Воскресенье, 07 января 2018
20:46 

Китайская математическая олимпиада для девушек

все записи пользователя в сообществеwpoms.
wpoms.
Step by step ...
Китайская математическая олимпиада для девушек

С 1986 года в китайской команде не было школьниц. Для привлечения школьниц к участию в математических соревнованиях с 2002 года для них стали проводить особенную математическую олимпиаду. По её результатам две победительницы приглашаются в национальную команду, которая готовится к участию в международных олимпиадах. Формат проведения олимпиады соответствует формату ММО. Российские команды принимают участие в этих олимпиадах с 2004 года. В 2017 году на 16 олимпиаде Ирина Ланских получила 1 премию, Софья Гайдукова, Диана Гайнутдинова и Камиля Мухаметшина - вторую. Информацию о рейтингах ни наши, ни китайские товарищи не публикуют.



Опрос

Вопрос: China Girls Mathematical Olympiad переводится как
1. Всекитайская женская математическая олимпиада 
2  (11.76%)
2. Китайская математическая олимпиада для девушек 
7  (41.18%)
3. Китайская математическая олимпиада для девочек 
5  (29.41%)
4. Китайская девичья математическая олимпиада 
3  (17.65%)
Всего: 17

@темы: Олимпиадные задачи

URL
Комментарии
2018-01-07 в 21:41 

Гость
Условия 16 олимпиады (2017 год)

1. читать дальше



(1) Найдите все положительные целые числа $n$ такие, что 4 делит $a^n-1$ для всех нечётных целых чисел $a.$
(2) Найдите все положительные целые числа $n$ такие, что $2^{2017}$ делит $a^n-1$ для всех нечётных целых чисел $a.$





2. читать дальше



В четырёхугольнике $ABCD$ $\angle BAD + 2\angle BCD = 180^\circ.$
Пусть $E$ --- точка пересечения $BD$ и биссектрисы $\angle BAD$.
Срединный перпендикуляр отрезка $AE$ пересекает $CB,$ $CD$ соответственно в $X,$ $Y.$
Докажите, что точки $A,$ $C,$ $X,$ $Y$ лежат на одной окружности.






3. читать дальше



Пусть $a_i\ge 0,$ $x_i\in\mathbb{R},$ $(i=1,2,...,n).$ Докажите, что
$((1-\sum_{i=1}^n a_i\cos x_i)^2+(1-\sum_{i=1}^n a_i\sin x_i)^2)^2\ge 4(1-\sum_{i=1}^n a_i)^3.$




4. читать дальше



Дробные числа 1/2002, 1/2003, ..., 1/2017 разделили на две группы, по 8 чисел в каждой группе. Пусть сумма чисел одной группы равна $A,$ а сумма чисел другой группы равна $B.$ Определите, при каком распределении чисел по группам значение выражения $|A-B|$ будет наименьшим. Не забудьте обосновать свой ответ.




5. читать дальше



Пусть $0 = x_0 < x_1 < ... < x_n = 1.$ Найдите наибольшее действительное число $C$ такое, что, для любого положительного действительного числа $n,$ выполняется неравенство $\sum_{k=1}^n x^2_k (x_k - x_{k-1}) > C.$




6. читать дальше



Даны конечное множество $X$, два положительных целых числа $n,k$ и отображение $f:X\to X$. Определим $f^{(1)}(x) = f(x),$ $f^{(i)}(x) = f(f^{(i-1)}(x)),$ $i \ge 2.$ Пусть для любого $x\in X$ выполняется равенство $f^{(n)}(x) = x.$
Пусть $m_j$ обозначает количество $x\in X$ таких, что $f^{(j)}(x)=x.$
Докажите, что:

(1) $\frac{1}n \sum_{j=1}^n m_j\sin {\frac{2kj\pi}{n}} = 0$
(2) $\frac{1}n \sum_{j=1}^n m_j\cos {\frac{2kj\pi}{n}}$ является неотрицательным целым числом.





7. читать дальше



Дан четырёхугольник $ABCD,$ вписанный в окружность $\omega_1$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$, прямые $AD$,$BC$ пересекаются в точке $F$. Окружность $\omega_2$ касается отрезков $EB,EC$ соответственно в точках $M,N$ и пересекает окружность $\omega_1$ в точках $Q,R$. Прямые $BC,AD$ пересекают прямую $MN$ соответственно в точках $S,T.$ Докажите, что точки $Q,R,S,T$ лежат на одной окружности.







8. читать дальше



Дано положительное целое число $n \ge 2.$ Пусть A, B обозначают квадратные таблицы размера $n$ на $n$ такие, что $\{a_{ij} | 1 \le i, j \le n\} = \{b_{ij} | 1 \le i, j \le n\} = \{1, 2, ..., n^2\}.$ (То есть, в обеих таблицах в некотором порядке записаны все целые числа от 1 до $n^2.$ За один ход можно в таблице A выбрать два числа в одной строке или в одной колонке и поменять их местами, оставив все остальные числа без изменений. Найдите наименьшее натуральное число $m$ такое, что можно преобразовать любую таблицу A в любую таблицу B за не более чем $m$ ходов.



URL
     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная