wpoms.
Step by step ...
Турнир городов. Осень. Базовый вариант

8-9 классы

Задача 1
Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять сумм отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько – отрицательны?

Задача 2
Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье – на 98, … , последнее делится на 2?


Задача 3
B ряд лежат 100 внешне одинаковых монет. Среди них ровно 26 фальшивых, причём они лежат подряд. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – не обязательно одинаково, но они легче настоящих. Как за одно взвешивание на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету?

Задача 4
На одной из клеток поля 8 × 8 зарыт клад. Вы находитесь с металлоискателем в центре одной из угловых клеток этого поля и передвигаетесь, переходя в центры соседних по стороне клеток. Металлоискатель срабатывает, если вы оказались на той клетке, где зарыт клад, или в одной из соседних с ней по стороне клеток. Можно ли гарантированно указать клетку, где зарыт клад, пройдя расстояние не более 26?

Задача 5
Окружность радиуса 1 нарисована на шахматной доске так, что целиком содержит внутри белую клетку (сторона клетки равна 1). Докажите, что участки этой окружности, проходящие по белым клеткам, составляют суммарно не более 1/3 от её длины.

10-11 классы

Задача 1.
Существуют ли нецелые числа $x$ и $y,$ для которых $\{x\}\cdot\{y\} = \{x+y\}?$ (Здесь $\{x\}$ --- дробная часть числа $x.$)

Задача 2.
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL.$ Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K.$ Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.

Задача 3.
Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина --- отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

Задача 4.
а) Может ли некоторый шар высекать на гранях какого-нибудь правильного тетраэдра круги радиусов 1, 2, 3, 4?
б) Тот же вопрос, если радиус шара должен быть равен 5.

Задача 5.
В левой нижней клетке доски $100 \times 100$ стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход --- горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки $A$ и $B,$ что фишка не менее двух раз делала ход из $A$ в $B.$

@темы: Порешаем?!