dz = ...` ... и так далее ... итого, получаем, что

`g(n) = [(n-1)! + {(n-1)!}/{1!} + {(n-1)!}/{2!} + {(n-1)!}/{3!} + ... + {(n-1)!}/{(n-1)!}]*e^{-1}` ...

подставляем в формулу из решения ...

`a_n = a*n! - n! *[ 1 + {1}/{1!} + {1}/{2!} + {1}/{3!} + ... + {1}/{(n-1)!}] = -n! *[ - a + 1 + {1}/{1!} + {1}/{2!} + {1}/{3!} + ... + {1}/{(n-1)!}]`

Чтобы предел был конечным необходимо, чтобы последовательность в скобках стремилась к нулю... там нетрудно рассмотреть разложение в ряд для экспоненты... следовательно, `a = e` ...
То что в этом случае получим ограниченное произведение проверяется вычислением остатка разложения для экспоненты...

Единственно что смущает, что не получилось `a = e - 1` ... :upset: ... возможно я где-то накосячил или вольфрам ... :alles:
Но идея исследования стационарности в целом такая...

2018-02-14 в 23:30 

Trotil
g(0)=a
g(1)=a-1 по реккурентной формуле.
g(2)=2(a-1)-1)=2a-4 по реккурентной формуле.

Gamma(1+1)=1
g(1)=Gamma(1,1)=1/e

a_1 = a*G(1+1) - e*1*g(1) = a - 1

из длинной формулы: a_1 = a*1 - 1 *[ 1 ] = a -1

n=2: Gamma(2+1)=2, g(n)=2/e
a_2 = a*G(2+1) - e*2*g(2) = 2a-4
из длинной формулы: a_2 = 2a - 2*(1+1) = 2a-4

вроде совпадает.

2018-02-14 в 23:38 

Trotil
Самое интересное, что у меня ошибки тоже нет :D

Просто моя конечная формула такая: n! (a_1 - sum(1/k!,k=1..n) )

Без всяких Гамм её можно получить, выписав a_(n+1), a_(n+2), a_(n+3), выразить a_(n+4) через a_n и узреть закономерность.

Автор просил найти a(1), я и нашёл.

2018-02-15 в 03:35 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Trotil, Просто моя конечная формула такая: n! (a_1 - sum(1/k!,k=1..n) )
а у меня сумма от нуля получилась... :upset:

2018-02-15 в 07:24 

Trotil
Ты, кажется, не понял.

n! (a_1 - sum(1/k!,k=1..n) ) = n! (a_0 - sum(1/k!,k=0..n) )

это одно и тоже.

2018-02-15 в 10:12 

Кажется, я нашел более лаконичное решение (не моё):
Сначала перепишем `a_n = 1+ 1/(n+1) a_{n+1}`.
Тогда
`a_1 = 1+1/2 a_2 = 1+1/2(1+1/3a_3) = 1+1/2+1/2*1/3(1+1/4a_4) = 1+1/2 + 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/3 * 1/4 +1/2 *1/3 * 1/4 * 1/5a_5=..=1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+...=e-1`

2018-02-15 в 12:54 

Trotil
All_ex, что скажешь про лаконичное решение? Мне непонятно, почему это - ответ на заданный вопрос. Выразили А1 через а_infinity. Так никто не обещал вроде, что последовательность стремится к нулю.

2018-02-15 в 14:31 

Trotil, ну я так понимаю, что если `a_1 = e-1`, то автоматически `a_inf-> 0`. А вот если `a_1 != e-1` , то и `a_inf ` к нулю не идет, что равносильно тому, что точка не стационарная

2018-02-15 в 14:59 

Trotil
MestnyBomzh, нет, я этого не вижу.
Предположим, что a_inf может идти к единице. И получается, кстати, опять а_1 = e - 1
То есть нельзя так предполагать с потолка.

2018-02-15 в 16:25 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Trotil, Ты, кажется, не понял. n! (a_1 - sum(1/k!,k=1..n) ) = n! (a_0 - sum(1/k!,k=0..n) )
пардон муа... это почему?... :upset:
суммы отличаются на слагаемое, соответствующее нулю, то есть `1/{0!} = 1` ... вот и расхождение... но где я эту единицу прошлёпал, пока не нашёл...

MestnyBomzh, Кажется, я нашел более лаконичное решение (не моё):
а почему `a_n` не может стремится к бесконечности, но медленнее факториала? ... тогда всё равно ряд будет сходится к `e - 1` ...
по-моему, слишком лаконично... :alles:

2018-02-15 в 16:33 

Trotil
а0=а1-1

2018-02-15 в 20:19 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Trotil, а0=а1-1
Семён Семёныч! ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная