15:39 

Найти сумму ряда

Здравствуйте!

Требуется найти сумму ряда `sum_(n=1)^infty 1/((2n-15)(2n+15))` с точностью до 0,001.

Во-первых, меня смущает то, что первые несколько членов ряда отрицательные, а уже затем идут положительные члены.

Во-вторых, у меня не получается оценить сверху остаток ряда:

`r_n=int_(n+1)^infty dx/(4x^2-225)`

Не совсем понимаю, как его оценить...
Прошу помощи.

@темы: Ряды

Комментарии
2017-11-25 в 16:15 

Alidoro
Интегралом можно оценить. Ряд монотонный. если итеграл от k до бесконечности, то оценка остатка ряда снизу, если от k-1 до бесконечности, то сверху. k здесь номер первого члена остатка.

2017-11-25 в 16:44 

А каким именно интегралом?
Я сначала думал, что оценка должна быть такая:

`r_n=int_(n+1)^infty dx/(4x^2-225)<=int_(n+1)^infty dx/(4x^2)`

Но ведь это не правильно?

2017-11-25 в 17:04 

Alidoro
ну я рисую график ступенчатой функции, начиная с n, причем ступеньку k рисую налево от k, то есть от x=k-1 до x=k. Этот график будет ниже графика функции `1/(4x^2-225)` Интеграл надо брать от n-1.

2017-11-25 в 17:13 

То есть нужно взять
`r_n=int_(n+1)^infty dx/(4x^2-225)<=int_(n-1)^infty dx/(4x^2-225)`?

2017-11-25 в 17:21 

Alidoro
Почему то есть? Вы написали равенство двух интегралов, которое заведомо неверно. Это следует из моих слов? Тогда я беру свои слова назад.

2017-11-25 в 17:27 

Простите, я не могу уловить Вашу мысль...
Не совсем понял насчет ступенчатой функции.
И какой интеграл нужно взять, чтобы оценить остаток ряда?

2017-11-25 в 17:47 

Alidoro
Сумму вы заменяете равным ей интегралом от ступенчатой функции. Для этого каждому слагаемому суммы вы сопоставляете ступеньку шириной единица. Ступенька для слагаемого с индексом k имеет такую же высоту, что и значение слагаемого, а на оси x занимает место от x=k-1 до x=k. Понятно, что сумма с нижним индексом n равна интегралу этой ступенчатой функции с нижним пределом n-1.
Если это понятно, то дальше.
График функции `1/(4x^2-225)` будет проходить выше графика ступенчатой функции. Поэтому интеграл этой функции с нижним индексом n-1 будет больше суммы и тем самым будет являться верхней оценкой суммы.

2017-11-25 в 18:02 

Первый абзац понял полностью.
Во втором абзаце вы пишете про интеграл `int_(n-1)^infty dx/(4x^2-225)`, и что он является оценкой суммы. Вы имеете в виду сумму, начиная с n-го члена (то есть остаток ряда)?

`sum_(k=n)^infty 1/((4k^2-225))<=int_(n-1)^infty dx/(4x^2-225)`

2017-11-25 в 18:39 

Alidoro
Да, правильно.

2017-11-25 в 19:37 

После вычисления интеграла я получаю:
`1/60 ln|(2n+13)/(2n-17)|>0,001`
`n>8,5`
Так как n - целое число, то берем `n=9`.
Но при расчете суммы получаем:
`sum_(n=1)^9 1/((2n-15)(2n+15))=-0,033`
Хотя сумма ряда должна быть равна `1/450=0,0022`.
Что я делаю не так?

2017-11-25 в 21:19 

Alidoro
`1/60 ln|(2n+13)/(2n-17)|>0,001`
Вообще должно быть `1/60 ln|(2n+13)/(2n-17)|<0,001` n>251
VBsсript

2017-11-25 в 21:31 

Понял, спасибо!
Это что же получается, 252 члена ряда нужно взять, чтобы получить заданную точность? Ничего себе!

2017-11-25 в 21:55 

Alidoro
Наверно можно и меньше членов взять. Это же оценка. Поэкспериментируйте с файлом .vbs

2017-11-25 в 21:58 

Alidoro
Кстати, сумма компьютера с вашей не совпадает.

2017-11-25 в 22:01 

Это я в Wolframalpha вычислял.

2017-11-25 в 22:30 

Alidoro
Может и я что-то не досмотрел. Проверьте сами.

2017-11-25 в 22:35 

Alidoro
Вообще похоже. Если взять 2000 членов то получается уже 2.0972-03
Но оценка в любом случае справедлива.

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная