18:50 

Условный экстремум (без окаймленного Гессиана)

Добрый день! На семинаре преподаватель объяснял пример, но мне не очень ясен алгоритм, могли бы помочь разобраться
Задача нахождения условного экстремума: $u=xyz, x^2+y^2+z^2=6, x+y+z=0$
Сначала все стандратно: находим стационарные точки, вот одна $M = 1,1,-2, \lambda_1 = 1/2, \lambda_2 = 1$, составляем гессиан:
$$\begin{pmatrix}
1& -2 &1 \\
-2& 1 &1 \\
1& 1& 1
\end{pmatrix}$$
По критерию Сильвестра он получается знакопеременным, поэтому мы делаем следующий шаг. Здесь уже я начинаю не понимать.
Ищем матрицу Якоби для двух условий, получаем матрицу
$$J = \begin{pmatrix}
2x & 2y &2z \\
1& 1 & 1
\end{pmatrix}$$
Или, если подставить числа,
$$J(M) = \begin{pmatrix}
2 & 2 & -4 \\
1& 1 & 1
\end{pmatrix}$$
Дальше мы почему-то составили уравнение: $J(M) \cdot \begin{pmatrix}
h_1 \\
h_2 \\
h_3
\end{pmatrix} = \vec{0}$
Из этой системы получаем : $h_3 = 0, h_1=-h_2$
Затем мы записали $h^{T} \cdot H \cdot h$ расписали это и получили $6h_2^2$, после чего сказали, что это минимум
------
Мне неясны наше действия начиная с момента составления матрицы Якоби. Во всех источниках составляется так называемый окаймленный Гессиан, а этот метод я даже не знаю как гуглить. Можете сказать как он называется, чтобы я смог загуглить примеры и теорию

@темы: Математический анализ

Комментарии
2018-01-22 в 21:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, матричные записи чистого TeX'a плохо отображаются местным скриптом...

Мне неясны наше действия
Ну, это просто исследование знака второго дифференциала функции на множестве допустимых значений, определяемых данными ограничениями...

Суть простая ... у Вас есть второй дифференциал, который является квадратичной формой, и может быть записан в виде `d^2f = dX^T*H*dX`, где `dX = (dx, \ dy, \ dz)`^T`...
При этом дифференциалы переменных в критической точке связаны равенствами, которые дают дифференциалы ограничений `dg_1 = 0, \ dg_2 = 0` ... вот эту систему Вы и решали, записывая матрицу Якоби и так далее...

2018-01-23 в 12:05 

All_ex, я просто увидел, что wpoms. набирает свои посты с помощью Теха, подумал, что он тут отображается

То есть верно ли я понимаю, что в нашей интерпретации вектор `h` - это вектор `dX = (dx, \ dy, \ dz)` ?

2018-01-23 в 15:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, я просто увидел, что wpoms. набирает свои посты с помощью Теха
TeX отображается, но не полностью...
Доллары для выделения формул работают... а окружения матриц \begin{pmatrix} ... \end{pmatrix} перевариваются плохо... :nope:

То есть верно ли я понимаю, что в нашей интерпретации вектор `h` - это вектор `dX = (dx, \ dy, \ dz)` ?
По сути, да... но он не произвольный ... приращения (дифференциалы) переменных рассматриваются вдоль допустимого множества...

2018-01-24 в 01:22 

All_ex, окей. Да, я вижу, что он не произвольный. Теперь у меня вопрос про это самое допустимое множество. Мы записали `J(M_1) * h = 0`, то есть якобиан (в конкретной точке) умножается на вектор приращений и мы требуем того, чтобы это был нулевой вектор. В чем смысл этой записи, что она означает?

2018-01-24 в 10:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, В чем смысл этой записи, что она означает?
Читаем внимательно... При этом дифференциалы переменных в критической точке связаны равенствами, которые дают дифференциалы ограничений `dg_1 = 0, \ dg_2 = 0` ... вот эту систему Вы и решали, записывая матрицу Якоби и так далее...
То есть смысл - матричная запись системы уравнений на допустимые значения дифференциалов...

2018-01-24 в 12:07 

All_ex, да, увидел. а почему дифференциалы ограничений в этой точке равны нулю?

2018-01-24 в 12:17 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, а почему дифференциалы ограничений в этой точке равны нулю?
А что Вы получите, когда найдёте дифференциал ограничения `g = 0`?...

2018-01-25 в 11:22 

All_ex, ну не совсем очевидно почему дифференциал будет равен нулю. Так как для нахождения стационарной точки мы, как всегда, приравниваем первые производные к нулю. В данном случае после взятия производной по лямбде получается `g=0`. А если брать дифференциал уже от `g=0` - это уже вторая производная получается

2018-01-25 в 11:51 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, При чём вторые производные функции Лагранжа?...
У Вас есть уравнение `g = 0`, которому удовлетворяют допустимые точки... Дифференциал левой и правой части этого уравнения должны быть равны друг другу, откуда `dg = d(0) = 0 `... вот Вам и уравнение связи для дифференциалов...

2018-01-25 в 16:59 

All_ex, окей, это я запутался и припутал производную с дифференциалом. Хорошо, а верно ли я понимаю, что система - это просто определение дифференциала J(M) * h ?

2018-01-25 в 19:35 

С помощью матрицы Якоби векторной функции `\varphi`, задающей уравнение ограничение `\varphi(x)=0`, в критической точке `x_0` записывается система линейных однородных уравнений, множество решений которой - пространство касательных векторов к поверхности `\varphi(x)=0` в критической точке `x_0`.

Дифференциал векторной функции в некоторой точке есть линейный оператор, матрица которого является матрицей Якоби данной функции в данной точке (кроме существования всех элементов матрицы Якоби есть еще требования к малости некоторого остатка).

2018-01-26 в 13:29 

Хорошо, теоретическое обоснование я вроде понял. Можно я теперь повторю шаги алгоритма для произвольного случая, а вы скажете верно или нет:
1) Записываем функцию Лагранжа `F = f + lambda * g`
2) Находим стационарные точки (необходимое условие для стационарных точек)
3) Теперь надо определить какие это точки. Для этого изучим знак второго дифференциала`h^T * H * h`, где `H` - матрица Гессе функции `f`. `h` - вектор приращений, на него накладываются ограничения, которые получаются из решения системы `J(M) * h = 0`, здесь `J(M)` - матрица Якоби функции ограничений `g_1...g_n` в точке `M`
4) Перемножаем вектор `h^T` на матрицу `H` и на вектор `h`.

По идее, в пункте 4) после домножения мы получим некоторую квадратичную форму, верно? После чего надо будет что сделать, понять является ли она положительно/отрицательно определенной?

2018-01-26 в 13:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, По идее, в пункте 4) после домножения мы получим некоторую квадратичную форму, верно? После чего надо будет что сделать, понять является ли она положительно/отрицательно определенной?
разумеется...

2018-01-26 в 14:37 

Записывать квадратичную форму как произведение трёх сомножителей необязательно. Критерий Сильвестра ведь работает непосредственно с матрицей квадратичной формы.

Для полноты картины надо заметить, что для применимости метода множителей Лагранжа необходимо чтобы во всех допустимых ограничениями точках ранг матрицы Якоби задающей ограничения функции равнялся числу ограничений. В частности, при одном ограничении не должно быть допустимых точек с нулевым градиентом. Правда, эти вредные точки можно попробовать исследовать без множителей Лагранжа.

2018-01-26 в 15:01 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Epygraph, Записывать квадратичную форму как произведение трёх сомножителей необязательно. Критерий Сильвестра ведь работает непосредственно с матрицей квадратичной формы.
А как без умножения выполнить исключение неизвестных?... :upset:

2018-01-26 в 15:15 

А, речь идёт о сужении квадратичной формы на подпространство. Тогда критерий Сильвестра не сразу готов к применению. Но прямо-таки заниматься перемножением не стоит. По матрице непосредственно записывается сама форма на всём пространстве: диагональные элементы соответствуют квадратам переменных, а удвоенные наддиагональные элементы соответствуют смешанному произведению соответствующих номеру элемента переменных. Затем главные неизвестные из однородной системы линейных уравнений выражаются через свободные неизвестные и получается квадратичная форма на подпространстве решений упомянутой однородной системы. Здесь уже можно записывать соответствующую матрицу свежеполученной квадратичной формы и применять критерий Сильвества.

2018-01-26 в 15:18 

All_ex, кстати а почему мы сразу не можем изучать определнность матрицы `H` с помощью критерия Сильвестра? Потому что он никак не учитывает те ограничения, которые наложены на `h`?

2018-01-26 в 15:19 

Ну и, по-идее, можно было бы не искать через Якобиан условия на `h`, а сразу проверить, а вдруг Гессиан `H` положительно/отрицательно определен? А вот если он знакопеременен, тогда уж искать какие ограничения накладываются на `h`, такой подход верен?

2018-01-26 в 15:26 

Если есть знакоопределенность на всём пространстве, то она автоматически имеется на любом подпространстве.

И одно уточнение: якобиан есть определитель квадратной матрицы Якоби, то есть, это число, а не матрица.

2018-01-26 в 15:51 

Epygraph, да, это моя опечатка. Хорошо, а если Гессе не является знакоопределенной, то тогда на некотором подпространстве он может стать знакоопределенным, поэтому мы ищем какие у нас ограничения накладываются на `h`, после чего уже смотрим определена положительно/отрицательно или нет матрица Гессе?

2018-01-26 в 15:55 

Да, именно это часто встречается в задачах. Например, при z=xy с ограничением x+y-1=0.

2018-01-26 в 17:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Epygraph, Затем главные неизвестные из однородной системы линейных уравнений выражаются через свободные неизвестные и получается квадратичная форма на подпространстве решений упомянутой однородной системы.
Ещё раз прошу прощения... А чем это действие отличается от умножения матриц `h^T*H*h`?... тот же самый метод исключения неизвестных... :upset:

2018-01-26 в 17:16 

Результат одинаковый, студенческой путаницы меньше. Особенно по сравнению с умножением на вектор-строку и вектор-столбец, в которых уже произведено исключение неизвестных. Удобнее заниматься исключением имея запись квадратичной формы ещё со всеми переменными.

2018-01-26 в 17:20 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Epygraph, прояснилось... :alles:

2018-06-23 в 17:12 

All_ex, здравствуйте, у меня снова небольшой вопрос по этой теме.
Исходная задача: коробка имеет объем 32. Найти размеры коробки, если площадь её поверхности (без крышки) минимальная.
Если переписать: `xyz=32, 2xy+2xz+yz -> min`.
1) Я записал задачу Лагранжа, решил систему из первых производных, получил точку `x=2,y=4,z=4, lambda=-1`
2) Дальше я проверил по критерию Сильвестра определенность матрицы `H` - она не определена
3) Тогда вспоминаем об ограничении на вектор `(dx, dy, dz)`, для этого составляем уравнение: `J(M_0) * h = 0`, получаю `h_3 = -2h_1-h_2`
4) Перемножаю `h^T * H * h = -4h_1^2-h_2^2-(2h_1+h_2)^2 <0`
Я получил, что второй дифференциал меньше нуля, то есть точка максимума. Вопрос, где я ошибся? Возможно, стоит искать матрицу `H` от функции `L=f+lambda g`? Если так, то всё получается, но в этом тогда нет смысла...

2018-06-23 в 17:16 

P.S
Матрица H у меня получилась такой:
`((0,2,2),(2,0,1),(2,1,0))`

2018-06-23 в 18:02 

Возможно, стоит искать матрицу `H` от функции `L=f+lambda g`? Если так, то всё получается, но в этом тогда нет смысла...

Здесь `f=2xy+2xz+yz`, `g=xyz-32`. Тогда критическая точка получается Ваша `x=2,y=4,z=4, lambda=-1`, но матрица Гессе функции Лагранжа в этой точке отличается знаком от Вашей. Должно быть `H=((0,-2,-2),(-2,0,-1),(-2,-1,0))`. Соответствующая квадратичная форма положительно определена на касательном пространстве с Вашим описанием `h_3 = -2h_1-h_2`, т.е. получен условный минимум.

Кстати, выше обосновано, что это локальный условный минимум, а требуется найти глобальный минимум. Примените известное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для слагаемых `2xy+2xz+yz `. В критической точке будет достигаться равенство, что укажет на достигнутый глобальный минимум.

2018-06-24 в 01:38 

Epygraph, окей, понял, надо искать матрицу Гессе для функции `L`
По поводу глобального минимума я думаю следующее: функция достигает глобального минимума:
`(4*x^2*z^2*y^2)^(1/3) <= (2xy+2xz+yz)/3`
Подставив точку (2,4,4) получим:
`(4096)^(1/3) = 16`

`(16+16+16)/3 = 16`
Действительно, получили, что неравенство обратилось в равенство.
Теперь вопрос. Разве когда я решаю задачу Лагранжа, то я автоматически не нахожу глобальный минимум? Может, есть контрпример, когда я, решив задачу Лагранжа, не найду глобальный минимум? Только задача должна иметь одно ограничение вида "равенство"

2018-06-24 в 15:52 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
MestnyBomzh, Теперь вопрос. Разве когда я решаю задачу Лагранжа, то я автоматически не нахожу глобальный минимум? Может, есть контрпример, когда я, решив задачу Лагранжа, не найду глобальный минимум?

`f = x + y, \ \ x*y = 1` ... есть точка локального минимума и локального максимума... глобальных нет, поскольку на этом множестве функция не ограничена...

Правда тут множество состоит из двух кусков... хотя можно и с одним куском что-нибудь аналогичное придумать...

Например, `f = x + y, \ \ y = x^3 -3*x` ...

2018-06-24 в 16:05 

Меняя знак целевой функции Вы точки минимума превратите в точки максимума и наоборот.
И вообще, метод множителей Лагранжа есть лишь необходимое условие условного экстремума. Критические точки функции Лагранжа могут не быть экстремальными точками (аналог седловых точек для безусловного экстремума).

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная