09:38 

Китайская математическая олимпиада 2017

wpoms.
Step by step ...
Китайская математическая олимпиада 2017



Российская сборная

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2018-01-08 в 09:55 



1. Пусть $A_n$ ($n\in\mathbb{N}$) обозначает множество простых чисел $p$ таких, что для каждого из них существуют положительные целые числа $a,b$ такие, что $\dfrac{a+b}{p},$ $\dfrac{a^n + b^n}{p^2}$ являются целыми и взаимно простыми с $p$. Если $A_n$ конечно, то пусть $f(n)$ обозначает $|A_n|.$

a) Докажите, что $A_n$ конечно в том и только том случае, когда $n \ne 2.$
b) Пусть $m,k$ --- положительные нечётные числа и $d$ --- их наибольший общий делитель. Покажите, что $f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).$




2. Пусть $n$ и $k$ --- положительные целые числа и пусть
$T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}.$
Известно, что $3n^2 - 3n + 1 + k$ точек $T$ окрашены в красный цвет так, что если $P$ и $Q$ окрашены в красный цвет и $PQ$ параллельна одной из координатных осей, то все точки отрезка $PQ$ окрашены в красный цвет.

Докажите, что существует не менее $k$ кубов c длиной ребра 1, все 8 вершин которых окрашены в красный цвет.




3. Положительное целое число $q$ не является кубом целого числа. Докажите, что существует положительное число $C$ такое, что для всех натуральных чисел $n$ выполняется неравенство
$\{\sqrt[3]{q}n\} + \{\sqrt[3]{q^2}n\} \geq \frac{C}{\sqrt{n}},$
где $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x.$




4. Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Описанная окружность $\triangle APD$ пересекает отрезок $AB$ в точках $A$ и $E$. Описанная окружность $\triangle BPC$ пересекает отрезок $AB$ в точках $B$ и $F$. Пусть $I$ и $J$ обозначают соответственно центры вписанных окружностей $\triangle ADE$ и $\triangle BCF.$ Отрезки $IJ$ и $AC$ пересекаются в точке $K.$ Докажите, что точки $A,$ $I,$ $K,$ $E$ лежат на одной окружности.






5. Дано нечётное число $n \geq 3.$ Каждый квадрат шахматной доски размером $n \times n$ покрашен в белый или чёрный цвет. Два квадрата называются смежными, если они покрашены в один цвет и имеют общую вершину. Два квадрата $a,b$ называются соединенными, если существует последовательность квадратов $c_1, ..., c_k$ с $c_1 = a,$ $c_k = b$, в которой $c_i,$ $c_{i+1}$ являются смежными для всех $i=1, 2, ..., k-1.$

Найдите наибольшее число $M$ такое, что существует раскраска доски с $M$ попарно несоединенными квадратами.




6. Даны натуральные числа $n, k$ ($n > k$) и действительные числа $a_1, ..., a_n$ из интервала $(k-1,k)$. Пусть $x_1, ..., x_n$ --- положительные действительные числа такие, что для любого $I \subset \{1, ..., n\},$ удовлетворяющего условию $|I| = k,$ выполняется неравенство
$\sum_{i \in I} x_i \leq \sum_{i \in I} a_i.$
Найдите наибольшее возможное значение выражения $x_1\cdot x_2\cdot ... \cdot x_n.$



URL
     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная